Okretanje oko AU osi. Kako izračunati opseg rotacije koristeći određeni integralni? Izračun volumena tijela oblikovan rotacijom ravnog oblika oko osi

C je sadržan u intervalu. Dakle, ponovno smo dobili oblik langundree dodatnog člana. 5. Zaključak. U radu se nalaze definicije određenog i nekompatibilnog integralnog i njegovih vrsta, razmatraju se pitanja neke primjene određenog integrala. Konkretno, Valles formula, koja ima povijesnu važnost, kao prvi prikaz broja P u obliku granice lako izračunati ...

zrapljeni integral vrste funkcije je numerički predstavlja područje curvilinear trapeziona o granicama X \u003d 0, Y \u003d A, Y \u003d B i Y \u003d (Sl. 1). Postoje dvije metode za izračunavanje ovog područja ili određenog integralnog - metoda trapezoida (sl. 2) i metoda srednjeg pravokutnika (slika 3). Sl. 1. curvilinear trapez. Sl. 2. Metoda trapeza. Sl. 3. Metoda srednjeg pravokutnika. Prema metodama ...

N (povećanje broja integracija) povećava točnost približnog izračuna zadatka integrala na laboratorijskom radu 1) Pišite programe za izračunavanje određenih integralnih metoda: srednji, desni pravokutnici, trapezoidi i Simpson metoda. Izvršite integraciju sljedećih funkcija: 1. F (X) \u003d XF (X) \u003d X2 F (X) \u003d X3 F (X) \u003d X4 na segmentu s visinom, 2. f (X) \u003d F (X) ) \u003d f (x) \u003d ...

... (tabl postupak) i integral. 4. Zaključak i zaključci. Dakle, očito je da kada izračunavanje određenih integrala uz pomoć kvadraturnih formula, a posebno, Chebyshev formula ne daje nam točnu vrijednost, već samo približno. Kako bi se što je više moguće zatvoriti pouzdanoj vrijednosti integrala, morate biti u mogućnosti odabrati pravu metodu i formulu koja će se izračunati. Isti...

ravan oblik oko osi

Primjer 3.

Dana ravna slika ograničena linijama,,

1) Pronađite područje ravnog figura ograničena tim linijama.

2) Pronađite volumen tijela dobivene rotacijom ravnog lika ograničena ovim linijama oko osi.

Pažnja! Čak i ako se želite upoznati samo s drugom stavkom, najprije prije Pročitajte prvi!

Odluka: Zadatak se sastoji od dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Izvršite crtanje:

Lako je vidjeti da funkcija postavlja gornju granu parabole, a funkcija je donja grana parabole. Prije nas je trivijalna parabola koja leži sa strane.

Željena figura, čija je područje pronađeno, zasjenjeno u plavo.

Kako pronaći područje lik? Može se naći "obični" način. Štoviše, područje slike je kao količina područja:

- na segmentu;

- na segmentu.

Stoga:

Postoji više racionalnije rješenje: ona se sastoji u tranziciji na obrnute funkcije i integraciju duž osi.

Kako ići na obrnute funkcije? Grubo govoreći, morate izraziti "X" kroz "Irek". Prvo ćemo se nositi s Parabolom:

To je dovoljno, ali pobrinite se da se ista funkcija može ukloniti iz donje grane:

S ravnim, sve je lakše:

Sada gledamo na osovinu: molim vas, povremeno nagnite glavu u desno od 90 stupnjeva uz vrijeme objašnjenja (ovo nije šala!). Slika koju trebamo leži na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. U isto vrijeme, ravna crta nalazi se iznad parabole, a stoga se područje slike treba naći na formuli koja vam je već poznata :. Što se promijenilo u formuli? Samo pismo, i ništa više.

! Bilješka : Granice azijske integracije Trebalo bi biti dogovorenostrogo odozdo !

Pronađite područje:

Na segmentu, tako:

Imajte na umu kako sam implementirana integracija je najvažniji način, au sljedećoj točki zadatka bit će jasno - zašto.

Za čitatelje koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:

Dobiva se početni integrand, to znači da je integracija ispravno napravljena.

Odgovor:

2) Izračunajte volumen tijela oblikovane rotacijom ove slike oko osi.

RedRawing crtež malo u drugom dizajnu:

Dakle, figura, zasjenjena plavom, rotira oko osi. Kao rezultat toga, ispada "obješen leptir" koji okreće oko njegove osi.

Da bismo pronašli volumen rotacije, integrirat ćemo se duž osi. Prvo morate otići u obrnute funkcije. To je već učinjeno i detaljno opisano u prethodnom stavku.

