Mi a neve annak a háromszögnek, amelyben. Tompa háromszög: oldalak hossza, szögek összege. Körülírt tompa háromszög. Minden háromszögben közös tulajdonságok

A háromszög (Euklidész tér szempontjából) egy olyan geometriai alakzat, amelyet három olyan szakasz alkot, amelyek három pontot kötnek össze, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el. A háromszöget alkotó három pontot csúcsainak, a csúcsokat összekötő szakaszokat pedig a háromszög oldalainak nevezzük. Mik azok a háromszögek?

Egyenlő háromszögek

A háromszögek egyenlőségének három jele van. Milyen háromszögeket nevezünk egyenlőnek? Ezek azok, akik:

• két oldala és az oldalak közötti szög egyenlő;
• az egyik oldal és a vele szomszédos két szög egyenlő;
• mindhárom oldal egyenlő.

A derékszögű háromszögeken az egyenlőség alábbi jelei vannak:

• hegyesszög és hipotenúza mentén;
• hegyesszög és láb mentén;
• két lábon;
• a hypotenus és a katétus mentén.

Mik azok a háromszögek

Az egyenlő oldalak száma szerint egy háromszög lehet:

• Egyenlő oldalú. Ez egy háromszög, amelynek három egyenlő oldala van. Egy egyenlő oldalú háromszög minden szöge 60 fok. Ráadásul a körülírt és beírt körök középpontja egybeesik.
• Egyoldalú. Háromszög, amelynek nincsenek egyenlő oldalai.
• Egyenlő szárú. Ez egy háromszög, amelynek két egyenlő oldala van. Két egyforma oldal az oldalak, a harmadik oldal pedig az alap. Egy ilyen háromszögben a felező, a medián és a magasság egybeesik, ha leengedjük az alapra.

A szögek nagyságától függően a háromszög lehet:

1. Tompa - ha az egyik szög értéke 90 foknál nagyobb, vagyis ha tompa.
2. Hegyesszögű - ha a háromszög mindhárom szöge hegyes, azaz értéke kisebb, mint 90 fok.
3. Melyik háromszöget nevezzük derékszögű háromszögnek? Ennek az egyik derékszöge 90 fokkal egyenlő. A benne lévő lábakat két oldalnak nevezzük, amely ezt a szöget alkotja, és a hipotenusz a derékszöggel ellentétes oldal.

A háromszögek alapvető tulajdonságai

1. Mindig van egy kisebb szög a kisebb oldallal szemben, és egy nagyobb szög mindig a nagyobb oldallal szemben.
2. Az egyenlő szögek mindig egyenlő oldalakkal szemben helyezkednek el, a szemközti oldalak pedig mindig különböző szögeket zárnak be. Egy egyenlő oldalú háromszögben minden szög azonos értékű.
3. Bármely háromszögben a szögek összege 180 fok.
4. Külső szöget úgy kaphatunk, ha az egyik oldalát háromszöggé nyújtjuk. A külső szög értéke egyenlő lesz a vele nem szomszédos belső szögek összegével.
5. A háromszög oldala nagyobb, mint a másik két oldalának különbsége, de kisebb, mint azok összege.

Lobacsevszkij térgeometriájában a háromszög szögeinek összege mindig kisebb lesz 180 foknál. Egy gömbön ez az érték nagyobb, mint 180 fok. A 180 fok és a háromszög szögeinek összege közötti különbséget hibának nevezzük.

A matematika tanulmányozása során a diákok elkezdenek megismerkedni a különböző típusú geometriai alakzatokkal. Ma a különböző típusú háromszögekről fogunk beszélni.

Meghatározás

Háromszögnek nevezzük azokat a geometriai alakzatokat, amelyek három pontból állnak, amelyek nem ugyanazon az egyenesen vannak.

A pontokat összekötő szakaszokat oldalaknak, a pontokat csúcsoknak nevezzük. A csúcsokat nagy latin betűkkel jelöljük, például: A, B, C.

Az oldalakat annak a két pontnak a neve jelzi, amelyből állnak - AB, BC, AC. Az oldalak egymást metszik, szögeket alkotnak. Az alsó oldal tekinthető az ábra alapjának.

