Primjeri otopina diferencijalnih jednadžbi drugog reda pomoću metode Lagrange. Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda. Neformalni sustav rješenja rješava sustav jednadžbi drugog reda
U teoriji sustava linearnih jednadžbi iu nekim drugim stvarima prikladno je koristiti koncept determinanta ili odrednice.
Razmotrite sva četiri broja zabilježena u obliku kvadratne tablice (matrica) za dvije u redovima i dva u stupcima. Određena ili determinanta sastavljena od broja ove tablice naziva se broj naveden na sljedeći način:
Takva se determinanta naziva determinanta drugog reda, jer se uzima tablici dva reda i dva stupca kako bi se sastavljali. Brojevi iz koje se određuje nazove naziva se njegove elemente, dok se kaže da su elementi glavna dijagonala determinanta, a elementi su njegova strana dijagonala. Može se vidjeti da je determinanta jednaka razlici u djelima elemenata koji stoje na glavnim i bočnim dijagonalama.
Primjer 1. Izračunajte sljedeće determinante drugog reda:
Odluka, a) po definiciji imamo
Uz pomoć odrednica, jednakost može biti jednakost (66,6), (66,7) i (66,8) prepisivanja, mijenjajući njihove dijelove, tako:
Imajte na umu da su determinante vrlo jednostavno sastavljene koeficijentima sustava (66.2).
Doista, determinanta se sastoji od koeficijenata u nepoznatom u ovom sustavu. To se naziva glavna determinanta sustava (66.2). Pozivamo determinante za nepoznato X i Y. Moguće je formulirati sljedeće pravilo njihovog kompilacije: Odrednica za svaku od nepoznanica dobiva se iz glavne determinante ako je stupac koeficijenta u ovom nepoznatom zamijenjen stupcem slobodnih elemenata (uzet iz desni dijelove Jednadžbe sustava).
Primjer 2. Sustav (66.12) za rješavanje uz pomoć odrednica.
Odluka. Sastavljamo i izračunavamo glavnu determinanta ovog sustava:
Sada se zamjenjuje stup koeficijenata na X (prvi stupac) sa slobodnim članovima. Dobivamo odrednicu za X:
Slično tome, nalazimo
Odavde putem formula (66.11) dobivamo
Došli smo do već poznatog rješenja (1, -1).
Sada provodimo proučavanje sustava linearnih jednadžbi (66.2). Da bismo to učinili, vratit ćemo se na jednakost (66,9) i (66,10) i mi ćemo razlikovati između dva slučaja:
Neka onda, kao što je već zabilježeno, formule (66.11) daju jedinu otopinu sustava (66.2). Dakle, ako je glavna determinanta sustava nula, sustav ima jedinstvenu otopinu određenu formulama (66.11); Takav se sustav naziva određeni.
2) Neka sada. Ovisno o vrijednostima ćemo razlikovati između dva slučaja.
a) najmanje jedan od odrednica se razlikuje od nule; Tada sustav (66.2) nema rješenja. Doista, neka, na primjer,. Jednakost (66,9) ne može se zadovoljiti s bilo kojom vrijednošću jer se ta jednakost dobiva kao posljedica sustava (66.2), sustav nema rješenja. Takav se sustav naziva nepotpuno.
b) oba determinante su nula; Jednakost (66,9) i (66.10) su zadovoljni identični i proučavaju sustav (66.2) se ne koristi.
Dokažimo da, ako se barem jedan od koeficijenata na sustavu nepoznat u sustavu (66.2) razlikuje od nule, sustav ima beskonačan skup rješenja. Da bi bili sigurni da, recimo, na primjer, to. Iz odnosa
i od snimanja druge jednadžbe sustava (66,2), zamjenjujući izraze koeficijenata
smatramo da se razlikuje od prve jednadžbe samo multiplikator koji se, u biti podudara s njom (ekvivalentno mu). Sustav (66.2) je sveden na jednu po prvoj jednadžbi i definira bezbrojna rješenja (takav se sustav naziva nesigurno). Moguće je, u načelu, takav ekstremni slučaj kao jednakost nula svih koeficijenata u nepoznanicama (može se sastati u proučavanju sustava s koeficijentima slova). Takav sustav
sve determinante su nula: međutim, to je nepotpuno kada ili.