Sada se opet s desno radimo i proučavamo našu figuru. Očito, količina tijela rotacije treba pronaći kao razlika u količinama.

Rotirajte lik, zaokružene crvenom bojom, oko osi, što je rezultiralo skraćenim konusom. Označava ovaj volumen.

Rotirajte lik, zaokružene zelenom bojom, oko osi i označavaju volumen rotacije.

Volumen našeg leptira jednaka je razlici u količinama.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela rotacije:

Koja je razlika iz formule prethodnog paragrafa? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, koju sam nedavno govorila je mnogo lakše pronaći nego unaprijed izgraditi funkciju ponovnog uvođenja u četvrtom stupnju.

Odgovor:

Imajte na umu da ako se istu ravna slika rotira oko osi, onda će ispasti potpuno različito tijelo rotacije, drugi, naravno, volumen.

Primjer 7.

Izračunajte volumen tijela oblikovane rotacijom oko osi slike, ograničene krivuljama i.

Odluka: Izvršite crtanje:

Usput se upoznatim s grafikonima nekih drugih funkcija. Takav zanimljiv raspored cjelobrojne funkcije ....

U svrhu pronalaženja volumena tijela rotacije, dovoljno je koristiti desnu polovicu lik, koju sam dijelio plavom bojom. Obje funkcije su čak i njihovi grafikoni simetrični o osi, simetričnoj i našoj slici. Dakle, zasjenjeni desni dio, rotirajući oko osi, sigurno će se podudarati s lijevom dijelom. ili . Zapravo, ja sam uvijek osiguran, zamjenjujući nekoliko točaka rasporeda u pronađenom funkciji.

Sada mi guramo glavu i primijetimo sljedeću stvar:

- na segmentu preko osi nalazi se graf funkcije;

Logično je pretpostaviti da se količina tijela rotacije mora tražiti kao količina volumena tijela rotacije!

Koristimo formulu:

U ovom slučaju.

Volumen rotacijskog tijela može se izračunati formulom:

U formuli, integralni je nužno prisutan. Bilo je tako potrebno - sve što vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Kako organizirati granice integracije "A" i "biti", mislim da je lako pogoditi od crteža.

Funkcija ... Što je ta funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena na najviši raspored parabolisa. To je funkcija koja se odnosi na formulu.

U praktičnim zadacima, ravna slika ponekad se može nalaziti ispod osi. To ne mijenja ništa - integrirana funkcija u formuli je ugrađena na kvadrat: tako da integral je uvijek nenegatorni to je vrlo logično.

Izračunajte opseg rotacije pomoću ove formule:

Kao što sam već primijetio, integral je gotovo uvijek jednostavan, glavna stvar je biti pažljiva.

Odgovor:

Kao odgovor, morate definirati dimenziju - kubične jedinice. To jest, u našem tijelu rotacije približno 3,35 kockica ". Zašto je kubični jedinice? Zbog najviše univerzalne formulacije. Kubični centimetri mogu biti kubični metara, mogu postojati kubični kilometri, itd., To je koliko zelenila će biti smještena u letećoj ploči.

Primjer 2.

Pronađite volumen tijela koji se formira rotacijom oko osi ograničena linije,

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrite još dva složenija zadatka koji su također uobičajeni u praksi.

Primjer 3.

Izračunati volumen tijela dobivenog pri rotaciji oko abscisa osi slici ograničenih linija, i

Odluka: Pokažite ravnu figuru u crtežu, ograničena linijama ,,, ne zaboravljajući tu jednadžbu je os:

Željena figura je zasjenjena plavom bojom. Kada se rotira oko osi, dobiva se takav nadrealni bagel s četiri kutove.

Volumen tijela rotacije izračunava se kao razlika u količinama.

Prvo razmislite o slici, koja je zaokružena crvenom bojom. Svojom rotacijom oko osi dobiva se skraćeni konus. Označava volumen ovog skraćenog konusa.

Razmotrite lik koji je zaokružen zelenim. Ako rotirate ovu sliku oko osi, također ćete dobiti skraćeni konus, samo malo manji. Označava svoj volumen.

I očito, razlika u količinama je upravo volumen našeg "bagela".

Koristimo standardnu \u200b\u200bformulu za pronalaženje volumena tijela rotacije:

1) Slika zaokružen crvenom bojom je ograničena odozgo, tako:

2) Green je ograničen iznad ravnog, tako da:

3) volumen izvornog tijela rotacije:

Odgovor:

Znatiželjno je da se u ovom slučaju otopina može provjeriti korištenjem školske formule za izračunavanje volumena skraćenog konusa.

