Képlet egy egyenlő szárú háromszög területének meghatározásához. Hogyan találjuk meg a háromszög területét (képletek)

A fenti ábrán az oldalak és szögek betűjelei megfelelnek a képletekben feltüntetett jelöléseknek. Tehát ez segít párosítani őket egy egyenlő szárú háromszög elemeivel. A feladat feltételei közül határozza meg, hogy mely elemek ismertek, keresse meg a rajzon a megnevezésüket, és válassza ki a megfelelő képletet.

Egy egyenlő szárú háromszög területének képlete

A következők képletek egy egyenlő szárú háromszög területének meghatározására: az oldalakon keresztül, az oldal és a köztük lévő szög, az oldal, az alap és a csúcson lévő szög, az alap oldala és az alapnál lévő szög stb. Csak keresse meg a legmegfelelőbbet a bal oldali képen. A legkíváncsibbak számára a jobb oldali szöveg elmagyarázza, miért helyes a képlet, és hogyan lehet pontosan felhasználni a terület megkeresésére.

1. található oldalát és alapját ismerve. Ezt a kifejezést egy általánosabb, univerzális képlet egyszerűsítésével kaptuk. Ha a Heron képletét vesszük alapul, majd figyelembe vesszük, hogy a háromszög két oldala egyenlő egymással, akkor a kifejezés leegyszerűsödik a képen látható képletre.
   Egy ilyen képlet használatára egy példát mutatunk be az alábbi problémamegoldási példában.
2. A második képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja a területét az oldalakon és a köztük lévő szögön keresztül az oldal négyzetének fele, megszorozva az oldalak közötti szög szinuszával
   Ha gondolatban csökkentjük a magasságot egy egyenlő szárú háromszög oldalára, akkor megjegyezzük, hogy a hossza egyenlő lesz egy * sin β-val. Mivel az oldalsó oldal hossza ismert, a ráesett magasság már ismert, szorzatuk fele egyenlő lesz az adott egyenlő szárú háromszög területével (magyarázat: a teljes szorzat adja a a téglalap, ami nyilvánvaló. A magasság ezt a téglalapot két kis téglalapra osztja, a háromszög oldalai az átlóik, amelyek pontosan kettéosztják őket. Így egy egyenlő szárú háromszög területe egyenlő lesz az oldalsó oldal és a magasság szorzatának fele). Lásd még: Forma 5
3. A harmadik képlet a terület megtalálását mutatja oldal-, alap- és csúcsszögön keresztül.
   Szigorúan véve egy egyenlő szárú háromszög egyik szögének ismeretében megtalálhatja a többit is, így ennek vagy az előző képletnek a használata ízlés dolga (egyébként ezért csak az egyikre emlékezhet).
   A harmadik képletnek van egy másik érdekes tulajdonsága is - a termék a bűn α megadja nekünk az alaphoz süllyesztett magasság hosszát. Ennek eredményeként egy egyszerű és kézenfekvő 5. képletet kapunk.
4. Egy egyenlő szárú háromszög területe is megtalálható az alap oldalán és az alapnál lévő sarkon keresztül(az alapnál lévő szögek egyenlőek), mint az alap négyzete osztva az oldalai által alkotott szög felének négy érintőjével. Ha alaposan megnézzük, nyilvánvalóvá válik, hogy az alap (b/2) fele szorozva tan(β/2)-vel megadja a háromszög magasságát. Mivel egy egyenlő szárú háromszögben a magasság egyidejűleg felező és medián, akkor tg(β/2) az alap (b/2) felének a magassághoz viszonyított aránya - tg(β/2) = (b/2)/h. Ahonnan h = b / (2 tan(β/2)). Ennek eredményeként a képlet ismét az egyszerűbb Formula 5-re redukálódik, ami teljesen nyilvánvaló.
5. természetesen egyenlő szárú háromszög területeúgy találhatjuk meg, hogy a magasságot a tetejétől az alapig csökkentjük, ami két derékszögű háromszöget eredményez. Továbbá - minden nyilvánvaló. A magasság és az alap szorzatának feleés megvan a szükséges terület. A képlet használatának példáját lásd az alábbi problémában (2. megoldási módszer)
6. Ezt a képletet akkor kapjuk meg, ha megpróbáljuk megtalálni egy egyenlő szárú háromszög területét Pitagorasz-tételt használva. Ehhez a Pitagorasz-tételen keresztül fejezzük ki az előző képletből a magasságot, amely egyben egy derékszögű háromszög oldala, alapjának és magasságának fele szára. Az oldalsó oldal a befogó, ezért az oldalsó oldal négyzetéből (a) kivonjuk a második láb négyzetét. Mivel egyenlő az alap felével (b/2), a négyzete b 2 /4 lesz. A gyökér kinyerése ebből a kifejezésből megkapja a magasságot. Ahogy a 6. képletből látható. Ha a számlálót és a nevezőt megszorozzuk kettővel, majd a számláló kettőjét a gyökjel alá írjuk, akkor ugyanennek a képletnek a második változatát kapjuk, amelyet az egyenlőségjelen keresztül írunk le.
   A legokosabbak egyébként láthatják, hogy ha a Forma-1-ben kinyitod a zárójeleket, akkor abból Forma 6 lesz. Vagy fordítva, két szám négyzetének különbsége faktorálva az eredetit, az elsőt kapjuk.

