Kint fülledt idő van, nyárfabolyhok szállnak, ez az időjárás kedvez a kikapcsolódásnak. A tanév során mindenkiben felgyülemlett a fáradtság, de a nyári szünidő/szünet várakozása inspirálhat a sikeres vizsgák és vizsgák letételére. Mellesleg a tanárok is tompák a szezonban, úgyhogy hamarosan én is szakítok egy kis időt, hogy leterheljem az agyam. És most ott van a kávé, a rendszeregység ritmikus zümmögése, néhány döglött szúnyog az ablakpárkányon és teljesen működőképes állapot... ...a fenébe is... a kibaszott költő.

Lényegre törő. Kit érdekel, de ma június 1-je van számomra, és megvizsgáljuk a komplex elemzés egy másik tipikus problémáját - egy differenciálegyenlet-rendszer sajátos megoldásának megtalálása a műveleti számítás módszerével. Mit kell tudnod és mit kell tenned, hogy megtanuld a megoldást? Először is, erősen ajánlott hivatkozz a leckére. Kérjük, olvassa el a bevezető részt, értse meg a téma általános megfogalmazását, a terminológiát, a jelöléseket és legalább két-három példát. A helyzet az, hogy a diffúzorrendszerekkel minden szinte ugyanolyan és még egyszerűbb lesz!

Természetesen meg kell értened, mi az differenciálegyenlet-rendszer, ami azt jelenti, hogy általános megoldást kell találni a rendszerre és egy adott megoldást a rendszerre.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a differenciálegyenlet-rendszer „hagyományos” módon is megoldható: megszüntetésével vagy a karakterisztikus egyenlet segítségével. A szóban forgó műveleti számítási módszer a távirányító rendszerre alkalmazható, ha a feladat a következőképpen van megfogalmazva:

Keressen megoldást egy homogén differenciálegyenlet-rendszerre , amely megfelel a kezdeti feltételeknek .

Alternatív megoldásként a rendszer heterogén is lehet - „kiegészítő súlyokkal” függvények formájában és a jobb oldalon:

De mindkét esetben figyelni kell a feltétel két alapvető pontjára:

1) Ez kb csak privát megoldásról.
2) A kezdeti feltételek zárójelében vannak szigorúan nullák, és semmi más.

Az általános tanfolyam és algoritmus nagyon hasonló lesz differenciálegyenlet megoldása műveleti módszerrel. A referenciaanyagokból ugyanerre lesz szüksége az eredetik és képek táblázata.

1. példa

, ,

Megoldás: A kezdet triviális: használ Laplace transzformációs táblázatok Térjünk át az eredetiekről a megfelelő képekre. Távirányító rendszerekkel kapcsolatos problémák esetén ez az átmenet általában egyszerű:

Az 1., 2. számú táblázatos képletekkel, figyelembe véve a kezdeti feltételt, megkapjuk:

Mi a teendő a "játékokkal"? Változtassa meg gondolatban a táblázat „X”-jét „én”-re. Ugyanazokat az 1., 2. transzformációkat alkalmazva, figyelembe véve a kezdeti feltételt, azt találjuk:

Helyettesítsük be a talált képeket az eredeti egyenletbe :

Most a bal oldali részekben egyenleteket kell összegyűjteni Minden kifejezések, amelyekben vagy jelen van. A jobb oldali részekre az egyenleteket "formalizálni" kell Egyéb feltételek:

Ezután minden egyenlet bal oldalán zárójelet végzünk:

Ebben az esetben a következőket kell elhelyezni az első és a második pozíciókban:

A kapott egyenletrendszer két ismeretlennel általában megoldott Cramer képletei szerint. Számítsuk ki a rendszer fő meghatározóját:

A determináns számításának eredményeként polinomot kaptunk.

Fontos technika! Ez a polinom jobb Egyszerre próbáld meg figyelembe venni. Ebből a célból meg kell próbálni megoldani a másodfokú egyenletet , de sok gyakorlott másodéves szemű olvasó észreveszi .

Így a rendszer fő meghatározója:

A rendszer további szétszerelése, hála Kramernek, szabványos:

Ennek eredményeként azt kapjuk a rendszer operátori megoldása:

A szóban forgó feladat előnye, hogy a törtek általában egyszerűnek bizonyulnak, és sokkal könnyebb kezelni őket, mint a feladatokban lévő törtekkel egy adott megoldás megtalálása egy DE-re az operatív módszer segítségével. Az előérzeted nem csalt meg - a jó öreg bizonytalan együtthatók módszere, melynek segítségével az egyes törteket elemi törtekre bontjuk:

1) Foglalkozzunk az első törttel:

És így:

2) A második törtet egy hasonló séma szerint bontjuk, de helyesebb más állandók (meghatározatlan együtthatók) használata:

És így:

Azt tanácsolom a dumáknak, hogy a felbontott operátormegoldást a következő formában írják le:
- így világosabb lesz a végső szakasz - az inverz Laplace-transzformáció.

A táblázat jobb oldali oszlopát használva térjünk át a képekről a megfelelő eredetikre:

A jó matematikai modor szabályai szerint egy kicsit rendbe tesszük az eredményt:

Válasz:

A választ egy szabványos séma szerint ellenőrizzük, amelyet a leckében részletesen tárgyalunk. Hogyan lehet differenciálegyenlet-rendszert megoldani? Mindig próbálja meg befejezni, hogy nagy pluszt adjon a feladathoz.

2. példa

Műveleti kalkulus segítségével keressen egy adott megoldást egy differenciálegyenlet-rendszerre, amely megfelel az adott kezdeti feltételeknek.
, ,

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Hozzávetőleges minta a feladat végső formájáról és a válaszról a lecke végén.

Egy nem homogén differenciálegyenlet-rendszer megoldása algoritmikusan nem különbözik attól, hogy technikailag egy kicsit bonyolultabb lesz:

3. példa

Műveleti kalkulus segítségével keressen egy adott megoldást egy differenciálegyenlet-rendszerre, amely megfelel az adott kezdeti feltételeknek.
, ,

Megoldás: A Laplace transzformációs tábla használata, a kezdeti feltételek figyelembe vételével , térjünk át az eredetiről a megfelelő képekre:

De ez még nem minden, az egyenletek jobb oldalán magányos állandók találhatók. Mi a teendő olyan esetekben, amikor az állandó teljesen egyedül van önmagában? Erről már volt szó az órán. Hogyan lehet megoldani egy DE-t a műveleti módszerrel. Ismételjük meg: az egyes állandókat gondolatban meg kell szorozni eggyel, és a következő Laplace-transzformációt kell alkalmazni az egységekre:

Helyettesítsük be a talált képeket az eredeti rendszerbe:

A -t tartalmazó kifejezéseket mozgassuk balra, a többit pedig helyezzük a jobb oldalra:

A bal oldalakon zárójelezést végzünk, emellett a második egyenlet jobb oldalát is közös nevezőre hozzuk:

Számítsuk ki a rendszer fő meghatározóját, ne felejtsük el, hogy célszerű azonnal megpróbálni az eredményt faktorizálni:
, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

Menjünk tovább:



Így a rendszer kezelői megoldása a következő:

Néha az egyik vagy akár mindkét frakció csökkenthető, néha pedig olyan sikeresen, hogy nem is kell bővíteni semmit! És bizonyos esetekben azonnal kap egy ajándékot, egyébként a lecke következő példája jelzésértékű lesz.

A határozatlan együtthatók módszerével megkapjuk az elemi törtek összegét.

Bontsuk fel az első törtet:

És elérjük a másodikat:

Ennek eredményeként az operátori megoldás a számunkra szükséges formát ölti:

A jobb oldali oszlop használata az eredeti dokumentumokat és képeket tartalmazó táblázatok végrehajtjuk az inverz Laplace transzformációt:

Helyettesítsük be a kapott képeket a rendszer operátori megoldásába:

Válasz: privát megoldás:

Amint látható, egy heterogén rendszerben munkaigényesebb számításokat kell végezni, mint egy homogén rendszerben. Nézzünk még néhány példát szinuszokkal és koszinuszokkal, és ez elég, mivel a probléma szinte minden típusát és a megoldás legtöbb árnyalatát figyelembe veszik.