Sažet ćemo proučavanje sustava linearnih jednadžbi (66.2). Postoje tri vrste takvih sustava:
1) Ako je sustav definiran, ima jedno rješenje (66.11).
2) Ako je, ali onda je sustav nerazumljiv, rješenja nemaju.
3) Ako je barem jedan od koeficijenata na nepoznatoj bio nula), sustav je neodređen, ima beskonačan skup otopina (smanjuje se na jednu jednadžbu).
Ravnopravnost nula odrednica,
znači proporcionalnost elemenata u svojim linijama (i leđima):
Zbog toga se znakovi koji razlikuju linearni sustavi različitih vrsta (definirani, neodređeni, nepotpuni) mogu se formulirati u smislu proporcija između koeficijenata sustava (bez privlačenja odrednica).
Stanje je zamijenjeno tako da je zahtjev proporcionalnosti (nesrazmjernost) koeficijenata u nepoznatom:
U slučaju, ne samo koeficijenti su proporcionalni nepoznatim, ali i slobodni članovi:
(Te se omjeri dobivaju, na primjer, od (67,6)). Ako, na primjer, prije, zatim iz (66,6) vidimo da - slobodni članovi nisu proporcionalni koeficijentima u nepoznatom. Tako:
1) Ako koeficijenti nisu proporcionalni nepoznatim:
taj sustav je definiran.
2) ako su koeficijenti proporcionalni nepoznatim, a slobodni članovi im nisu proporcionalni:
taj sustav je nepotpun.
3) Ako su koeficijenti proporcionalni nepoznatim i slobodnim članovima:
tada je sustav neizvjestan.
Proučavanje sustava linearnih jednadžbi s dvije nepoznate dopušta jednostavno geometrijsko tumačenje. Svaka linearna jednadžba oblika (38.4) određuje izravnu liniju na koordinatnoj ravnini. Jednadžbe sustava (66.2) stoga mogu tumačiti kao jednadžbe dva izravna u ravnini, a zadatak rješavanja sustava je zadatak pronalaženja točke raskrižje ovih izravnih.
Jasno je da su moguća tri slučaja: 1) Podaci su dvije ravne linije presijecaju (sl. 61, a); Ovaj slučaj odgovara određenom sustavu; 2) podaci su dva ravna paralela (Sl. 61, B); Ovaj slučaj odgovara nepotpunom sustavu;
3) izravni podaci podudaraju (sl. 61, c); Ovaj slučaj odgovara nesigurnom sustavu: svaka točka "dvaput navedena" izravna će se rješavati sustav.
Primjer 3. Istražite linearni sustavi:
Odluka, a) čine i izračunajte glavnu determinanta ovog sustava.
Definicija. Odrednica drugog reda
(*)
; 
; 
Teoretski, moguća su sljedeća tri slučaja.
1. Ako, onda sustav (*) ima jedno rješenje koje se može naći u skladu s formulama, koje se nazivaju frawler formula:.
2. Ako i (zatim) sustav (*) nema rješenja.
3. Ako i (zatim) sustav (*) ima beskonačan skup rješenja (naime, svaka otopina jedne jednadžbe je i rješava drugu jednadžbu).
Komentar, Odrednica se naziva glavna determinanta sustava (*). Sustav se može riješiti prema Formulama krima samo pod uvjetom. Inače, morate koristiti druge metode, kao što je Gauss metoda.