Megnevezések, amelyeket az ábra képleteiben alkalmaztunk:

a- a háromszög két egyenlő oldala közül az egyik hossza

b- alaphossz

α - két egyenlő szög egyikének mérete az alapnál

β - a háromszög egyenlő oldalai és az alapjával ellentétes oldal közötti szög nagysága

h- az egyenlő szárú háromszög csúcsától az alapig leengedett magasság hossza

Fontos. Ügyeljen a változó jelölésekre! Ne keveredj össze α És β, és aÉs b!

jegyzet. Ez egy geometriai problémákkal foglalkozó lecke része (egyenlőszárú háromszög metszetterülete). Itt vannak olyan problémák, amelyeket nehéz megoldani. Ha olyan geometriai feladatot kell megoldanod, ami nincs itt, írj róla a fórumba. A problémamegoldásokban a négyzetgyök kinyerésének jelzésére a √ vagy sqrt() szimbólumot használjuk, a gyök kifejezést zárójelben feltüntetve..

Feladat

Egy egyenlő szárú háromszög oldala 13 cm, az alapja 10 cm. Keresse meg a területet egyenlő szárú háromszög.

Megoldás.

1. módszer. Alkalmazzuk Heron képletét. Mivel a háromszög egyenlő szárú, egyszerűbb formát ölt (lásd az 1. képletet a fenti képletlistában):

ahol a az oldalak hossza, és b az alap hossza.
A háromszög oldalainak hosszának értékét a feladatkifejezésből behelyettesítve kapjuk:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5) (13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 cm 2

2. módszer. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt
Tegyük fel, hogy nem emlékszünk az első megoldásban használt képletre. Ezért csökkentsük a BK magasságot a B csúcsról az AC alapra.
Mivel egy egyenlő szárú háromszög magassága felére osztja az alapját, az alap felének hossza egyenlő lesz
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 cm.

Az egyenlő szárú háromszög magasságának felével és oldalával egy ABK derékszögű háromszöget alkot. Ebben a háromszögben ismerjük az AB hipotenuszt és az AK lábszárat. Fejezzük ki a második láb hosszát a Pitagorasz-tételen keresztül.

Nemcsak iskolásoknak vagy diákoknak merül fel, hanem a valós, gyakorlati életben is. Például az építés során szükségessé válik a tető alatt található homlokzat befejezése. Hogyan lehet kiszámítani a szükséges anyagmennyiséget?