4. példa

Az operatív kalkulus módszerével keressen egy adott megoldást egy differenciálegyenlet-rendszerre adott kezdeti feltételekkel,

Megoldás: Ezt a példát magam is elemzem, de a megjegyzések csak különleges pillanatokra vonatkoznak. Feltételezem, hogy már jól ismeri a megoldási algoritmust.

Térjünk át az eredetiről a megfelelő képekre:

Helyettesítsük be a talált képeket az eredeti távirányító rendszerbe:

Oldjuk meg a rendszert a Cramer-képletekkel:
, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

Az eredményül kapott polinom nem faktorizálható. Mi a teendő ilyen esetekben? Abszolút semmi. Ez is megteszi.

Ennek eredményeként a rendszer kezelői megoldása a következő:

Íme a szerencsejegy! Egyáltalán nem szükséges a határozatlan együtthatók módszerét alkalmazni! Az egyetlen dolog, hogy a táblatranszformációk alkalmazásához átírjuk a megoldást a következő formában:

Térjünk át a képekről a megfelelő eredetikre:

Helyettesítsük be a kapott képeket a rendszer operátori megoldásába:

Méret: px

Kezdje a megjelenítést az oldalról:

Átirat

1 Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval (operációs módszer) A műveleti számítás az egyik leggazdaságosabb módszer a lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatójú integrálására, és nagyon népszerű a mérnökök körében. A módszert a híres amerikai villamosmérnök és fizikus, O. Heaviside (892) javasolta. Formális szabályokat javasolt a d dx operátor kezeléséhez és néhány függvényt ebből az operátorból, amelyek segítségével számos fontos elektrodinamikai problémát megoldott. Az operatív számítás azonban nem kapott matematikai igazolást O. Heaviside munkáiban („matematikája olyan fizikai kontextusban keletkezett, amelytől nem volt könnyű elkülöníteni” [, 8. o.]), számos eredménye bizonyítatlan maradt. A módszer csak a 20. század 2. évében kapott igazolást Bromwich (T. J. I. A. Bromwich) és Carson (J. R. Carson) munkáiban 2.. Az eredeti és a kép fogalma a Laplace-definíció szerint. Eredeti függvény egy valódi x argumentum tetszőleges összetett értékű f(x) függvénye, amely teljesíti a következő feltételeket:) f(x) folytonos x-re, kivéve talán a -edik szakasz véges számú szakadási pontját. kedves; 2) minden x-re< f(x) = ; 3) существуют такие постоянные M >és a >, amelyre f(x) M e ax x-re. () Differenciál- és integrálegyenletek: tankönyv a Fizika és Műszaki Kar hallgatói számára: 3 órában 2. rész / ösz. : N. Yu. Svetova, E. E. Szemjonova. Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, A számítások szigorú indoklására és „matematikailag elfogadható” bemutatására tett kísérletek „általános rohamhoz” hasonlítottak: az angol matematikus Bromwich (96), az amerikai mérnök Carson (925), a holland villamosmérnök Van der Pol ( ) különböző elméletek eredményeit vonzotta, Heaviside-számítását a Laplace-transzformációval összekapcsolta egy komplex változó függvényelméletével.

2 2 Az összes a szám infimumát, amelyre teljesül a () egyenlőtlenség, az f(x) függvény növekedési kitevőjének nevezzük. Vegye figyelembe, hogy bármely korlátos függvényre a növekedési index a =. A legegyszerűbb eredeti a Heaviside függvény (, x ; χ(x) =, x<. Очевидно, для любой функции ϕ(x) { ϕ(x), x, ϕ(x) χ(x) =, x <. Если при x функция ϕ(x) удовлетворяет условиям и 3 определения, то функция ϕ(x)χ(x) является оригиналом. В дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, записывать ϕ(x) вместо ϕ(x)χ(x), считая, что рассматриваемые нами функции продолжены нулем для отрицательных значений аргумента x. Определение 2. Функция F (p) комплексного переменного p (p C), определяемая интегралом F (p) = e px f(x) dx, () называется преобразованием Лапласа, или изображением по Лапласу 3, функции f(x). Для указания соответствия между оригиналом и изображением будем использовать следующую запись 4: f(x) F (p). 3 В мемуарах П. Лапласа (782 82) современные оригинал и изображение именуются fonction determinant и fonction generatrice «определяющая функция» и «производящая». Эти названия, хотя и признанные неудачными, сохранились до XX в. Хевисайд употреблял названия «подоператорная функция» (892). Оператор он обозначал буквой p, которая употребляется в современном исчислении . 4 Названия original и image и знак предложил Ван дер Поль в статьях гг. В русской литературе термин изображение и символ, по-видимому, впервые появились в книге харьковских математиков А. М. Эфроса и А. М. Данилевского «Операционное исчисление и контурные интегралы» (937), а термин оригинал только в 953 г. . Используются и другие варианты записи соответствия между оригиналами и изображениями. Например, f(x) F (p) или L{f(x)} = F (p).

3 Bármely eredeti f(x) esetén annak F (p) képe a Re p > a félsíkban van definiálva (a az f(x) függvény növekedési indexe), ahol a nem megfelelő integrál () konvergál. Példa. A definíció segítségével keressük meg az f(x) = sin 3x függvény képét. Megoldás. Az f(x) = sin 3x függvényhez van egy =. Ezért az F (p) kép a Re p > félsíkban lesz meghatározva. Alkalmazzuk az adott függvényre a () képletet a részenkénti integráció szabályával és a p változó értékkészletének korlátozásával, biztosítva az integrál konvergenciáját: F (p) = + e px sin 3x dx = = p e px sin 3x x= = 3 p p e px cos 3x = 3 p 2 9 p 2 Megkapjuk az egyenlőséget: Hol találjuk a + x=+ + 3 p x=+ x= + 3 p e px cos 3x dx = + e px sin 3x dx = 3 p 2 9 p 2 F (p ). F (p) = 3 p 2 9 p 2 F (p). F (p) = 3 p Így igaz a következő megfeleltetés: sin 3x 3 p 2, Re p >. + 9 e px sin 3x dx = 3

4 4 2. A Laplace-transzformáció tulajdonságai A gyakorlatban a képek készítésekor a Laplace-transzformáció tulajdonságaira alapozva különféle technikákat alkalmaznak. Soroljuk fel azokat a főbb tulajdonságokat, amelyek érvényessége a kép és az eredeti definícióival könnyen megállapítható A linearitás tulajdonsága. Ha f(x) F (p), g(x) G(p), akkor bármely α esetén β C αf(x) + βg(x) αf (p) + βg(p), Re p > max( a, b). Itt és lent az a és b az f(x) és g(x) függvény növekedési mutatói. 2. Hasonlósági tétel. Ha f(x) F (p), akkor bármely α > f(αx) α F (p α) esetén Re p > αa. 3. Eltolási tétel. Ha f(x) F (p), akkor bármely λ C e λx f(x) F (p λ) esetén Re p > a + Re λ. 4. Az eredeti megkülönböztetése. Legyen az f(x) függvény n-szer differenciálható. Ekkor f (x) pf (p) f(+), f (x) p 2 F (p) pf(+) f (+), f (n) (x) p n F (p) p n f(+). .. pf (n 2) (+) f (n) (+), ahol f (k) (+) = lim x + f (k) (x), k =, n. Megjegyzés. A nullán folytonos függvények deriváltjainak képeinek megalkotásakor a pluszjelet kihagyjuk a függvény argumentumának és deriváltjainak írásánál. 5. Képdifferenciálás. Ha f(x) F (p), akkor Konkrétan n = esetén van F (n) (p) (x) n f(x), Re p >. F (p) xf (x).