Sama odluka je češće uređena, približno u takvom duhu:

Sada malo odmora i ispričajte o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s volumenom, koji je primijetio Perelman (drugi) u knjizi Zabavna geometrija, Pogledajte ravnu figuru u isprobanom zadatku - čini se da je mali u tom području, a volumen rotacije je nešto više od 50 kubičnih jedinica, što se čini previše. Usput, prosječna osoba u cijelom životu pije tekućinu s prostorom s površinom od 18 četvornih metara, što je, naprotiv, izgleda premalo.

Općenito, obrazovni sustav u SSSR-u bio je doista najbolji. Ista knjiga Perelmana, objavljena 1950. godine, vrlo dobro razvija, kao što je humorist rekao, konsolidirati i uči tražiti izvorne nestandardne rješenja za probleme. Nedavno su neka poglavlja čitala s velikim interesom, preporučuju, dostupne čak i za humanitarnu. Ne, ne morate se smiješiti da sam ponudio razotkrivanje, erudiciju i širok raspon komunikacije - velika stvar.

Nakon lirskog povlačenja, to je relevantno za rješavanje kreativnog zadatka:

Primjer 4.

Izračunajte volumen tijela koji se formira rotacijom u odnosu na os ravna slika ograničena linijama, gdje.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Imajte na umu da se sva pitanja pojavljuju u traci, drugim riječima, gotove granice integracije zapravo se daju. Ispravno crtati grafikone trigonometrijskih funkcija, podsjetiti materijal lekcije o geometrijske transformacije grafikona : Ako je argument podijeljen na dva: tada se grafikoni rasteže dvaput. Preporučljivo je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim stolovima Kako bi se točnije izvršili crtež. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i nije vrlo racionalan.

Upotreba integrala za pronalaženje volumena tijela rotacije

Praktično korisnost matematike je zbog činjenice da bez

specifično matematičko znanje otežano je razumijevanjem načela uređaja i korištenja moderne tehnologije. Svaka osoba u svom životu mora obavljati prilično složene izračune, koristiti zajedničku tehniku, pronaći u referentnim knjigama da se primjenjuju potrebne formule, kako bi jednostavne algoritme za rješavanje problema. U modernom društvu sve više i više specijaliteta koji zahtijevaju visoku razinu obrazovanja povezane su s izravnom uporabom matematike. Dakle, za školarca, matematika postaje profesionalna smislena tema. Vodeća uloga pripada matematici u formiranju algoritamskog razmišljanja, dovodi do sposobnosti djelovanja prema zadanom algoritmu i dizajniranju novih algoritama.

Proučavajući temu primjene integrala za izračunavanje obujma tijela rotacije, nudim studentima na neobaveznim razredima kako bi razmotrili temu: "Volume tijela rotacije uz korištenje integrala." U nastavku dajemo metodičke preporuke za razmatranje ove teme:

1. Mjesto ravnog oblika.

Iz točaka algebre, znamo da je koncept određenog integralnog doveo do praktičnog zadatka ... "širina \u003d" 88 "visina \u003d" 51 ". JPG" Širina \u003d "526" Visina \u003d "262 SRC \u003d "\u003e

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif "širina \u003d" 127 "visina \u003d" 25 SRC \u003d "\u003e.

Da biste pronašli volumen tijela rotacije formirane rotacijom curvilinear trapeza oko osi okna vezane za prekid linije Y \u003d F \u003d F (X), Osovina Ox, Direct X \u003d A i X \u003d b izračunava formulom

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg "širina \u003d" 352 "visina \u003d" 283 SRC \u003d "\u003e y

3. Volumen cilindra.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif "širina \u003d" 85 "visina \u003d" 51 "\u003e .. gif" širina \u003d "13" visina \u003d "25"\u003e .. jpg ". Širina \u003d "401" visina \u003d "355"\u003e Konus se dobiva rotiranjem pravokutnog trokuta ABC (c \u003d 90) oko osi OX na kojoj je zvučnik laganje.

Cut Av leži na ravnoj liniji y \u003d KX + C, gdje https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif "širina \u003d" 59 "visina \u003d" 41 src \u003d "\u003e.

Neka A \u003d 0, B \u003d H (visina konusa), zatim VHTTPS: //pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif "širina \u003d" 13 "visina \u003d" 23 SRC \u003d "\u003e ,

5. Montiranje skraćenog konusa.

Skraćeni konus može se dobiti rotiranjem pravokutnog trapeza AVD-a (cDox) oko osi Ox.

Cut ab leži na ravnoj liniji y \u003d kx + c, gdje , C \u003d r.

Budući da ravna linija prolazi kroz točku A (0; R).