A szövettel vagy bőrrel dolgozó kézművesek gyakran szembesülnek hasonló problémákkal. Végül is sok alkatrész, amelyet a mesternek ki kell vágnia, pontosan egyenlő szárú háromszög alakú.

Tehát többféle módon segíthet megtalálni az egyenlő szárú háromszög területét. Az első az alap és a magasság alapján történő kiszámítása.

A megoldáshoz az érthetőség kedvéért meg kell alkotnunk egy MNP háromszöget, amelynek alapja MN és magassága PO. Most fejezzünk be valamit a rajzon: a P pontból húzzon egy vonalat az alappal párhuzamosan, és az M pontból - a magassággal párhuzamos vonalat. Nevezzük a metszéspontot Q. Ahhoz, hogy megtudjuk, hogyan találjuk meg egy egyenlő szárú háromszög területét, figyelembe kell venni a kapott MOPQ négyszöget, amelyben az MP háromszög oldalsó oldala már az átlója.

Először bizonyítsuk be, hogy ez egy téglalap. Mivel mi magunk építettük, tudjuk, hogy az MO és az OQ oldal párhuzamos. Mindkét oldal QM és OP párhuzamos. A POM szöge megfelelő, tehát az OPQ szöge is megfelelő. Ezért a kapott négyszög egy téglalap. Területének megtalálása nem nehéz, egyenlő a PO és OM szorzatával. Az OM ennek az MPN-háromszögnek a fele. Ebből következik, hogy az általunk megszerkesztett téglalap területe egyenlő a derékszögű háromszög magasságának és alapja szorzatának felével.

Az előttünk álló feladat második szakasza, a háromszög területének meghatározása annak bizonyítása, hogy az általunk kapott területen kapott téglalap megfelel az adott egyenlő szárú háromszögnek, vagyis hogy a háromszög területe a háromszög egyenlő az alap és a magasság félszorzatával is.

Először hasonlítsuk össze a PON és a PMQ háromszöget. Mindkettő téglalap alakú, hiszen az egyik derékszögét a magasság, a másikban a derékszöget a téglalap szöge alkotja. A bennük lévő hipotenusok egy egyenlő szárú háromszög oldalai, ezért egyenlők is. A PO és QM oldalak is egyenlők a téglalap párhuzamos oldalaival. Ez azt jelenti, hogy mind a PON háromszög, mind a PMQ háromszög területe egyenlő egymással.

A QPOM téglalap területe egyenlő a PQM és MOP háromszögek területének összegével. A QPM beépített háromszöget a PON háromszögre cserélve összességében megkapjuk a tétel levezetéséhez adott háromszöget. Most már tudjuk, hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög területét alapja és magassága alapján - számítsa ki a félszorzatát.

De megtudhatja, hogyan találhatja meg egy egyenlő szárú háromszög területét az alapja és az oldala alapján. Itt is két lehetőség van: Heron és Pitagorasz tétel. Nézzünk egy megoldást a Pitagorasz-tétel segítségével. Vegyük például ugyanazt a PMN-t PO magassággal.

Egy derékszögű háromszögben a POM MP a hipotenusz. Négyzete egyenlő a PO és az OM négyzeteinek összegével. És mivel az OM fele az általunk ismert alapnak, könnyen megtalálhatjuk az OM-t, és négyzetre tesszük a számot. A kapott számot a befogó négyzetéből kivonva megtudjuk, hogy mekkora a másik láb négyzete, amely egyenlő szárú háromszögben a magasság. A különbségből és egy derékszögű háromszög magasságának megállapítása után választ adhatunk az előttünk álló feladatra.

Csak meg kell szoroznia a magasságot az alappal, és el kell osztania az eredményt felére. A bizonyítás első változatában elmagyaráztuk, hogy miért kell ezt megtenni.