5 5 6. Az eredeti integrálása. Ha f(x) F (p), akkor x f(ξ) dξ F (p) p, Re p > α. 7. Képintegráció. Ha az integrál és F (p) f(x), akkor p F (p) dp f(x) x, Re p > α. p F (p) dp konvergál 8. Képszorzás tétel (konvolúciós tétel) Ha f(x) F (p), g(x) G(p), akkor F (p)g(p) x f(t) g( x t) dt = x f(x t)g(t) dt, ha Re p > max(a, b). A megfeleltetés jobb oldalán lévő integrálokat az f(x) és g(x) függvények konvolúciójának nevezzük. 9. Késleltetési tétel. Ha f(x) F (p), akkor bármely ξ > f(x ξ)χ(x ξ) e ξp F (p) esetén Re p > α. A képről egyedi módon, a töréspontok értékeinek megfelelően állítják vissza az eredetit. A gyakorlatban általában az eredetik és képek kész táblázatait használják 5. A táblázat felsorolja az alkalmazásokban gyakran megtalálható főbb eredetiket és képeket. 2. példa: A Laplace-transzformáció tulajdonságait és az alapvető eredetik és képek táblázatát felhasználva keresse meg a következő függvények képeit:) f(x) = e 4x sin 3x cos 2x; 3) f(x) = x 2 e 3x ; 2) f(x) = e (x 2) sin (x 2); 4) f(x) = sin2 x x. 5 Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Az operatív számítás kézikönyve. M., 965.

6 6 táblázat. Alapvető eredetik és képek Eredeti kép Eredeti kép p cos ωx p p 2 + ω 2 x n n! p n+ e λx p + λ sin ωx x cos ωx x n e λx n! (p + λ) n+ x sin ωx ω p 2 + ω 2 p 2 ω 2 (p 2 + ω 2) 2 2pω (p 2 + ω 2) 2 Megoldás.) Alakítsa át az f(x) függvény kifejezését a következőképpen: a következő: f(x) = e 4x sin 3x cos 2x = 2 e 4x (sin 5x + sin x) = = 2 e 4x sin 5x + 2 e 4x sin x. Mivel sin x 5 p 2 és sin 5x + p, ezért a linearitási tulajdonságot és az eltolási tételt felhasználva az f(x) függvény ábrázolásához a következőket kapjuk: F (p) = () 5 2 (p + 4) ( p + 4 )) Mivel sin x p 2 +, ex sin x (p) 2 +, akkor a késleltetési tételt használva f(x) = e x 2 sin (x 2) F (p) = e 2p ( p)) Tehát mint x 2 2 p 3, akkor az eltolási tétel alapján megkapjuk: f(x) = x 2 e 3x F (p) = 2 (p 3) 3.

7 Összehasonlításképpen bemutatunk egy módszert az f(x) = x 2 e 3x függvény képének elkészítésére a képdifferenciálás tulajdonságával: Ugyanezt az eredményt kaptuk. 4) Mivel e 3x p 3 ; xe 3x d () = dp p 3 (p 3) 2 ; x 2 e 3x d () 2 dp (p 3) 2 = (p 3) 3. sin 2 x = 2 2 cos 2x 2p 2 p p 2 + 4, akkor a képintegráció tulajdonságát felhasználva a következő lesz: sin 2 x ( x 2p) 2 p p 2 dp = + 4 p (= 4 ln p2) 4 ln(p2 + 4) = p 4 ln p 2 p p = 4 ln p2 + 4 p Az eredeti visszaállítása a képről Hagyja a képet Y (p) megfelelő racionális tört (a racionális függvény). Ha egy törtet egyszerű (elemi) törtek összegére bontunk, akkor mindegyikhez megtalálhatjuk a megfelelő eredetit a Laplace-transzformáció és az eredetik és képeik táblázata segítségével. Valóban, A p a A eax ; A (p a) n A (n)! xn e ax.

8 8 Az Ap + B A(p a) + aa + B A(p a) (p a) 2 = + b2 (p a) 2 + b 2 = (p a) 2 + b 2 + aa + B (p a) 2 + tört átalakítása után b 2, kapjuk Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx. b Az Ap + B ((p a) 2 + b 2) n törtnek megfelelő eredeti összeállításához használhatja a szorzási tételt. Például n = 2 esetén Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = Ap + B (p a) 2 + b 2 (p a) 2 + b 2. Azóta, majd n = 3 esetén: Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx = h (x) b (p a) 2 + b 2 b eax sin bx = g(x), Ap + B ((p a ) 2 + b 2) 2 = x Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 (p a) 2 + b 2 g(x t) h (t) dt = h 2 (t). x g(x t) h 2 (t) dt, Hasonlóképpen megfontolhatjuk az eredetik visszaállítását n > 3 esetén. Az Y (p) racionális függvény nevezője egy k rendű polinom. Ha van k különálló nullája p i, i =, k, akkor bővül

9 nevező tényező szerint (p p i), az Y (p) megfelelő eredetije a következő képlettel kereshető: y(x) = k (Y (p)(p p i)e px) p=pi. (2) i= Az Y (p)(p p i) szorzat egy racionális függvényt ad, melynek nevezője nem tartalmaz faktort (p p i), és p = p i-re számítva meghatározza azt az együtthatót, amellyel a tört szerepel a p p i-ben. az Y (p) függvény kiterjesztése elemi törtek összegére. 3. példa Keresse meg a képnek megfelelő eredetit: Y (p) = p 3 p. Megoldás. Az adott képet elemi törtek összegére kibontva: p 3 p = p(p)(p +) = p + 2(p) + 2(p +) megtaláljuk az eredeti választ: y(x) = + ch x. y(x) = + 2 ex + 2 e x = + ch x. 4. példa Keresse meg a kép eredetijét: Y (p) = p (p 2 +). Megoldás. Mivel p 2 sin x, akkor az eredeti integrációs tulajdonságát alkalmazva + kapjuk: p(p 2 +) x Válasz: y(x) = cos x. sin t dt = cos t x = cos x. 5. példa Keresse meg a képnek megfelelő eredetit: Y (p) = (p 2 + 4) 2. 9

10 Megoldás. A konvolúciós kép tulajdonságot alkalmazva a következőt kapjuk: Y (p) = (p 2 + 4) 2 = p p x sin 2(x t) sin 2t dt. Az integrál kiszámítása után megkapjuk az eredeti kívánt kifejezését. Válasz: y(x) = 6 sin 2x x cos 2x. 8 6. példa Keresse meg a képnek megfelelő eredetit: Y (p) = p p 3 p 2 6p. Megoldás. Mivel p 3 p 2 6p = p(p 3)(p + 2), ezért az Y (p) tört nevezőjének három egyszerű gyöke van: p =, p 2 = 3 és p 3 = 2. Szerkesszük meg a megfelelőt eredeti a (2) képlet használatával: y(x) = (p2 + 2)e px (p 3)(p + 2) + (p2 + 2)e px p= p(p + 2) + (p2 + 2) )e px p =3 p(p 3) = p= 2 = e3x e 2x. 7. példa Keresse meg a képnek megfelelő eredetit: Y (p) = e p 2 p(p +) (p 2 + 4). Megoldás. Képzeljük el a kifejezésben szereplő törtet egyszerű törtek formájában: p(p +)(p 2 + 4) = A p + B p + + Cp + D p A határozatlan együtthatók módszerét alkalmazva a bővítésre, megkapjuk : A kép így fog kinézni: A = 4 ; B = D = 5; C = 2. Y (p) = e p 2 4 p 5 e p 2 p + pe p 2 2 p e p 2 5 p (a)

11 A p χ(x), p + e x χ(x), p p cos 2x χ(x), p sin 2x χ(x) 2 összefüggések felhasználásával és a retardációs tétel figyelembe vételével megkapjuk a képhez kívánt eredetit. (a). Válasz: y(x) = (4 5 e (x 2) cos (2x) sin (2x) 2) χ (x) A Cauchy-feladat megoldása állandó együtthatós differenciálegyenletre Különféle egyenletosztályok megoldásának módja a Laplace-transzformációt műveleti módszernek nevezzük. A Laplace-transzformáció tulajdonsága, az eredeti differenciálása lehetővé teszi, hogy az állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek megoldását az algebrai egyenletek megoldására redukáljuk. Tekintsük a Cauchy-problémát egy inhomogén egyenletre y (n) + a y (n) a n y + a n y = f(x) (3) y() = y, y () = y,..., y (n) ) ( ) = y n. (4) Legyen az f(x) függvény és a keresett megoldás teljesítse a Laplace-transzformáció létezésének feltételeit. Jelöljük Y (p) az ismeretlen függvény (eredeti) y(x) képét, F (p) pedig az f(x) jobb oldalának képét: y(x) Y (p), f (x) F (p). Az eredeti differenciálási szabálya szerint y (x) py (p) y, y (x) p 2 Y (p) py y, y (n) (x) p n Y (p) p n y p n 2 y. y n.