Determinanta trećeg reda. Rješenje sustava od tri linearne jednadžbe s tri varijable prema Cramer Formulama
Definicija. Odrednica trećeg reda Broj se zove i izračunava se na sljedeći način:
Neka se daje sustav jednadžbi tipa 
(*)
Uvodimo sljedeće odrednice za razmatranje:
- glavna determinanta sustava (*);
; 
; 
.
Prilikom rješavanja sustava moguće su sljedeći slučajevi.
1. Ako, sustav (*) ima jedno rješenje koje se mogu naći u formulama, koje se nazivaju Craver Formule: 
.
2. Ako je nemoguće riješiti sustav (1) metodom CRAMER-a.
Napomena 1. U slučaju sustava možda nema rješenja ili imaju beskonačna seta rješenja. Za detaljnije studije i pronalaženje općeg rješenja sustava, možete koristiti, na primjer, Gauss metodu.
Rješenje sustava od tri linearne jednadžbe s tri varijable
Gauss
Suština metode Gaussa smatrat će o određenom primjeru.
Primjer. Riješite sustav jednadžbi: 
(*)
Izravni potez. Ovaj se sustav prikazuje trokutastim vrstama u metodi algebarskog dodavanja.
U prvoj fazi isključujemo od druge i treće jednadžbe sustava, koji sadrže varijablu. Bolje je koristiti u oba slučaja ista jednadžba (uzet ćemo prvi).
Dobivamo:
 |  |
Prva jednadžba sustava ponovno će napisati nepromijenjena, a druga i treća jednadžba zamjenjuju se dobivenim jednadžbama.
Sustav će se oblikovati: 
U drugoj fazi, pojam, koji sadrži varijablu, eliminira iz treće jednadžbe. Koristimo drugu jednadžbu za to.
Prve dvije jednadžbe sustava bit će zastupljene nepromijenjene, a treća jednadžba zamjenjuje se dobivenom jednadžbom.
Dobivamo sustav trokutaste vrste: 
Povratak. Dosljedno se nalazimo nepoznato, počevši od treće jednadžbe.
Od treće jednadžbe sustava nalazimo vrijednost varijable: .
Podnjištvo vrijednosti u drugoj jednadžbi sustava, dobivamo gdje pronaći vrijednost varijable: 
.
Zamjena pronađenih vrijednosti iu prvoj jednadžbi sustava, dobivamo tamo gdje pronalazimo vrijednost varijable: 
.
Odgovor: .
22. rješenje linearne nejednakosti
| Primjeri | |
| 1. Ako, onda. | |
| 2. Ako, onda. | |
| 3. ako, onda. | |
| 4. Ako, onda nejednakost nema rješenja. | Nejednakosti i nemaju rješenja. |
23. Linearna nejednakost
| Prilikom rješavanja nejednakosti mogući su sljedeći slučajevi: | Primjeri |
| 1. Ako, onda. | |
| 2. Ako, onda. | |
| 3. Ako,, nejednakost nema rješenja. | Nejednakost nije rješenja. |
| 4. Ako, onda. |
24. Rješenje linearnih nejednakosti s jednom varijabli
Sustav nejednakosti - To su dvije ili više nejednakosti za koje se traže opća rješenja.
Rješavanjem sustava nejednakosti Zove se opće rješenje svih nejednakosti u sustavu.
Teoretski mogući slučajevi čak i za sustav dviju nejednakosti su jako mnogo, stoga razmotrite glavne slučajeve za sustav dviju jednostavnih nejednakosti.
Primjer 1., Riješite sustav nejednakosti:
Odgovor: .
Primjer 2., Riješite sustav nejednakosti:
Grafički ću prikazati rješenja nejednakosti.
Odgovor: .
Primjer 3..
Riješite sustav nejednakosti:
Grafički ću prikazati rješenja nejednakosti.
Odgovor: .
Primjer 4.Riješite sustav nejednakosti:
Grafički ću prikazati rješenja nejednakosti.
Odgovor: Sustav nema rješenja.