Rizs. 1. ABC háromszög.

A háromszögek típusai

A háromszögeket szögek és oldalak szerint osztályozzuk. Minden háromszögtípusnak megvannak a maga tulajdonságai.

Háromféle háromszög található a sarkokban:

• hegyesszögű;
• négyszögletes;
• tompa.

Minden szög hegyesszögű A háromszögek hegyesszögűek, azaz mindegyik fokmérője nem több 90 0-nál.

Négyszögletes a háromszög derékszöget tartalmaz. A másik két szög mindig hegyes lesz, mert különben a háromszög szögeinek összege meghaladja a 180 fokot, ami lehetetlen. A derékszöggel ellentétes oldalt hipotenuzusnak, a másik két lábnak nevezzük. A hypotenus mindig nagyobb, mint a láb.

tompa a háromszög tompaszöget tartalmaz. Vagyis 90 foknál nagyobb szög. Egy ilyen háromszög másik két szöge hegyes lesz.

Rizs. 2. A sarkokban lévő háromszögek típusai.

A Pitagorasz-háromszög olyan téglalap, amelynek oldalai 3, 4, 5.

Sőt, a nagyobb oldal a hipotenusz.

Az ilyen háromszögeket gyakran használják egyszerű geometriai feladatok megfogalmazására. Ezért ne feledje: ha egy háromszög két oldala 3, akkor a harmadik biztosan 5 lesz. Ez leegyszerűsíti a számításokat.

Az oldalsó háromszögek típusai:

• egyenlő oldalú;
• egyenlő szárú;
• sokoldalú.

Egyenlő oldalú a háromszög olyan háromszög, amelynek minden oldala egyenlő. Egy ilyen háromszög minden szöge 60 0, azaz mindig hegyesszögű.

Egyenlő szárú a háromszög olyan háromszög, amelynek csak két egyenlő oldala van. Ezeket az oldalakat oldalsónak nevezik, a harmadikat pedig az alapnak. Ezenkívül az egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek egyenlőek és mindig hegyesek.

Sokoldalú vagy tetszőleges háromszög olyan háromszög, amelyben minden hosszúság és szög nem egyenlő egymással.

Ha nincs pontosítás a feladatban szereplő ábrára vonatkozóan, akkor általánosan elfogadott, hogy tetszőleges háromszögről beszélünk.

Rizs. 3. Háromszögek típusai az oldalakon.

A háromszög összes szögének összege, típusától függetlenül, 1800.

A nagyobb szöggel szemben van a nagyobb oldal. És bármely oldal hossza mindig kisebb, mint a másik két oldalának az összege. Ezeket a tulajdonságokat megerősíti a háromszög egyenlőtlenség-tétel.

Van egy arany háromszög fogalma. Ez egy egyenlő szárú háromszög, amelynek két oldala arányos az alappal, és egyenlő egy bizonyos számmal. Egy ilyen ábrán a szögek arányosak 2:2:1 arányban.

Egy feladat:

Van olyan háromszög, amelynek oldalai 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Megoldás:

A feladat megoldásához az a egyenlőtlenséget kell használni

Mit tanultunk?

Ebből az 5. osztályos matematika tanfolyam anyagából megtudtuk, hogy a háromszögeket oldalak és szögek szerint osztályozzák. A háromszögeknek vannak bizonyos tulajdonságai, amelyek felhasználhatók a feladatok megoldásához.

Olyan háromszöget nevezünk, amelynek nem minden oldala egyforma hosszú sokoldalú.

A két egyenlő oldalú háromszöget a következőképpen jelöljük egyenlő szárú. Ugyanazokat az oldalakat hívják oldalsó, a harmadik fél alapon. A következő definíció is igaz lenne háromszög alapjai egy egyenlő szárú háromszög oldala, amely nem egyenlő a másik két oldallal.

BAN BEN egyenlő szárú háromszög az alapszögek egyenlőek. Magasság, medián, felező az alapjához húzott egyenlő szárú háromszöget egyesítjük.