12 2 Ekkor a Laplace-transzformáció linearitási tulajdonsága miatt a (3) egyenlet bal és jobb oldalára történő alkalmazása után az M(p)Y (p) N(p) = F (p) operátoregyenletet kapjuk. ), (5) ahol M(p) a (3) egyenlet karakterisztikus polinomja: M(p) = p n + a p n a n p + a n y, N(p) polinom, amely a Cauchy-probléma kezdeti adatait tartalmazza (eltűnik, ha a kezdeti adat nulla ): N(p) = y (p n + a p n a n) + + y (p n 2 + a p n a n 2) y n 2 (p + a) + y n, az f(x) függvény F (p) képe. Az (5) operátoregyenletet megoldva megkapjuk a kívánt y(x) megoldás Y (p) Laplace-képét Y (p) = F (p) + N(p) formában. M(p) Visszaállítva Y (p) eredetijét, a (3) egyenletre olyan megoldást találunk, amely kielégíti a (4) kezdeti feltételeket. 8. példa. Keressünk megoldást a differenciálegyenletre: y (x) + y(x) = e x, teljesítve a feltételt: y() =. Megoldás. Legyen y(x) Y (p). Mivel y (x) py (p) y() = py (p), e x p +, így a Laplace-transzformációt az adott egyenletre alkalmazva, a linearitás tulajdonságot felhasználva kapunk Y (p) algebrai egyenletét: py ( p) + Y (p) = p +. Hol találjuk az Y (p) kifejezést:

13 Azóta Y (p) = p + e x, (p +) 2 + p +. (p +) 2 xe x, Y (p) y(x) = e x x + e x. Ellenőrzés: Mutassuk meg, hogy a megtalált függvény valóban megoldást jelent a Cauchy-problémákra. Az y(x) függvény kifejezését és deriváltját behelyettesítjük az adott egyenletbe: y (x) = e x x + e x e x = e x x e x x + e x x + e x = e x. Miután hasonló tagokat hoztunk az egyenlet bal oldalára, megkapjuk a helyes azonosságot: e x e x. Így a megszerkesztett függvény az egyenlet megoldása. Vizsgáljuk meg, hogy teljesíti-e az y() = : y() = e + e = kezdeti feltételt. Következésképpen a talált függvény a Cauchy-probléma megoldása. Válasz: y(x) = e x x + e x. 9. példa Oldja meg a Cauchy-feladatot y + y =, y() =, y() =. Megoldás. Legyen y(x) Y (p). Mivel 3 y (x) p 2 Y (p) py() y (), /p, akkor a Laplace-transzformációt alkalmazva az egyenletre, figyelembe véve a kezdeti feltételeket kapjuk (p 2 +)Y (p) = p = Y (p) = p (p 2 +). Bontsuk fel a törtet egyszerűbb törtekre: Y (p) = p A táblázatból azt kapjuk, hogy y(x) = cos x. p p 2 +.

14 4 Az eredetit egy képből is visszaállíthatja az eredeti integrálása tulajdonság alkalmazásával (lásd a 4. példát). Válasz: y(x) = cos x. Példa. Oldja meg a Cauchy-feladatot y +3y = e 3x, y() =, y() =. Megoldás. Legyen y(x) Y (p). Mivel y py (p) y(), y (x) p 2 Y (p) py() y (), és e 3x p + 3, így a kezdeti feltételeket figyelembe véve megkapjuk a (p) operátoregyenletet 2 + 3p) Y (p) + = p + 2 = Y (p) = p + 3 (p + 3) 2 p. Bontsuk fel a racionális függvényt egyszerű törtekre: p + 2 (p + 3) 2 p = A p + B p C (p + 3) 2 = A(p2 + 6p + 9) + B(p 2 + 3p) + Cp p (p + 3) 2. Készítsünk egyenletrendszert az A, B és C együtthatók megkeresésére: A + B =, 6A + 3B + C =, 9A = 2, amelynek megoldásával A = 2/9 , B = 2/9, C = /3. Ezért Y (p) = 2 9 p p (p + 3) 2. A táblázat segítségével megkapjuk a választ. Válasz: y(x) = e 3x 3 xe 3x. Példa. Keressünk megoldást a differenciálegyenletre: y (x) + 2y (x) + 5y (x) =, teljesítve a feltételeket: y() =, y () = 2, y () =. Megoldás. Legyen y(x) Y (p). Mivel az adott feltételeket figyelembe véve y (x) p Y (p) y() = py (p) () = py (p) +, y (x) p 2 Y (p) p y() y () = = p 2 Y (p) p () 2 = p 2 Y (p) + p 2, y (x) p 3 Y (p) p 2 y() p y () y () = = p 3 Y (p) p 2 () p 2 = p 3 Y (p) + p 2 2p,

15, majd a Laplace-transzformációt az adott egyenletre alkalmazva a következő operátoregyenletet kapjuk: p 3 Y (p) + p 2 2p + 2p 2 Y (p) + 2p 4 + 5pY (p) + 5 = vagy transzformációk után: Y (p) (p 3 + 2p 2 + 5p) = p 2. Ezt az egyenletet Y (p)-re megoldva Y (p) = p 2 p(p 2 + 2p + 5) kapjuk. Bontsuk fel a kapott kifejezést egyszerű törtekre: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = A p + Bp + C p 2 + 2p + 5. A határozatlan együtthatók módszerével A, B, C-t találjuk. Ehhez csökkentjük a törteket az általános nevezőre, és egyenlővé tesszük a p egyenlő hatványaihoz tartozó együtthatókat: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = Ap2 + 2Ap + 5A + Bp 2 + Cp p(p p + 5) Kapunk egy algebrai egyenletrendszert A, B, C-re: ennek megoldása a következő lesz: A + B =, 2A + C =, 5A =, A = 5, B = 4 5, C = 2 5. Ekkor Y (p) = 5p + 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5. A második tört eredetijének megkereséséhez a teljes négyzetet jelöljük ki a nevezőjében: p 2 + 2p + 5 = (p +) 2 + 4, majd a számlálóban kiválasztjuk a p+ kifejezést: 4p+2 = 4(p+)+6 és a törtet két tört összegére bontjuk : 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5 = 4 5 p + (p +) (p +) Ezután az eltolási tételt és a képek és az eredetik közötti megfelelési táblázatot felhasználva megoldást kapunk az eredeti egyenletre. Válasz: y(x) = e x cos 2x e x sin 2x.

16 6 Az operatív módszer segítségével a (3) egyenlet általános megoldása megszerkeszthető. Ehhez a kezdeti feltételek y, y,..., y (n) értékeit tetszőleges C, C 2,..., C n állandókkal kell helyettesíteni. Bibliográfia. Aleksandrova N.V. Matematikai kifejezések, fogalmak, jelölések története: Szótár-kézikönyv. M.: LKI Kiadó, p. 2. Vasziljeva A. B. Differenciál- és integrálegyenletek, variációs számítások példákban és problémákban / A. B. Vasilyeva, G. N. Medvedev, N. A. Tikhonov, T. A. Urazgildina. M.: FIZ-MATLIT, p. 3. Sidorov Yu. V. Előadások egy komplex változó függvényeinek elméletéről / Yu. V. Sidorov, M. V. Fedoryuk, M. I. Shabunin. M.: Tudomány, 989.