Dakle, linija ima izgled https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif "širina \u003d" 303 "visina \u003d" 291 src \u003d "\u003e

Neka a \u003d 0, b \u003d h (n- visina skraćenog konusa), zatim https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif "širina \u003d" 36 "visina \u003d" 17 SRC \u003d "\u003e \u003d. .

6. Bowl.

Lopta se može dobiti rotiranjem kruga sa središtem (0; 0) oko osi Ox. Polukrug koji se nalazi iznad osi Osovine daje jednadžbu

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif "širina \u003d" 13 "visina \u003d" 16 SRC \u003d "\u003e x r.

Definicija 3. Tijelo rotacije je tijelo dobiveno okretanjem ravnog lika oko osi koja ne prelazi s figurom i laganje s njim u istoj ravnini.

Osovina rotacije može i preći lik, ako je osi simetrije slike.

Teorem 2.
, os
i ravne rezove
i

okreće oko osi
, Tada se volumen dobivenog rotacijskog tijela može izračunati formulom

(2)

Dokaz. Za takvo tijelo, poprečni presjek s apscisom - Ovo je krug radijusa
Tako
i formula (1) daje potreban rezultat.

Ako je broj ograničen na grafikone dvaju kontinuiranih funkcija
i
i ravne rezove
i
Povrh toga
i
, kada rotirate oko Abscisa osi, dobivamo tijelo, čiji je volumen

Primjer 3. Izračunajte volumen torisa dobivenog okretanjem kruga ograničenog krugom

oko abscisa osi.

R mjera. Navedeno dno kruga ograničeno je grafikonom
i odozgo -
, Razlika kvadrata ovih funkcija:

Željeni volumen

(Graf integrand je gornji dio prijateljski, tako da je gore navedeno cjelokupno polukružno područje).

Primjer 4. Parabolični segment
i visoko , okreće se oko baze. Izračunajte volumen rezultirajućeg tijela ("limun" kavalieri).

R mjera. Parabola se nalazi kao što je prikazano na slici. Zatim njegovu jednadžbu
i
, Pronađite vrijednost parametra :
, Dakle, željeni volumen:

Teorem 3. Neka curvilinear trapez, ograničen grafikonom kontinuirane ne-negativne funkcije
, os
i ravne rezove
i
Povrh toga
okreće oko osi
, Tada se volumen prijemnog tijela rotacije može pronaći pomoću formule

(3)

Ideju dokaza. Mali rez
bodovi

, dio i provedite izravno
, Cijeli trapez će se raspasti na trakama, koji se mogu smatrati približno pravokutnicima s bazom.
i visina
.

Cilindar se dobiva pri rotiranju takav pravokutnik, izrežit ćemo formiranje i razvijati. Dobivamo "gotovo" paraleliped s dimenzijama:
,
i
, Njegov volumen
, Dakle, za volumen rotacije, imat ćemo približnu jednakost

Da biste dobili točnu jednakost, morate otići na granicu kada
, Gore navedeni iznos je sastavni iznos za funkciju
Stoga, u granici dobivamo integral iz formule (3). Teorem se dokazuje.

Napomena 1. U teoremima 2 i 3 stanja
možete izostaviti: Formula (2) je općenito neosjetljiva na znak
iu formuli (3) dovoljno
zamijenjen
.

Primjer 5. Parabolični segment (baza
, visina ) Cijene oko visine. Pronađite količinu rezultirajućeg tijela.

Odluka. Stavite parabolu kao što je prikazano na slici. I premda se os rotacije prelazi lik, to je os - je os simetrije. Stoga je potrebno razmotriti samo desnu polovicu segmenta. Jednadžba parabola
i
Tako
, Imamo za volumen:

Napomena 2. Ako je krivuljana granica curvilinear trapeza postavljena parametarskim jednadžbama
,
,
i
,
možete koristiti formule (2) i (3) s zamjenom na
i
na
kada se mijenja t. iz
prije .

Primjer 6. Slika je ograničena na prvi cikloidni cikloidi
,
,
i abscisa osi. Pronađite volumen tijela dobivene rotacijom ove slike oko: 1) osi
; 2) os
.

Odluka. 1) Opća formula
U našem slučaju:

2) Opća formula
Za našu brojku:

Nudimo studente da samostalno obavljaju sve izračune.

Napomena 3. Neka curvilinear sektor ograničen na neuron
i zrake
,

okreće oko polarne osi. Volumen dobivenog tijela može se izračunati formulom.

Primjer 7. Dio ograničenog kardioida oblika
opseg
okreće oko polarne osi. Pronađite volumen tijela da se ispostavi.

Odluka. Obje linije, a time i figura da su ograničeni simetrični u odnosu na polarne osi. Stoga je potrebno razmotriti samo dio za koji
, Krivulje se sijeku
i