25. Odluka nepotpunih kvadratnih jednadžbi,
Kvadratna jednadžba Nazvao je jednadžbu prikaza 
,
Zove se kvadratna jednadžba nepotpunako je barem jedan od koeficijenata ili nula.
Svaka od nepotpunih jednadžbi može se riješiti općom formulom. Ali to je prikladnije koristiti privatne metode.
Slučaj 1.
Lijevi dio može se razgraditi na čimbenicima :. Poznato je da je rad nula ako i samo ako je barem jedan od multiplikatora nula. Dobivamo: ili gdje zbog toga što slijedi to.
Izlaz:jednadžba uvijek ima dva valjana korijena.
Primjer 1. Riješite jednadžbu.
Odluka: ili , .
Slučaj 2. Ako, jednadžba zauzima pogled.
Zatim. Od tada.
Ako ova jednadžba nema valjane korijene (kao).
Ako, jednadžba ima dva valjana korijena.
Primjer 2. Riješite jednadžbu.
Odluka:. Budući da ova jednadžba nema valjane korijene.
Primjer 3. Riješite jednadžbu.
Odluka: .
Slučaj 3. Ako, jednadžba uzima oblik.
Jer, dakle, ili, dakle jednadžba ima dva jednaka korijen.
Primjer 4. Riješite jednadžbu.
Odluka: .
26. Otopina smanjene kvadratne jednadžbe 
Navedena kvadratna jednadžba naziva se kvadratna jednadžba 
, čiji je viši koeficijent.
Da biste pronašli njegove korijene, označite cijeli kvadrat s varijablom x., Dobivamo:
.
Broj se naziva diskriminant dane kvadratne jednadžbe. Broj valjanih korijena jednadžbe ovisi o diskriminalnom znaku.
Ako, od tada, jednadžba nema valjane korijene.
Ako tada 
, 
,
to jest, jednadžba ima dva valjana korijena. 
i 
.
Komentar. Formula 
Posebno je prikladno koristiti ako je k koeficijent paran broj.
Primjer. Riješite jednadžbu 
.
Odluka.Jer, dakle, 
.
Zatim 
, 
.
Odgovor: , .
27. Vieta formule za danu kvadratnu jednadžbu
pod uvjetom dva valjana korijena i .
Zatim ,
Dakle, teorem se dokazuje, koji se zove teorem Vieta.
Teorema. Ako su korijeni dane kvadratne jednadžbe , onda je jednakost pravedna.
Te se jednakosti nazivaju Vieta formulama.
Komentar. Vieta formule vrijede i ako je jednadžba Ima integrirane konjugatne korijene.
Primjer. U prethodnom stavku pokazao je da jednadžba Ima korijene. Zatim.
Od tada , .
28. Rješenje kvadratne jednadžbe 
Od određivanja kvadratne jednadžbe, može se podijeliti na djelovanje jednadžbe. Dobivamo određenu kvadratnu jednadžbu 
, u kojem , . Tada se njegovi korijeni mogu naći u formuli .
Dobivamo:
Broj se naziva diskriminant kvadratne jednadžbe (i diskriminant kvadratnih tri dekara). Diskriminant pokazuje koliko valjanih korijena ima ovu jednadžbu.
Ako, onda jednadžba Ima dva nejednaka valjana korijen 
i 
().
Ako, onda jednadžba Ima dva jednaka valjana korijen.
Ako, onda jednadžba nema Valjani korijeni.
Komentar. U ovom slučaju, jednadžba ima dva složena korijena konjugata.
i 
.
Primjer 1. Riješite jednadžbu 
.
Odluka. Jer, (tada), onda
Od tada 
.
Zatim 
, 
.
Odgovor:,.
Primjer 2. Riješite jednadžbu 
.
Odluka. Od tada.
Budući da ova jednadžba nema valjane korijene.