MŰVELETI SZÁMÍTÁS Az operatív kalkulus szimbolikus kalkulusra utal, amely a matematikai elemzés, mint formális műveletrendszer felépítésén alapul, mesterségesen bevezetett műveletekre.

18. lecke Eredetek és képeik A műveleti számítás a matematikai elemzés egyik olyan módszere, amelyet differenciálegyenletek és -rendszerek megoldására fogunk alkalmazni. A módszer használatának lényege

Matematikai fizika egyenletek Példák és gyakorlatok gyűjteménye Petrozsény 1 Petrozsény Állami Egyetem Matematikai Kar Matematikai fizika egyenletek Példa- és gyakorlatgyűjtemény

Tartalom Bevezetés. Alapfogalmak.... 4 1. Volterra integrál egyenletek... 5 Házi feladatlehetőségek.... 8 2. Volterra integrál egyenlet feloldója. 10 Házi feladat lehetőség... 11

1 4. témakör. Operátori módszer lineáris differenciálegyenletek és rendszerek megoldására 4.1 Laplace-transzformáció Eredeti egy t valós változó bármely f(t) függvénye, amely kielégíti a következőket

AZ OPERÁCIÓS SZÁMÍTÁS KIADÓ ELEMEI TSTU AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA GOU VPO "Tambov Állami Műszaki Egyetem" AZ OPERÁCIÓS KIADÓ ELEMEI

Matematikai elemzés Szekció: műveleti számítás Témakör: Laplace-transzformáció és tulajdonságai Előadó Pakhomova E.G. 2011 11. Eredeti és kép. Inverziós tétel DEFINÍCIÓ 1. Legyen:R C. Függvény

Komplex számok, függvények és műveletek y modul R valós rész valós szám, yim képzeletbeli rész valós szám iy komplex számok írásának algebrai formája Az argumentum fő értéke

A tesztmunka standard változatainak megoldása egy változó függvényének integráljai témakörben Módszertani utasítások UDC 517.91 A módszertani utasítások részletes megoldásokat tartalmaznak a tesztmunka tipikus változataira

1. fejezet Műveleti számítás. 1. A Laplace-transzformáció definíciója. A Laplace-transzformáció az f(t) függvényt egy t valós változóhoz társítja egy = x + iy komplex változó F() függvényével.

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ KÖZLEKEDÉSI MINISZTÉRIUMA SZÖVETSÉGI ÁLLAM KÖLTSÉGVETÉSI OKTATÁSI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY "ORSZ KÖZLEKEDÉSI EGYETEM (MIIT)" Felsőoktatási és számítástechnikai tanszék

SZÖVETSÉGI ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉSI OKTATÁSI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY "MOSZKVA ÁLLAMI KÖZLEKEDÉSI EGYETEM II. NIKLÓS CSÁSZÁR" "Felsőfokú és számítástechnikai matematika" tanszék

82 4. 4. fejezet Funkcionális és teljesítménysorok 4.2. 3. lecke 4.2. 3. lecke 4.2.. Függvény kiterjesztése Taylor-sorba DEFINÍCIÓ 4.2.. Legyen az y = f(x) függvény végtelenül differenciálható valamelyik szomszédságban

Előadás RACIONÁLIS TÖRTEK INTEGRÁLÁSA Racionális törtek Egyszerű racionális törtek integrálása Racionális törtek bontása egyszerű törtekké Racionális törtek integrálása Racionális

5. TÉMAKÖR A -fajta lineáris Volterra-egyenlete Alapvető definíciók és tételek Az y = λ K(,) y() d+ f(), [, vagy y = λ By+ f operátor formában az egyenletet a fajta Volterra egyenletnek nevezzük. Hadd

6. előadás Műveleti számítás Laplace-transzformáció Egyszerű függvények képei A Laplace-transzformáció alapvető tulajdonságai Az eredeti Műveleti kalkulus deriváltjának képe Laplace-transzformáció

19. lecke Differenciálegyenletek és -rendszerek megoldása műveleti módszerrel 19.1 Lineáris differenciálegyenletek megoldása állandó együtthatókkal Legyen szükség egy lineáris megoldásra

2.2. Operátori módszer tranziens folyamatok számítására. Elméleti információk. Az összetett áramkörök tranziens folyamatainak klasszikus módszerrel történő kiszámítása nagyon gyakran megnehezíti az integrációs állandók keresését.

DOROKHOV VM ÚTMUTATÓ MŰKÖDÉSI SZÁMÍTÁS PROBLÉMAMEGOLDÁSHOZ MOSZKVA, 4 ELŐSZÓ Ez a tankönyv felvázolja az operatív számítás elméleti alapjait, és felvázolja a problémák megoldásának módszereit.

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény "DI Mengyelejevről elnevezett Orosz Vegyipari-Technológiai Egyetem" Novomoskovszki Intézet (ága) 8. teszt matematikából (működési

UDC 53.7 AZ EGY MÓDSZERRŐL AZ ÁLLANDÓ EGYETTÁJÚ LINEÁRIS DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK RÉSZMEGOLDÁSÁNAK KERESÉSÉRE Zhanybekova A.A., [e-mail védett] Kazah-Brit Műszaki Egyetem,

INTEGRÁLIS SZÁMÍTÁS KÁRTYÁZÁS INTEGRÁL Antiderivatív függvény és az antiderivált lemma függvény határozatlan integrálja Az F(az f(függvény antideriváltjának nevezzük, ha az X intervallumon F (= f(X függvény,

A deriváltra nem feloldott elsőrendű egyenletek A deriváltra vonatkozóan fel nem oldott elsőrendű egyenleteket tekintjük: F (x, y, y) = 0, (1) ahol F a származékának adott függvénye

II. DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK Elsőrendű differenciálegyenletek Definíció Azokat a kapcsolatokat, amelyekben ismeretlen változók és függvényeik derivált vagy differenciáljel alatt vannak, ún.

A KOMPLEX VÁLTOZÓS MŰVELETI SZÁMÍTÁS FUNKCIÓI ELMÉLETÉNEK ELEMEI A téma tanulmányozása eredményeként a hallgatónak meg kell tanulnia: meg kell találnia egy komplex szám trigonometrikus és exponenciális alakját a szerint.

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma "MATI" Orosz Állami Műszaki Egyetem névadója. K.E. Ciolkovszkij Felsőmatematika Tanszék Komplex számok és műveleti számítások

1 3. témakör. Lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal 3.1. Lineáris homogén egyenlet Differenciálegyenlet y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) ahol a

MEGHATÁROZATLAN INTEGRÁL. Antiderivatív és határozatlan integrál A differenciálszámítás fő feladata egy adott függvény deriváltjának (vagy differenciáljának) megtalálása. Integrálszámítás

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma A "Szibériai Szövetségi Egyetem" Szövetségi Állami Autonóm Oktatási Intézmény Achinszki fiókja MATEMATIKA

Funkciókorlát. A téma tanulmányozásának relevanciája A határok elmélete alapvető szerepet játszik a matematikai elemzésben, és lehetővé teszi, hogy meghatározzuk egy függvény viselkedésének természetét egy adott érvváltozás esetén. Használva

Antiderivatív és határozatlan integrál Alapfogalmak és képletek 1. Az antiderivatív és határozatlan integrál definíciója. Meghatározás. Az F(x) függvényt az intervallum f(x) függvényének antideriváltjának nevezzük

1. fejezet Differenciálegyenletek 1.1 A differenciálegyenlet fogalma 1.1.1 Differenciálegyenletekhez vezető feladatok. A klasszikus fizikában minden fizikai mennyiséghez kapcsolódik

ELSŐRENDŰ KÖZÖNÖSSÉGI DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Alapfogalmak Differenciálegyenletek szeparálható változókkal A tudomány és a technika számos problémája differenciálegyenletekre redukálódik.