Előfordul, hogy számításokat kell végeznie az oldalon és a szögben. Ezután a szinuszos és koszinuszos képlet segítségével megtaláljuk a magasságot és a bázist, és ismét megszorozzuk, és az eredményt felezzük.

Ahhoz, hogy segítsenek gyermeküknek a házi feladatban, a szülőknek sok mindent maguknak kell tudniuk. Hogyan lehet megtalálni az egyenlő szárú háromszög területét, miben különbözik a részes kifejezés a részes kifejezéstől, mi a gravitáció gyorsulása?

Fiának vagy lányának problémái lehetnek ezen kérdések bármelyikével, és Önhöz fordulnak tisztázásért. Hogy ne essen pofára, és megőrizze tekintélyét a gyerekek szemében, érdemes az iskolai tananyag egyes elemeit ecsetelni.

Vegyük példának az egyenlő szárú háromszög kérdését. A geometria az iskolában sok ember számára nehéz, iskola után pedig a leggyorsabban elfelejtődik.

De amikor gyermekei 8. osztályba lépnek, emlékeznie kell a geometriai alakzatokra vonatkozó képletekre. Az egyenlő szárú háromszög az egyik legegyszerűbb alakzat a paramétereinek megtalálása szempontjából.

Ha mindaz, amit valaha a háromszögekről tanított, elfelejtődött, emlékezzünk. Az egyenlő szárú háromszög olyan, amelynek két oldala azonos hosszúságú. Ezeket az egyenlő éleket egyenlő szárú háromszög oldaloldalainak nevezzük. A harmadik oldal az alapja.

Van egy lehetőség, amelyben mind a 3 oldal egyenlő. Egyenlő oldalú háromszögnek nevezik. Az egyenlő szárra alkalmazott összes képlet vonatkozik rá, és ha szükséges, bármelyik oldalát alapnak nevezhetjük.

A terület megtalálásához az alapot ketté kell osztanunk. Az oldalakat összekötő csúcsból a kapott pontra leereszkedő egyenes derékszögben metszi az alapot.

Ez a tulajdonsága az ilyen háromszögeknek: a medián, azaz a csúcstól a szemközti oldal közepéig húzódó egyenes egy egyenlő szárú háromszögben a felezőpontja (a szöget felező egyenes) és a magassága (merőleges az ellenkező oldalra).

Az egyenlő szárú háromszög területének meghatározásához meg kell szorozni a magasságát az alapjával, majd el kell osztani ezt a terméket felére.

A háromszög területének meghatározásához a képlet egyszerű: S=ah/2, ahol a az alap hossza, h a magassága.

Ez egyértelműen a következőképpen magyarázható. Vágjon ki egy hasonló formát papírból, keresse meg az alap közepét, húzzon egy magasságot erre a pontra, és óvatosan vágja végig ezen a magasságon. Két derékszögű háromszöget kapsz.

Ha a befogóikkal (hosszú oldalukkal) egymás mellé helyezzük őket, akkor egy téglalapot alkotunk, melynek egyik oldala az alakunk magasságával, a másik az alapja felével lesz egyenlő. Vagyis a képlet megerősítésre kerül.

A vizuális bemutató nagyon fontos. Ha gyermeke megtanulja, hogy ne ész nélkül megjegyezze a képleteket, hanem megértse a jelentésüket, a geometria többé nem tűnik nehéz tárgynak számára.

Az osztály legjobb tanulója nem az a tanuló, aki memorizál, hanem az, aki gondolkodik, és ami a legfontosabb, megérti.

Hogyan találjuk meg az ábra területét, ha az egyik szög megfelelő?

Kiderülhet, hogy egy adott háromszög alakzat oldalai közötti szög 90°. Ekkor ezt a háromszöget derékszögű háromszögnek, oldalait lábaknak, az alapját pedig befogónak nevezzük.

Egy ilyen alakzat területét a fenti módszerrel lehet kiszámítani (keresse meg a hipotenúza közepét, rajzolja meg a magasságot, szorozza meg a hipotenusszal, ossza fel felé). De a probléma sokkal egyszerűbben is megoldható.