29. Rješenje kvadratnih nejednakosti
, 
, 
, 
s pozitivnim diskriminacijom
uspostavljanje sustava dviju linearnih nejednakosti
Diskriminant kvadratnih tri dekara je broj.
Korijeni kvadrata tri uredbe nazivaju se korijeni jednadžbe .
i , Štoviše, to znači).
Tada se može razgraditi na linearnim multiplikatorima :.
Od, moguće je podijeliti na oba dijela svake od nejednakosti koja se razmatra (ako je znak nejednakosti (to jest, znak\u003e ili<) сохранится, если , то знак неравенства поменяется на противоположный). В результате получится неравенство одного из видов: 
, 
, 
, 
, Razmotrite rješenje tih nejednakosti.
1) rad dvaju čimbenika je pozitivno, ako su i multiplikatori pozitivni ili i negativni množitelj, tako da 
ja za.
Rješenja oba sustava su odluke ove kvadratne nejednakosti.
Kao , pa onda ).
Od tada (zatim).
Odgovor: nejednakost
Ima mnogo rješenja koja se mogu napisati kao ili ili u obliku.
3) Proizvod dvaju čimbenika je negativan, ako je jedan od multiplikatora pozitivan, a drugi je negativan. stoga ja za.
Od tada.
Ovaj nejednakost sustav nema rješenja, jer broj X ne može biti istovremeno manji od manje od dva broja i, i više nego više.
Odgovor: nejednakost
2) Slično tome, dobivamo tu nejednakost Ima mnogo rješenja koja se mogu napisati u obliku ili u obliku.
Primjer. Riješiti nejednakost 
.
Odluka. Pronađite korijene kvadratnih triju deklizacije, to jest, korijeni jednadžbe 
: ,
, 
.
Određivanje lijevog dijela ove nejednakosti pomoću formule, dobivamo nejednakost 
.
Jer, dijeljenjem oba dijela posljednje nejednakosti do 3, dobivamo ekvivalentnu nejednakost 
.
Rad dvaju čimbenika je negativan ako je jedan od multiplikatora pozitivan, a drugi je negativan. Stoga su rješenja posljednje nejednakosti rješenja za svaki od nejednakosti sustava ako ili. Zatim ili
Grafičko rješenje sustava prikazana je na slikama (za prvi sustav s lijeve strane, za drugo desno). Može se vidjeti da drugi sustav rješenja nema, dakle, samo rješenja prvog sustava su rješenja za ovu nejednakost.
Odgovor:
30. Rješenje kvadratnih nejednakosti
, , ,
pomoću karte kvadratne funkcije
Komentar.Možemo to pretpostaviti u svim tim nejednakostima. Inače, umnožavanje oba dijela nejednakosti i mijenjaju znak nejednakosti na suprotno, dobivamo nejednakost jedne od navedenih četiri vrste, što je ekvivalentno tome.
Zatim graf funkcije 
Bit će parabola, čija je grana usmjerena na. Položaj ove parabole u odnosu na Asčissu ovisi o znaku diskriminalnog trga tri decekcija. 3 slučaja su moguća.
Sl. 1 Sl. 2 Sl. 3.
Slučaj 1. Ako, kvadrat tri smanjenja ima dva valjana korijena i i .
Tada parabola prelazi Abscissu na točkama s bijegom i. Za stroge nejednakosti 
i 
i prikazani su u nepromišljenim krugovima (kao na slici 1). Za ne-strogu nejednakosti 
i brojevi i prikazani su s obojenim krugovima. U ovom slučaju: i nema valjane korijene. Tada parabola nije zajednička boda s Abscissom osi (vidi sliku 3). U ovom slučaju, X prekida osovinu apscisa za 3 intervala (vidi sl. 1). i
Diferencijalne jednadžbe u linearnom drugom redu
Gledajte diferencijalnu jednadžbu drugog reda.
Definicija. Opće rješenje jednadžbe druge narudžbe je takva funkcija, koja je za bilo koje vrijednosti i rješenje ove jednadžbe.