Módszertani fejlesztés Feladatok megoldása TFKP-n Komplex számok Műveletek komplex számokkal Komplex sík Komplex szám ábrázolható algebrai és trigonometrikus exponenciálisan

3. előadás Taylor és Maclaurin sorozat Hatványsorok alkalmazása Függvények kiterjesztése hatványsorokká Taylor és Maclaurin sorozatok Az alkalmazásoknál fontos, hogy egy adott függvényt hatványsorba tudjunk bővíteni, azokat a függvényeket

Tipikus változat „Komplex számok Polinomok és racionális törtek” Feladat Adott két komplex szám és cos sn Keresse meg és írja le az eredményt algebrai alakban írja az eredményt trigonometrikus formában

Szövetségi Oktatási Ügynökség Szövetségi Állami Szakmai Felsőoktatási Intézmény DÉL SZÖVETSÉGI EGYETEM R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Módszertani

S P PREOBRAZHENSKY, SR TIKHOMIROV DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK INTEGRÁLÁSA 987-ES HATÁSSOROZAT HASZNÁLATÁVAL TARTALOM Előszó A 3. feladat megfogalmazása A 3. feladat lehetőségei Példa a feladatra és megjegyzések

Matematikai elemzés Szekció: Határozatlan integrál Téma: Racionális törtek integrálása Előadó E.G. Pakhomova 0 g 5. Racionális törtek integrálása DEFINÍCIÓ. A racionális törtet nevezzük

Az Orosz Föderáció Közlekedési Minisztériuma SZÖVETSÉGI ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉSI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY „ORROSZ KÖZLEKEDÉSI EGYETEM (MIIT)” Közgazdasági és Pénzügyi Intézet

MŰKÖDÉSI SZÁMÍTÁS Laplace-transzformáció és inverziós képlet Tegyük be a Dirichlet-intervallumot, nevezetesen: (l l) Fourier-integrál a) erre az intervallumra korlátos; a függvény kielégíti a feltételeket b) darabonként folytonos

Az Orosz Föderáció Oktatási Minisztériuma Orosz Állami Olaj- és Gázipari Egyetem, IM Gubkin VI Ivanov nevét viselő Irányelvek a „DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEK” téma tanulmányozásához (hallgatók számára

57 Tekintsük a negyedik típus legegyszerűbb racionális törtjének integrálását (M N) d () p q p Változtassuk meg a változót d beállításával. ahol a p q. Ezután integrál M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Egy n-edrendű differenciálegyenletet lineárisnak nevezünk, ha az y függvényhez és annak y..., y (n) deriváltjaihoz képest elsőfokú, azaz a 0 y (n) + a alakú. 1 y (n 1) +. .. + a ny = f (x), ahol

Matematikai elemzés Szekció: Határozatlan integrál Téma: Racionális törtek integrálása Előadó Rozhkova S.V. 0 g 5. Racionális törtek integrálása DEFINÍCIÓ. A racionális törtet nevezzük

Az Orosz Föderáció Távközlési és Tömegkommunikációs Minisztériuma Állami felsőoktatási felsőoktatási intézmény VOLGA ÁLLAMI TÁVKÖZLÉSI EGYETEM

A derivált alapján megoldott elsőrendű differenciálegyenletek A megoldás létezésének és egyediségének tétele Általános esetben az elsőrendű differenciálegyenletnek F () alakja van.

T A Matveeva V B Vetlichnaya D K Agisheva A Zotova A MATEMATIKA KÜLÖNLEGES FEJEZETEI: MŰKÖDÉSI TANULMÁNY SZÖVETSÉGI OKTATÁSI ÜGYNÖKSÉG VOLZKIJI MŰKÖDÉSI INTÉZET ÁLLAMI OKTATÁSI ÁGAZAT

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS INDEMNITE INTEGRÁL Antiderivatív függvény és az antiderivatíva határozatlan integrálja Az F() függvényt az f() függvény antiderivatívájának nevezzük az X intervallumon, ha F / () = f() X.

5. 4 Az integráció alapvető módszerei Közvetlen integráció. Integrálok számítása az integrandus táblázatos formára való redukálása és a határozatlan tulajdonságainak felhasználása alapján

3. előadás Vezérlőrendszerek matematikai leírása A vezérléselméletben a vezérlőrendszerek elemzésekor, szintetizálása során azok matematikai modelljével foglalkozunk Az automatikus vezérlőrendszer matematikai modellje az egyenlet

Differenciálegyenlet-rendszer integrálása változók eliminálásával A differenciálegyenlet-rendszer integrálásának egyik fő módszere a következő: a normál egyenleteiből.

Elsőrendű parciális differenciálegyenletek A klasszikus mechanika, kontinuummechanika, akusztika, optika, hidrodinamika, sugárzásátvitel egyes problémái parciális differenciálegyenletekre redukálódnak

A legegyszerűbb határozatlan integrálok Példák problémamegoldásra Az alábbi integrálokat az integrandus azonos transzformációjával táblázatossá redukáljuk. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

GYAKORLATI lecke Racionális törtek integrálása A racionális tört a P Q alakú tört, ahol P és Q polinomok.A racionális tört akkor nevezzük megfelelőnek, ha a P polinom fokszáma kisebb, mint a fokszám

[F] Filippov AV Differenciálegyenletek feladatgyűjteménye Moszkva-Izhevsk: "Reguláris és kaotikus dinamika" Tudományos Kutatóközpont 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [M] Matveev NM Feladatok és gyakorlatok gyűjteménye

E foglalkozás. Taylor sorozat. Hatványsorok összegzése Mat. elemzés, appl. matematika, 3. félév Hatványokban keresse meg egy függvény hatványsorba való kiterjesztését, számítsa ki a hatványsorok konvergencia sugarát: A f()

Feladat 1.1. Keresse meg a jelzett tartományban a differenciálegyenlet y = y(x) nem azonos zérus megoldásait, amelyek kielégítik az adott peremfeltételeket (Sturm-Liouville probléma) Megoldás: Tekintsük

9. Antiderivatív és határozatlan integrál 9.. Legyen adott az f() függvény az I R intervallumon. Az F () függvényt az f () függvény antideriváltjának nevezzük az I intervallumon, ha F () = f () bármely I-re, és az antideriváltának.

~ ~ Határozatlan és határozott integrálok Az antiderivatív és határozatlan integrál fogalma. Definíció: Egy F függvényt egy f függvény antiderivatívájának nevezünk, ha ezek a függvények az alábbiak szerint kapcsolódnak egymáshoz

5. előadás 7 Hilbert-Schmidt tétel Megvizsgálunk egy A integrál operátort, amelynek K(s) kernelje a következő feltételeket teljesíti: K(s) szimmetrikus, folytonos a [, ] változók halmazában.

A Fehérorosz Köztársaság Oktatási Minisztériuma Fehérorosz Állami Egyetem Fizikai Kar Felsőfokú Matematika és Matematikai Fizika Tanszék O A Kononova, N I Ilyinkova, N K Filippova Lineáris

9. témakör Hatványsorok A hatványsorok olyan funkcionális sorozatok, ahol a számok... a sorozat együtthatói, és a sorozat.,...,... R... tágulási pontja az úgynevezett központ Hatványsor A hatványsor általános kifejezése

ÁLLANDÓ EGYENLETŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁL-EGYENLETRENDSZEREK Egy harmadrendű egyenletre redukálás Gyakorlati szempontból nagyon fontosak az állandó együtthatójú lineáris rendszerek

Integrálok és differenciálegyenletek 1. modul: Határozatlan integrál 1.2. Előadás Absztrakt Racionális törtek. Egy megfelelő racionális tört felbontása a legegyszerűbb összegre. A legegyszerűbbek integrálása

Heaviside kiterjesztési képlete

Legyen a függvény képe egy tört racionális függvény.