Kezdjük az egyértelműséggel. Egy derékszögű egyenlőszárú háromszög átlósan vágva pontosan fél négyzet. És ha egy négyzet területét úgy találjuk meg, hogy egyszerűen felemeljük az oldalát a második hatványra, akkor az ábra területe fele akkora lesz.

S=a 2 /2, ahol a a láb hossza.

Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög területe egyenlő az oldala négyzetének felével. Kiderült, hogy a probléma nem olyan súlyos, mint amilyennek első pillantásra tűnt.

A geometriai feladatok megoldása nem igényel emberfeletti erőfeszítéseket, és nem csak a gyerekek számára hasznos lehet, hanem Önnek is, ha bármilyen gyakorlati kérdésre választ talál.

A geometria egzakt tudomány. Ha belemélyed az alapjaiba, kevés nehézség adódik vele, a bizonyítékok logikája pedig nagymértékben magával ragadhatja gyermekét. Csak segítened kell neki egy kicsit. Bármilyen jó tanárt is kap, a szülői segítség nem lesz felesleges.

És a geometria tanulmányozása esetén a fent említett módszer nagyon hasznos lesz - a magyarázat egyértelműsége és egyszerűsége.

Ugyanakkor nem szabad megfeledkeznünk a megfogalmazások pontosságáról, különben sokkal összetettebbé tehetjük ezt a tudományt, mint amilyen valójában.

Tudja meg, hogyan találja meg a paralelogramma területét. A négyzetek és a téglalapok paralelogrammák, mint minden más négyoldalú alak, amelyben a szemközti oldalak párhuzamosak. A paralelogramma területét a következő képlettel számítjuk ki: S = bh, ahol a „b” az alap (a paralelogramma alsó oldala), „h” a magasság (a felső és az alsó oldal távolsága; a magasság mindig 90°-os szögben metszi az alapot).

• Négyzetekben és téglalapokban a magasság megegyezik az oldallal, mert az oldalak derékszögben metszik a felsőt és az alsót.

1. Hasonlítsa össze a háromszögeket és a paralelogrammákat! Egyszerű kapcsolat van ezek között az ábrák között. Ha bármelyik paralelogrammát átlósan vágjuk, akkor két egyenlő háromszöget kapunk. Hasonlóképpen, ha összeadunk két egyenlő háromszöget, akkor paralelogrammát kapunk. Ezért bármely háromszög területét a következő képlettel számítják ki: S = ½ bh, ami a paralelogramma területének fele.

   Keresse meg az egyenlő szárú háromszög alapját! Most már ismeri a képletet a háromszög területének kiszámításához; Továbbra is ki kell deríteni, mi az „alap” és a „magasság”. Az alap (jelölése "b") az az oldal, amely nem egyenlő a másik két (egyenlő) oldallal.

2. Engedje le a merőlegest az alapra. Készítse el ezt a háromszög csúcsából, amely az alappal ellentétes. Ne feledje, hogy a merőleges derékszögben metszi az alapot. Ez a merőleges a háromszög magassága (jelölése „h”). Miután megtalálta a "h" értékét, kiszámíthatja a háromszög területét.

   • Egy egyenlő szárú háromszögben a magasság pontosan a közepén metszi az alapot.

3. Nézd meg egy egyenlő szárú háromszög felét. Figyeljük meg, hogy a magasság az egyenlő szárú háromszöget két egyenlő derékszögű háromszögre osztotta. Nézd meg az egyiket, és találd meg az oldalát:

   • A rövid oldal egyenlő az alap felével: b 2 (\displaystyle (\frac (b)(2))).
   • A második oldal a „h” magasság.
   • A derékszögű háromszög befogója egy egyenlő szárú háromszög oldaloldala; Jelöljük "s"-ként.