Definicija. Linearna homogena jednadžba drugog reda naziva se jednadžbama. Ako koeficijenti i konstantni, tj. Ona ne ovisi o tome, ova jednadžba se naziva jednadžba s konstantnim koeficijentima i napišite ga ovako :.
Jednadžba će se nazvati linearnom nehomogenom jednadžbom.
Definicija.Jednadžba koja se dobiva iz linearne homogene jednadžbe zamjenom funkcije prema jednom, i odgovarajućim stupnjevima, naziva se karakteristična jednadžba.
Poznato je da kvadratna jednadžba ima otopinu ovisno o diskriminaciji:, tj. Ako, onda korijenje i - valjani različiti brojevi. Ako tada. Ako, tj. , To će biti imaginarni broj i korijenje i - složene brojeve. U ovom slučaju pristajemo na označavanje.
Primjer 4.Riješite jednadžbu.
Odluka. Dakle diskriminaciju ove kvadratne jednadžbe.
Prikazujemo se, kao u izgledu korijena karakteristične jednadžbe kako bismo pronašli opće rješenje homogene linearne jednadžbe drugog reda.
Ako - tada - važeći korijeni karakteristične jednadžbe.
Ako su korijeni karakteristične jednadžbe iste, tj. Opći otopini diferencijalne jednadžbe pretražuju se formulom ili.
Ako je karakteristična jednadžba, tada ima integrirane korijene.
Primjer 5. Pronađite opće rješenje za jednadžbu.
Odluka.Mi obuhvaćamo karakterističnu jednadžbu za ovu diferencijalnu jednadžbu :. Njegovi korijeni su valjani i različiti. Stoga, opće rješenje.
Temeljni sustav rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe. Teorem na strukturi cjelokupne otopine otopina linearne homogene diferencijalne jednadžbe. U ovom odjeljku dokazit ćemo da se temelj linearnog prostora privatnih rješenja homogene jednadžbe može biti bilo koji skup n.
Njegova linearna neovisna rješenja.
Ord. 14.5.5.1. Temeljna rješenja sustava. Temeljna rješenja sustava linearna homogena diferencijalna jednadžba n.
-o red nazvan bilo koji linearno neovisni sustav yor
1 (x.
), yor
2 (x.
), …, y n.
(x.
) njegov n.
Privatna rješenja.
Teorem 14.5.5.1.1 na strukturu opće otopine linearne homogene diferencijalne jednadžbe, Zajednička odluka yor
(x.
) Linearna homogena diferencijalna jednadžba je linearna kombinacija funkcija iz temeljnog sustava rješenja ove jednadžbe:
yor
(x.
) = C.
1 yor
1 (x.
) + C.
2 Yor
2 (x.
) + …+ C n y n
(x.
).
Pristanište, Neka biti yor
1 (x.
), yor
2 (x.
), …, y n.
(x.
) - temeljni sustav rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe. Potrebno je dokazati da je svaka posebna odluka yor
Cho ( x.
) Ova jednadžba je sadržana u formuli yor
(x.
) = C.
1 yor
1 (x.
) + C.
2 Yor
2 (x.
) + …+ C n y n
(x.
) s nekim skupom trajnih C.
1 , C.
2 , …, C N.
, Uzmite bilo koju točku, izračunajte broj u ovom trenutku i pronađite konstantu C.
1 , C.
2 , …, C N.
kao otopina linearno nehomogenog sustava algebarskih jednadžbi
Takvo rješenje postoji i jedini, budući da je determinanta ovog sustava jednaka. Razmotrite linearnu kombinaciju yor
(x.
) = C.
1 yor
1 (x.
) + C.
2 Yor
2 (x.
) + …+ C n y n
(x.
) funkcije iz sustava temeljnog rješenja s tim vrijednostima konstantne C.
1 , C.
2 , …, C N.
i usporedite ga s funkcijom yor
Cho ( x.