Tétel. Legyen, hol és vannak differenciálható függvények. Vezessük be a függvény mindkét pólusát, pl. nevezőjének gyökei (nullai). Akkor, ha megkapjuk a Heaviside képletet:

A bizonyítást arra az esetre végezzük, amikor és fokok polinomjai TÉs P ennek megfelelően míg T P. Akkor ez egy megfelelő racionális tört. Mutassuk be egyszerű törtek összegeként:

Innen a (17.2) identitásból találjuk meg az együtthatókat, átírva a formába

Az utolsó egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk meg, és menjünk a határértékre. Ha ezt figyelembe vesszük, és megkapjuk

honnan következik (17.1). A tétel bizonyítást nyert.

1. megjegyzés. Ha a polinomok együtthatói valósak, akkor a polinom komplex gyökei páronként konjugáltak. Következésképpen a (17.1) képletben a komplex konjugált mennyiségek a polinom komplex konjugált gyökeinek megfelelő tagok lesznek, a Heaviside-formula pedig

ahol az első összeget kiterjesztjük a polinom összes valós gyökére, a másodikat a pozitív képzeletbeli részekkel rendelkező összes komplex gyökre.

Jegyzet 2. A (17.1) képlet minden tagja egy komplex formában írt rezgést jelent, ahol. Így a valós gyökök () az aperiodikus rezgéseknek, a negatív valós részekkel rendelkező komplex gyökök a csillapított oszcillációknak, a tisztán képzeletbeli gyökök pedig a csillapítatlan harmonikus rezgéseknek felelnek meg.

Ha a nevezőnek nincsenek pozitív valós részek gyökei, akkor kellően nagy értékek esetén állandósult állapotot kapunk:

Pozitív képzeletbeli részekkel rendelkező polinom tisztán képzeletbeli gyökerei.

A negatív valós részekkel rendelkező gyököknek megfelelő oszcillációk exponenciálisan lecsengenek a ponton, ezért nem lépnek állandósult állapotba.

1. példa Keresse meg az eredeti képet

Megoldás. Nekünk van. Írjuk fel a polinom gyökereit: .

A (17.1) képlet szerint

Itt, mivel a számok az egyenlet gyökerei. Ennélfogva,

2. példa Keresse meg az eredeti képet

Ahol A 0; .

Megoldás. Itt a függvénynek a nyilvánvaló gyökön kívül végtelen sok gyöke van, amelyek a függvény nullái. Megoldva az egyenletet, hova jutunk

Így a nevező gyökeinek alakja és hol van

A (17.3) képlet segítségével megtaláljuk az eredetit

Operátori módszer differenciálegyenletek megoldására

Differenciál egyenletek. Tekintsük a Cauchy-feladatot egy lineáris differenciálegyenlethez

(itt) kezdeti feltételekkel

Áttérve a (18.1) képre, a Laplace-transzformáció linearitása miatt meglesz

A 16. § 3. tételét és a kezdeti feltételeket (18.2) felhasználva a származékok képeit alakba írjuk.

A (18.4)-et (18.3) behelyettesítve egyszerű transzformációk után megkapjuk az operátoregyenletet

ahol (karakterisztikus polinom); .

A (18.5) egyenletből megtaláljuk az operátormegoldást

A Cauchy-probléma (18.1), (18.2) megoldása az eredeti operátormegoldás (18.6):

A Cauchy-probléma esetében az elfogadott jelöléssel írhatunk

Az operátoregyenlet alakja

Bontsuk fel az operátori megoldást egyszerű törtekre:

A 15. §-ban kapott képletek felhasználásával megkapjuk az eredeti példányokat:

Így a Cauchy-probléma megoldásának formája lesz

1. példa Oldja meg a Cauchy-feladatot egy kezdeti feltételekkel rendelkező differenciálegyenlethez, ahol.

Megoldás.

Megoldásának megvan a formája

A 16. § 2. tételét használva következetesen azt találjuk, hogy:

2. példa Oldja meg a Cauchy-feladatot egy nulla kezdeti feltételű differenciálegyenletre, ahol a lépésimpulzus-függvény.

Megoldás. Írjuk fel az operátoregyenletet

és a döntése

A 16. § 2. tételéből az következik

a retardációs tételnek megfelelően (15. §)

Végül,

3. példa Tömegpontonként T, merevséggel rögzítve a rugóra Val velés sima vízszintes síkon helyezkedik el, periodikusan változó erő hat. Egy adott pillanatban a pont impulzusos ütésnek volt kitéve. Az ellenállást figyelmen kívül hagyva keresse meg egy pont mozgástörvényét, ha a kezdeti időpontban nyugalomban volt a koordináták origójában.

Megoldás. A mozgásegyenletet a formába írjuk

ahol a rugalmas erő; - Dirac funkció. Oldjuk meg az operátoregyenletet

Ha (rezonancia esete), akkor

A késleltetési tétel szerint

Végül,

Duhamel integrál (képlet). Tekintsük a (18.1) egyenlet Cauchy-problémáját kezdeti feltételek mellett. Az operátori megoldásnak ebben az esetben a formája van

Legyen a súlyfüggvény az eredeti. akkor a 16. § 1. tételével azt kapjuk

A (18.7) relációt Duhamel-integrálnak (képletnek) nevezzük.

Megjegyzés. Nem nulla kezdeti feltételek esetén a Duhamel-képlet nem alkalmazható közvetlenül. Ebben az esetben először át kell alakítani az eredeti problémát homogén (nulla) kezdeti feltételekkel rendelkező problémává. Ehhez új függvényt vezetünk be, feltételezve

hol vannak a kívánt megoldás kezdeti értékei.

Milyen könnyű látni, és ezért .

Így a függvény a (18.1) egyenlet megoldása, ahol a (18.8) helyett (18.1) kapott jobb oldal nulla kezdeti adattal.

A (18.7) segítségével megtaláljuk és.

4. példa A Duhamel integrál segítségével keressen megoldást a Cauchy-problémára

kezdeti feltételekkel.

Megoldás. A kezdeti adat nem nulla. Feltételezzük a (18.8) szerint. Ekkor a definícióhoz homogén kezdeti feltételekkel rendelkező egyenletet kapunk.

A vizsgált feladathoz egy karakterisztikus polinom, egy súlyfüggvény. Duhamel képlete szerint

Végül,

Lineáris differenciálegyenletrendszerek állandó együtthatókkal. A Cauchy-probléma egy lineáris differenciálegyenlet-rendszerre mátrixjelölésben a következő formában van

ahol a szükséges függvények vektora; - jobb oldalak vektora; - együttható mátrix; - kezdeti adatok vektora.

Az operatív számítás mára a gyakorlati matematikai elemzés egyik legfontosabb fejezetévé vált. A műveleti módszert közvetlenül használják közönséges differenciálegyenletek és ilyen egyenletrendszerek megoldására; parciális differenciálegyenletek megoldására is használható.

A szimbolikus (operatív) számítás alapítóinak M. E. Vascsenko - Zakharchenko és A. V. Letnikov orosz tudósok tekinthetők.

Az operatív számítás azután hívta fel magára a figyelmet, hogy Heaviside angol villamosmérnök a szimbolikus számítással számos fontos eredményt ért el. A szimbolikus kalkulussal szembeni bizalmatlanság azonban mindaddig megmaradt, amíg Georgi, Bromwich, Carson, A. M. Efros, A. I. Lurie, V. A. Ditkin és mások összefüggést nem hoztak létre az operatív számítás és az integráltranszformációk között.

A differenciálegyenlet műveleti módszerrel történő megoldásának az az ötlete, hogy a differenciálegyenletből a kívánt eredeti függvényhez képest f ( t ) lépjen tovább egy másik függvény egyenletére F ( p ), képnek nevezzük f ( t ) . A kapott (műveleti) egyenlet általában már algebrai (ami azt jelenti, hogy egyszerűbb, mint az eredeti). Megoldása a képhez képest F ( p ) majd áttérve a megfelelő eredetire, megtalálják ennek a differenciálegyenletnek a kívánt megoldását.

A differenciálegyenletek megoldásának műveleti módszere összehasonlítható különféle kifejezések logaritmusokkal történő kiszámításával, amikor például szorzáskor nem magukon a számokon, hanem azok logaritmusán végeznek számításokat, ami a szorzás helyettesítéséhez vezet. egyszerűbb művelet – kiegészítés.