Háromszög, minden oldala azonos, jelölése: egyenlő oldalú vagy helyes. Egy egyenlő oldalú háromszögben minden szög 60°, és a beírt és körülírt körök középpontja egy vonalban van.

A háromszögek típusai a szögek paramétereitől függően.

Olyan háromszöget, amelyben csak 90 0-nál kisebb (akut) szögeket hívunk hegyesszögű.

Olyan háromszöget nevezünk, amelyben 90 0 szög ábrázolódik négyszögletes. A háromszög derékszöget bezáró oldalait általában jelöljük lábak, és a derékszöggel ellentétes oldal - átfogó.

Ma a Geometria országába megyünk, ahol különböző típusú háromszögekkel ismerkedünk meg.

Vizsgálja meg a geometriai alakzatokat, és keresse meg közöttük az „extrát” (1. ábra).

Rizs. 1. Illusztráció például

Látjuk, hogy az 1., 2., 3., 5. számok négyszögek. Mindegyiknek saját neve van (2. ábra).

Rizs. 2. Négyszögek

Ez azt jelenti, hogy az "extra" ábra egy háromszög (3. ábra).

Rizs. 3. Illusztráció például

A háromszög olyan ábra, amely három olyan pontból áll, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen, és három szakaszból, amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik.

A pontokat ún háromszög csúcsai, szegmensek - az övé a felek. A háromszög oldalai kialakulnak A háromszög csúcsaiban három szög van.

A háromszög fő jellemzői a következők három oldal és három sarok. A háromszögeket a szög szerint osztályozzuk hegyes, négyszögletes és tompa alakú.

Egy háromszöget hegyesszögűnek nevezünk, ha mindhárom szöge hegyesszögű, azaz kisebb, mint 90° (4. ábra).

Rizs. 4. Hegyesszögű háromszög

Egy háromszöget derékszögűnek nevezünk, ha az egyik szöge 90° (5. ábra).

Rizs. 5. Derékszögű háromszög

Egy háromszöget tompaszögnek nevezünk, ha az egyik szöge tompa, azaz nagyobb, mint 90° (6. ábra).

Rizs. 6. Tompa háromszög

Az egyenlő oldalak száma szerint a háromszögek egyenlő oldalúak, egyenlő szárúak, léptékűek.

Az egyenlő szárú háromszög olyan háromszög, amelynek két oldala egyenlő (7. ábra).

Rizs. 7. Egyenlőszárú háromszög

Ezeket az oldalakat ún oldalsó, harmadik oldal - alapon. Egy egyenlő szárú háromszögben az alap szögei egyenlőek.

Az egyenlő szárú háromszögek olyanok akut és tompa(8. ábra) .

Rizs. 8. Hegyes és tompa egyenlőszárú háromszögek

Egy egyenlő oldalú háromszöget nevezünk, amelynek mindhárom oldala egyenlő (9. ábra).

Rizs. 9. Egyenlő oldalú háromszög

Egyenlő oldalú háromszögben minden szög egyenlő. Egyenlő oldalú háromszögek mindig hegyesszögű.

Sokoldalúnak nevezzük azt a háromszöget, amelynek mindhárom oldala különböző hosszúságú (10. ábra).

Rizs. 10. Skála háromszög

Végezze el a feladatot. Osszuk három csoportra ezeket a háromszögeket (11. ábra).

Rizs. 11. Illusztráció a feladathoz

Először is osszuk el a szögek nagysága szerint.

Hegyes háromszögek: 1. sz., 3. sz.

Derékszögű háromszögek: #2, #6.

Tompa háromszögek: #4, #5.

Ezeket a háromszögeket az egyenlő oldalak száma szerint csoportokra osztjuk.

Skála háromszögek: 4., 6. sz.

Egyenlőszárú háromszögek: 2., 3., 5. sz.

Egyenlő oldalú háromszög: 1. sz.

Tekintse át a rajzokat.

Gondolja át, hogy az egyes háromszögek melyik huzaldarabból készülnek (12. ábra).

Rizs. 12. Illusztráció a feladathoz

Lehet így vitatkozni.