). Funkcije yor
(x.
) I. yor
Cho ( x.
) zadovoljiti jednu jednadžbu i isti početni uvjeti u točki x.
0, dakle, po jedinstvenosti rješenja problema Cauchy, oni se podudaraju: yor
Cho ( x.
) = C.
1 yor
1 (x.
) + C.
2 Yor
2 (x.
) + … + C n y n
(x.
). Teorem se dokazuje.
Iz ove teorema slijedi da dimenzija linearnog prostora privatnih rješenja homogene jednadžbe s kontinuiranim koeficijentima ne prelazi n.
, Ostaje dokazati da je ova dimenzija ne manje n.
.
Teorem 14.5.5.1.2 o postojanju temeljnog sustava rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe. Bilo koja linearna homogena diferencijalna jednadžba n.
-o nalog s kontinuiranim koeficijentima ima sustav temeljnih rješenja, tj. sustav je n.
Lažno neovisna rješenja.
Pristanište, Uzmite bilo koju numeričku determinanta n.
-o naručiti nije jednaka nula
Neka kvadratna tablica od četiri broja A 1, A 2, B 1, B2:
Broj A 1 B2 - a 2 B 1 naziva se determinanta drugog reda, što odgovara tablici (1). Ovaj definitivan je označen simbolom, mi imamo:
Brojevi A 1, A2, B1, B2 nazivaju se elementi determinante. Kaže se da elementi A 1, b2 leže na glavnoj dijagonali od determinante i 2, b 1 - sa strane. Tako je determinanta drugog naloga jednaka razlici između djela elemenata koji leže na glavnim i bočnim dijagonalama. Na primjer,
Razmotrite sustav dviju jednadžbi
s dva nepoznata x, y. (Koeficijenti A 1, B1, A 2, B2 i besplatni članovi HXI H2 pretpostavljamo podatke.) Uvodimo zapis
Određivanje δ, sastavljeno iz koeficijenata u nepoznatom sustavu (3), naziva se determinanta ovog sustava. Određivanje Δ X se dobiva zamjenom elemenata prvog stupca determinanta δ bez slobodnih elemenata sustava (3); Određivanje Δ Y dobiva se iz determinanta δ zamjenom elemenata drugog stupca sa slobodnim elementima sustava (3).
Ako δ ≠ 0, tada sustav (3) ima jedno rješenje; Određuje se formulama
x \u003d δ x / δ, y \u003d δ / δ (5)
Ako je δ \u003d 0 i istovremeno, barem jedna od determinanti δ x, Δ Y se razlikuje od nule, a zatim sustav (3) nema rješenja na sve (kao što kažu, jednadžbe ovog sustava su nekompatibilne ).
Ako je δ \u003d 0, ali i Δ \u003d δ y \u003d 0, onda sustav (3) ima beskrajno mnogo rješenja (u ovom slučaju, jedna od jednadžbi sustava posljedica je drugog).
Pustiti jednadžbe sustava (3) H1 \u003d H2 \u003d 0; Tada će sustav (3) pogledati:
1 X + B 1 Y \u003d 0, 2 X + B2 Y \u003d 0. (6)
Sustav jednadžbi obrasca (6) naziva se homogena; Uvijek ima nultu otopinu: X \u003d 0, y \u003d 0. Ako je Δ ≠ o, tada je ovo rješenje jedini ako je δ \u003d 0, a zatim sustav (6), osim nule, ima beskrajno mnoga druga rješenja.
1204. Izračunajte determinante:
1205. Rješavanje jednadžbi:
1206. Rješavanje nejednakosti:
1207. Nađi sve rješenja svakog od sljedećih sustava jednadžbi:
1208. Da bi se utvrdilo na onome što A i B sustav jednadžbi SK - AU \u003d 1, 6x + 4U \u003d B 1) ima jedinstvenu otopinu; 2) nema rješenja; 3) ima beskrajno mnogo rješenja.