Csakúgy, mint a logaritmusnál, a műveleti módszer használatakor a következőkre van szüksége:

1) az eredetik és a megfelelő képek táblázata;

2) az eredeti képen végrehajtott műveleteknek megfelelő képen végzett műveletek szabályainak ismerete.

§1. A Laplace-függvények eredetijei és képei

1. definíció.Egy valódi érv valódi függvénye leszünk f (t) hívás eredeti, ha három követelménynek eleget tesz:

1) f (t) 0 , nál nél t 0

2) f ( t ) nem növekszik gyorsabban, mint néhány exponenciális függvény

, nál nél t0 , hol M 0, s 00 - néhány valós állandó, s 0 hívott az f(t) függvény növekedési mutatója .

3) Bármely  véges szakaszon a , bpozitív féltengely Ot funkció f (t) teljesíti a Dirichlet-feltételeket, azaz.

a) korlátozott,

b) vagy folytonos, vagy csak véges számú első típusú szakadási pontja van,

c) véges számú szélsőértéke van.

Azokat a függvényeket, amelyek megfelelnek ennek a három követelménynek, az operatív számításban nevezzük Laplace képviselte vagy eredetiek .

A legegyszerűbb eredeti a Heaviside egység funkció

Ha a funkció

kielégíti a 2. feltételt és nem felel meg az 1. feltételnek, akkor a termék az 1. feltételt is kielégíti, azaz. eredeti lesz. A jelölés egyszerűsítése érdekében általában a szorzót fogjuk használni H (t) hagyja ki, figyelembe véve, hogy negatív értékek esetén minden figyelembe vett függvény nulla t .

Laplace-integrál az eredetihez f (t) az alak helytelen integráljának nevezzük

, egy összetett paraméter.

Tétel.

A Laplace-integrál abszolút a félsíkban konvergál

(vagyis a kép F (p) nyilvánvalóan a ) helyen van meghatározva, ahol s 0 - növekedési üteme f (t). kapunk: , hanem a modulok tulajdonsága szerint .

Vegye figyelembe, hogy az eredeti definíciója szerint

.

Számítsuk ki ezt az integrált:

Vagyis ezt kapjuk F (p) akkor létezik, amikor

Megjegyzés . A tétel bizonyítása alapján a következő becslés következik:

2. definíció . Kép Laplace szerint funkciókat f (t) komplex változó függvényének nevezzük p = s + iσ, az összefüggés határozza meg

(1)

Az a tény, hogy a funkció F (t) az eredeti képe f (t), szimbolikusan így van írva:

vagy (2)

§2. A műveleti számítás alaptételei

2.1 Eredeti dokumentumok görgetése.

Az eredetik tekercs

és a függvényt hívjuk .

Funkciók f (t) És g (t) hívják konvolúciós komponensek .

Keressük például egy tetszőleges eredeti konvolúcióját

és az egységfüggvényünk van . míg . (2.1.1)

1. tétel. Ha

Tekintsük a differenciálegyenletek megoldásának műveleti módszerét egy harmadrendű egyenlet példáján.

Tegyük fel, hogy konkrét megoldást kell találnunk egy harmadrendű lineáris differenciálegyenletre állandó együtthatókkal

teljesíti a kezdeti feltételeket:

c 0, c 1, c 2 - adott számok.

Az eredeti megkülönböztetésének tulajdonságát használva ezt írjuk:

A (6.4.1) egyenletben térjünk át az eredetiekről a képekre

A kapott egyenletet ún operátor vagy egyenlet képekben. Oldd meg Y-hoz képest.

Algebrai polinomok változóban R.

Az egyenlőséget a (6.4.1) differenciálegyenlet operátormegoldásának nevezzük.

Az eredeti megtalálása y(t), a talált képnek megfelelően egy adott megoldást kapunk a differenciálegyenletre.

Példa: A műveleti kalkulus módszerével keressen egy differenciálegyenlet egy adott megoldását, amely kielégíti az adott kezdeti feltételeket

Térjünk át az eredetiről a képekre

Írjuk fel képekbe az eredeti egyenletet és oldjuk meg Y

Az eredményül kapott kép eredetijének megtalálásához a tört nevezőjét faktorizáljuk, és a kapott törtet egyszerű törtek összegeként írjuk fel.

Keressük az együtthatókat A, B,És VAL VEL.

A táblázat segítségével rögzítjük a kapott kép eredetijét

Az eredeti egyenlet sajátos megoldása.

A műveleti módszert hasonlóképpen alkalmazzák állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletrendszerek megoldására is

Ismeretlen funkciók.

Térjünk át a képekre

Kapunk egy reprezentációs egyenletrendszert

A rendszert Cramer módszerével oldjuk meg. Megtaláljuk a meghatározókat:

Megoldás keresése a képalkotó rendszerre X(p), Y(p), Z(p).

Megkaptuk a rendszer szükséges megoldását

A műveleti kalkulus segítségével változó együtthatós és parciális differenciálegyenletekre talál megoldást lineáris differenciálegyenletekre; integrálok kiszámítása. Ugyanakkor a problémák megoldása jelentősen leegyszerűsödik. Matematikai fizika egyenletek problémáinak megoldására használják.

Kérdések az önkontrollhoz.

1. Melyik függvényt nevezzük eredetinek?

2. Milyen függvényt nevezünk az eredeti képének?

3. Heaviside függvény és képe.

4. Készítsen képet az eredetik funkcióihoz a képdefiníció segítségével: f(t) =t , .

5. Készítsen képeket a függvényekhez a Laplace-transzformációk tulajdonságait használva.

6. Keresse meg az eredetik funkcióit a képtáblázat segítségével: ;

7. Keressen egy konkrét megoldást egy lineáris differenciálegyenletre műveleti számítási módszerekkel.

Irodalom: 411-439., 572-594.

Példák: 305-316.

IRODALOM

1. Danko P.E. Felsőfokú matematika gyakorlatokban és feladatokban. 2 részben I. rész: Tankönyv. kézikönyv főiskoláknak/P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Felső. iskola, 1997.– 304 p.

2. Danko P.E. Felsőfokú matematika gyakorlatokban és feladatokban. 2 részben II. rész: Tankönyv. kézikönyv főiskoláknak./ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Felső. iskola, 1997.– 416 p.

3. Kaplan I.A. Gyakorlati órák felsőbb matematikából. 4. rész./ I.A. Kaplan - Harkovi Állami Egyetemi Kiadó, 1966, 236 p.

4. Piskunov N.S. Differenciál- és integrálszámítás. 2 kötetben, 1. kötet: tankönyv. kézikönyv főiskoláknak./ N.S. Piskunov - M.: szerk. „Tudomány”, 1972. – 456 p.

5. Piskunov N.S. Differenciál- és integrálszámítás főiskolákhoz. 2 kötetben, 2. kötet: tankönyv. Kézikönyv főiskoláknak../ N.S. Piskunov – M.: szerk. „Tudomány”, 1972. – 456 p.

6. Írásbeli D.T. Előadásjegyzet a felsőbb matematikából: teljes kurzus.–4. kiadás/ D.T. Írta – M.: Iris-press, 2006.–608 p. - (Felsőoktatás).

7. Slobodskaya V.A. Felső matematika rövid kurzusa. Szerk. 2., átdolgozva és további Tankönyv kézikönyv főiskoláknak/V.A. Slobodskaya - M.: Magasabb. iskola, 1969.– 544 p.

© Irina Aleksandrovna Dracheva

Előadásjegyzet Felsőfokú matematika

a 6.070104 „Tengeri és folyami közlekedés” szakirány hallgatóinak

„Hajóerőművek üzemeltetése” szakterület

nappali és részképzések 2. évf

Forgalom______ példányban Közzététel céljából aláírva __________________

Rendelési szám.__________. Kötet__2,78__p.l.

Kiadó "Kerch State Marine Technological University"

98309 Kerch, Ordzhonikidze, 82