Az első drótdarabot három egyenlő részre osztjuk, így egy egyenlő oldalú háromszöget készíthetünk belőle. Az ábrán harmadikként látható.

A második drótdarab három különböző részre van osztva, így skálán háromszöget készíthetünk belőle. A képen először látható.

A harmadik drótdarabot három részre osztjuk, ahol a két rész egyforma hosszúságú, így egyenlő szárú háromszöget készíthetünk belőle. Az ábrán második helyen látható.

Ma a leckében különböző típusú háromszögekkel ismerkedtünk meg.

Bibliográfia

1. M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 1. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 2. rész. - M .: "Felvilágosodás", 2012.
3. M.I. Moreau. Matematika órák: Útmutató tanároknak. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
4. Szabályozó dokumentum. A tanulási eredmények nyomon követése és értékelése. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
5. "Oroszország iskolája": Programok az általános iskola számára. - M.: "Felvilágosodás", 2011.
6. S.I. Volkov. Matematika: Ellenőrző munka. 3. évfolyam - M.: Oktatás, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tesztek. - M.: "Vizsga", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Házi feladat

1. Fejezd be a mondatokat.

a) A háromszög olyan alakzat, amely a nem ugyanazon az egyenesen fekvő ... és a ... pontokból áll, amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik.

b) A pontokat ún … , szegmensek - az övé … . A háromszög oldalai a háromszög csúcsaiban alakulnak ki ….

c) A szög nagysága szerint a háromszögek ..., ..., ....

d) Az egyenlő oldalak száma szerint a háromszögek ..., ..., ....

2. Rajzolj

a) derékszögű háromszög

b) hegyesszögű háromszög;

c) tompa háromszög;

d) egyenlő oldalú háromszög;

e) skála háromszög;

e) egyenlő szárú háromszög.

3. Készítsen feladatot az óra témájában társai számára!

Háromszög . Hegyes, tompa és derékszögű háromszögek.

A lábak és a hypotenus. Egyenlőszárú és egyenlő oldalú háromszög.

Egy háromszög szögeinek összege.

A háromszög külső sarka. A háromszögek egyenlőségének jelei.

Csodálatos vonalak és pontok egy háromszögben: magasságok, mediánok,

felezők, medián e merőlegesek, ortocentrum,

súlypont, a körülírt kör középpontja, a beírt kör középpontja.

Pitagorasz tétel. Egy tetszőleges háromszög oldalaránya.

Háromszög egy sokszög, amelynek három oldala (vagy három sarka) van. A háromszög oldalait gyakran kis betűkkel jelölik, amelyek megfelelnek a szemközti csúcsokat jelölő nagybetűknek.

Ha mindhárom szög hegyes ( 20. ábra), akkor ez hegyesszögű háromszög . Ha az egyik sarok megfelelő(C, 21. ábra), vagyis derékszögű háromszög; oldalaina, bderékszöget képező ún lábak; oldalcszemközti derékszöggel ún átfogó. Ha az egyik tompaszögek (B, 22. ábra), vagyis tompa háromszög.


ABC háromszög (23. ábra) - egyenlő szárú, ha két oldalai egyenlőka= c); ezeket az egyenlő oldalakat nevezzük oldalsó, a harmadik felet hívják alapon háromszög. Háromszög ABC (24. ábra) - egyenlő oldalú, ha minden oldalai egyenlőka = b = c). Általában ( a ≠ b ≠ c) nekünk van egyenlőtlen oldalú háromszög .

A háromszögek alapvető tulajdonságai. Bármely háromszögben:

1. A nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, és fordítva.

2. Az egyenlő szögek egyenlő oldalakkal szemben helyezkednek el, és fordítva.

Különösen minden szög be egyenlő oldalú háromszög egyenlő.

3. Egy háromszög szögeinek összege 180 º .

Az utolsó két tulajdonságból az következik, hogy minden szög egy egyenlő oldalú

a háromszög 60 º.

4. Folytassa a háromszög egyik oldalát (AC, 25. ábra), kapunk külső

szög BCD . A háromszög külső szöge egyenlő a belső szögek összegével,

nem kapcsolódik hozzá :BCD=A+B.