1209. Odredite s kakvom vrijednošću sustav homogenih jednadžbi 13x + 2OW \u003d 0, 5x + au \u003d 0 ima ne-nulzo rješenje.
Ovdje primjenjujemo metodu varijacije stalnog Lagrangea za rješavanje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda. Detaljan opis ove metode za rješavanje jednadžbi slučajnih naloga postavljen je na stranici.
Rješenje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi viših narudžbi Lagrange Metoda \u003e\u003e\u003e.
Primjer 1.
Riješite diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima varijacijom stalnog Lagrangea:
(1)
Odluka
U početku, rješavamo homogenu diferencijalnu jednadžbu:
(2)
Ovo je jednadžba drugog reda.
Riješimo kvadratnu jednadžbu:
.
Roots Multiples :. Temeljni sustav rješenja jednadžbe (2) ima obrazac:
(3)
.
Odavde dobivamo opće rješenje homogene jednadžbe (2):
(4)
.
Razne konstantne C. 1
i C. 2
, To jest, mi ćemo zamijeniti (4) trajne i funkcije:
.
Tražimo rješenje početne jednadžbe (1) u obliku:
(5)
.
Pronađite derivat:
.
Povezujemo funkcije i jednadžbu:
(6)
.
Zatim
.
Nalazimo drugi derivat:
.
Zamijenimo u početnoj jednadžbi (1):
(1)
;
.
Od i zadovoljavaju homogenu jednadžbu (2), zbroj članova u svakom stupcu posljednje tri linije daje nulu, a prethodna jednadžba dobiva oblik:
(7)
.
Ovdje.
Zajedno s jednadžbom (6) dobivamo sustav jednadžbi za određivanje funkcija i:
(6)
:
(7)
.
Rješavanje sustava jednadžbi
Mi rješavamo sustav jednadžbi (6-7). Pišemo izraze za funkcije i:
.
Nalazimo njihove derivate:
;
.
Mi rješavamo sustav jednadžbi (6-7) metodom Cramer. Izračunajte determinant matrice sustava:
.
Formule s pucnjakom nalazimo:
;
.
Dakle, pronašli smo izvedene funkcije:
;
.
Integriramo (vidi metode integracije korijena). Stvaranje zamjene
;
;
;
.
.
.
;
.
Odgovor
Primjer 2.
Riješite diferencijalnu jednadžbu varijacijom stalnog Lagrangea:
(8)
Odluka
Korak 1. Otopina homogene jednadžbe
Riješimo homogenu diferencijalnu jednadžbu:
(9)
Tražimo odluku u obliku. Sastavljamo karakterističnu jednadžbu:
Ova jednadžba ima integrirane korijene:
.
Temeljni sustav rješenja koja odgovara ovim korijenima ima oblik:
(10)
.
Opće rješenje homogene jednadžbe (9):
(11)
.
Korak 2. Varijacija trajnih - zamjena trajnih funkcija
Sada varira konstantna c 1
i C. 2
, To jest, zamijenite (11) trajne funkcije:
.
Tražimo rješenje početne jednadžbe (8) kao:
(12)
.
Nadalje, odluka o rješenju je ista kao u primjeru 1. Dolazimo na sljedeći sustav jednadžbi za određivanje funkcija i:
(13)
:
(14)
.
Ovdje.
Rješavanje sustava jednadžbi
Mi rješavamo ovaj sustav. Odbijamo izraze funkcija i:
.
Od tablice derivata nalazimo:
;
.
Mi rješavamo sustav jednadžbi (13-14) metodom CRAMER-a. Određivanje matrice sustava:
.
Formule s pucnjakom nalazimo:
;
.
.
Jer, može se izostaviti modul znak ispod logaritam. Pomnožite brojčanika i nazivnika na:
.
Zatim
.
Opće rješenje izvorne jednadžbe:
.