4. Használja a Pitagorasz-tételt. Ha egy derékszögű háromszög két oldala ismert, a harmadik oldala a Pitagorasz-tétel segítségével számítható ki: (1. oldal) 2 + (2. oldal) 2 = (hipoténusz) 2. Példánkban a Pitagorasz-tételt így írjuk le: .

   • Valószínűleg ismeri a Pitagorasz-tételt a következő jelölésben: a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Az 1. oldal, a 2. oldal és a hipotenusz szavakat használjuk, hogy elkerüljük a példaváltozókkal való összetéveszthetőséget.

5. Számítsa ki a "h" értékét. Ne feledje, hogy a háromszög területének kiszámításának képletében vannak "b" és "h" változók, de a "h" értéke ismeretlen. Írja át a képletet a "h" kiszámításához:

   • (b 2) 2 + h 2 = s 2 (\displaystyle ((\frac (b)(2)))^(2)+h^(2)=s^(2))
     h 2 = s 2 − (b 2) 2 (\displaystyle h^(2)=s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2))
     .

6. Helyettesítse az ismert értékeket a képletbe, és számítsa ki a „h”-t. Ez a képlet bármely egyenlő szárú háromszögre alkalmazható, amelynek oldalai ismertek. Helyettesítse az alap értékét "b"-re, és az oldal értékét "s"-re, hogy megtalálja a "h" értékét.

   • Példánkban: b = 6 cm; s = 5 cm.
   • Helyettesítsd be az értékeket a képletbe:
     h = (s 2 − (b 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2)))
     h = (5 2 − (6 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())5^(2)-((\frac (6)(2)))^(2)))
     h = (25 − 3 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-3^(2)))
     h = (25–9) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-9))
     h = (16) (\displaystyle h=(\sqrt (())16))
     h = 4 (\displaystyle h=4) cm.

7. Csatlakoztassa az alap- és magasságértékeket a képletbe a háromszög területének kiszámításához. Képlet: S = ½bh; Helyettesítsd be a „b” és „h” értékeit, és számítsd ki a területet. Feltétlenül írjon négyzetegységet a válaszába.

   • Példánkban az alap 6 cm, a magasság pedig 4 cm.
   • S = ½ bh
     S = ½ (6 cm) (4 cm)
     S = 12 cm2.

8. Nézzünk egy összetettebb példát. A legtöbb esetben a példánkban tárgyaltnál nehezebb feladatot kapsz. A magasság kiszámításához a négyzetgyököt kell venni, amelyet általában nem vesznek teljesen figyelembe. Ebben az esetben a magasságértéket egyszerűsített négyzetgyökként írja be. Íme egy új példa:

   • Számítsa ki egy egyenlő szárú háromszög területét, amelynek oldalai 8 cm, 8 cm, 4 cm.
   • A „b” alaphoz válassza ki a 4 cm-es oldalt.
   • Magasság: h = 8 2 − (4 2) 2 (\displaystyle h=(\sqrt (8^(2)-((\frac (4)(2)))^(2))))
     = 64 − 4 (\displaystyle =(\sqrt (64-4)))
     = 60 (\displaystyle =(\sqrt (60)))
   • Egyszerűsítse a négyzetgyököt a következő tényezőkkel: h = 60 = 4 ∗ 15 = 4 15 = 2 15 . (\displaystyle h=(\sqrt (60))=(\sqrt (4*15))=(\sqrt (4))(\sqrt (15))=2(\sqrt (15)).)
   • S = 1 2 b h (\displaystyle =(\frac (1)(2))bh)
     = 1 2 (4) (2 15) (\displaystyle =(\frac (1)(2))(4)(2(\sqrt (15))))
     = 4 15 (\displaystyle =4(\sqrt (15)))
   • A válasz felírható a gyökérrel, vagy kivonhatja a gyökeret egy számológéppel, és a választ tizedes törtként írhatja fel (S ≈ 15,49 cm 2).