5. Bármi egy háromszög oldala kisebb, mint a másik két oldal összege és több

különbségeiket (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

A háromszögek egyenlőségének jelei.

A háromszögek egybevágóak, ha egyenlők:

a ) két oldal és a köztük lévő szög;

b ) két sarok és a velük szomszédos oldal;

c) három oldal.

Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei.

Két négyszögletes A háromszögek egybevágóak, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

1) lábaik egyenlőek;

2) az egyik háromszög szára és befogója egyenlő a másik lábával és befogójával;

3) az egyik háromszög befogója és hegyesszöge egyenlő a másik háromszög befogójával és hegyesszögével;

4) az egyik háromszög szára és a szomszédos hegyesszöge egyenlő a másik háromszög szárával és a szomszédos hegyesszögével;

5) az egyik háromszög szára és a szemközti hegyesszöge egyenlő a szárral és szemben a másik hegyesszögével.

Csodálatos vonalak és pontok egy háromszögben.

Magasság háromszög azmerőleges,bármelyik csúcsból az ellenkező oldalra esett ( vagy annak folytatása). Ezt az oldalt hívjáka háromszög alapja . A háromszög három magassága mindig metszi egymástegy pontonhívott ortocentrum háromszög. Egy hegyesszögű háromszög ortocentruma (pont O , 26. ábra) a háromszög belsejében található, éstompa háromszög ortocentruma (pont O , 27. ábra) – kívül; A derékszögű háromszög ortocentruma egybeesik a derékszög csúcsával.

Középső - ezt szakasz , amely összeköti a háromszög bármely csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával. Egy háromszög három mediánja (AD , BE , CF , 28. ábra) egy pontban metszik egymást O , amely mindig a háromszög belsejében fekszikés lévén az övé gravitáció középpontja. Ez a pont minden mediánt 2:1 arányban oszt el felülről.

Felezővonal - ezt felező szegmens sarokból fentről pontra kereszteződés az ellenkező oldallal. Egy háromszög három felezőpontja (AD , BE , CF , 29. ábra) egy pontban metszik egymást Ó, mindig egy háromszögben fekveÉs lény beírt kör középpontja(lásd a „Feliratozottés körülírt sokszögek).

A felező a szemközti oldalt a szomszédos oldalakkal arányos részekre osztja ; például a 29. ábrán AE : CE = AB : BC .

Medián merőleges az átlagból húzott merőleges szegmenspontok (oldalak). Az ABC háromszög három merőleges felezőpontja(KO , MO , NO , 30. ábra ) egy O pontban metszik egymást, ami az központ körülírt kör (K , M , N pont háromszög oldalainak felezőpontjai ABC).

Egy hegyesszögű háromszögben ez a pont a háromszög belsejében található; tompa - kívül; téglalapban - a hypotenusa közepén. Ortocentrum, súlypont, a körülírt középpont és a beírt kör középpontja csak egyenlő oldalú háromszögben esnek egybe.

Pitagorasz tétel. Derékszögű háromszögben a hossz négyzeteA hipotenusz egyenlő a lábak hosszának négyzeteinek összegével.

A Pitagorasz-tétel bizonyítása nyilvánvalóan a 31. ábrából következik. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget ABC lábakkal a, bés hypotenusa c.

Építsünk egy négyzetet AKMB a hipotenúza segítségével AB oldalként. Azutánhosszabbítsuk meg egy derékszögű háromszög oldalait ABC így négyzetet kapni CDEF , amelynek oldala egyenlőa + b .Most már világos, hogy egy négyzet területe A CDEF ( a+b) 2 . Másrészt ezt a terület egyenlő az összeggel területeken négy derékszögű háromszögés négyzet AKMB , azaz

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

innen,

c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

és végül van:

c 2 =a 2 +b 2 .

Egy tetszőleges háromszög oldalaránya.

Általános esetben (egy tetszőleges háromszög esetén) a következőket kapjuk:

c 2 =a 2 +b 2 – 2ab· kötözősaláta c,

ahol C - az oldalak közötti szögaÉs b .