Rotation autour de l'axe de l'UA. Comment calculer la portée de la rotation en utilisant une intégrale spécifique? Calcul du volume du corps formé par rotation d'une forme plate autour de l'axe

C est contenu dans l'intervalle. Ainsi, nous avons de nouveau une forme de Langundree d'un membre supplémentaire. 5. Conclusion. Au cours des travaux du cours, les définitions d'une intégrale certaine et incompatible sont données, des problèmes d'application d'une intégrale particulière sont pris en compte. En particulier, la formule VALLES, qui a une importance historique, comme la première représentation du nombre P sous la forme d'une limite facilement calculée ...

l'intégrale rayonnée du type de fonction est numériquement représente la zone de trapézation curviligne de courbes bornées x \u003d 0, y \u003d a, y \u003d b et y \u003d (figure 1). Il existe deux méthodes de calcul de cette zone ou d'une méthode intégrale spécifique de trapèze (Fig. 2) et de la méthode du rectangle moyen (Fig. 3). Figure. 1. Un trapèze curviligneaire. Figure. 2. Méthode de trapèze. Figure. 3. Méthode des rectangles moyens. Selon des méthodes ...

N (Augmenter le nombre d'intégrations) Augmente la précision du calcul approximatif de la tâche d'intégralité au travail de laboratoire 1) Écrire des programmes pour calculer une méthode intégrale spécifique: moyen, rectangles droit, trapèze et la méthode SIMPSON. Effectuer l'intégration des fonctions suivantes: 1. F (x) \u003d xf (x) \u003d x2 f (x) \u003d x3 f (x) \u003d x4 sur le segment avec un pas, 2. F (x) \u003d f (x ) \u003d f (x) \u003d ...

... (procédure de tami) et intégrale. 4. Conclusion et conclusions. Ainsi, il est évident que lors du calcul de certaines intégrales à l'aide de formules en quadrature, et en particulier, la formule de Chebyshev ne nous donne pas une valeur exacte, mais seulement approximative. Afin de fermer autant que possible d'une valeur fiable de l'intégrale, vous devez pouvoir choisir la méthode appropriée et la formule qui sera calculée. Même...

forme plate autour de l'axe

Exemple 3.

Dana Flat Figure Limited par les lignes ,,

1) Trouvez la zone d'une figure à plat limitée par ces lignes.

2) Trouvez le volume du corps obtenu par la rotation d'une figure plate limitée par ces lignes autour de l'axe.

Attention! Même si vous voulez vous familiariser avec le deuxième article, d'abord avant que Lisez le premier!

Décision: La tâche se compose de deux parties. Commençons par la place.

1) Effectuer le dessin:

Il est facile de voir que la fonction définit la branche supérieure de la parabole et la fonction est la branche inférieure de la parabole. Avant que nous soit une parabole triviale qui "se trouve sur le côté".

La figure souhaitée, dont la surface doit être trouvée, ombragée en bleu.

Comment trouver la zone de la figure? Il peut être trouvé "ordinaire". De plus, la zone de la figure ressemble à la quantité de la zone:

- sur le segment;

- sur le segment.

Par conséquent:

Il existe une solution de solution plus rationnelle: elle consiste en la transition vers les fonctions inverse et l'intégration le long de l'axe.

Comment aller aux fonctions inverse? À peu près parlant, vous devez exprimer "x" à travers "irek". Nous allons d'abord traiter avec la parabole:

Cela suffit, mais assurez-vous que la même fonction peut être retirée de la branche inférieure:

Avec tout droit, tout est plus facile:

Nous examinons maintenant l'axe: s'il vous plaît, vous inclinez périodiquement votre tête à droite de 90 degrés le long de l'explication (ce n'est pas une blague!). La figure dont nous avons besoin de mensonges sur le segment, qui est marquée d'une ligne pointillée rouge. Dans le même temps, la ligne droite est située au-dessus de la parabole, et la zone de la figure doit donc être trouvée sur la formule déjà familière à vous :. Qu'est-ce qui a changé dans la formule? Seule la lettre, et rien de plus.

! Noter : Limites d'intégration asiatique Il devrait être arrangéstrictement bas !

Trouver la zone:

Sur le segment, donc:

Veuillez noter comment j'ai mis en œuvre l'intégration est la manière la plus rationnelle, et dans le prochain point de la tâche sera claire - pourquoi.

Pour les lecteurs qui doutent l'intégration exacte, je trouverai des dérivés:

L'intégrande initiale est obtenue, cela signifie que l'intégration est prise correctement.

Répondre:

2) Calculez le volume du corps formé par la rotation de cette figure autour de l'axe.

Redessiner le dessin un peu dans un autre design:

Donc, la figure, ombragée en bleu, tourne autour de l'axe. En conséquence, il s'avère un "papillon accroché" qui tourne autour de son axe.

Pour trouver le volume du corps de rotation, nous intégrerons le long de l'axe. D'abord, vous devez aller aux fonctions inverse. Ceci est déjà fait et décrit en détail dans le paragraphe précédent.

Maintenant, nous allons à nouveau de nouveau et nous étudions notre silhouette. De toute évidence, le volume du corps de rotation doit être trouvé comme une différence de volumes.

Faites pivoter la figure, encerclée en rouge, autour de l'axe, entraînant un cône tronqué. Dénote ce volume à travers.

Faites pivoter la figure, encerclée avec du vert, autour de l'axe et désignant par le volume du corps de rotation.

Le volume de notre papillon est égal à la différence de volumes.

Nous utilisons la formule pour trouver le volume du corps de rotation:

Quelle est la différence de la formule du paragraphe précédent? Seulement dans la lettre.

Mais l'avantage de l'intégration que j'ai récemment parlé est beaucoup plus facile à trouver que de pré-construire une fonction de réintroduction au 4ème degré.

Répondre:

Notez que si la même figure plate tourne autour de l'axe, il s'agira d'un corps de rotation complètement différent, de l'autre, naturellement, du volume.

Exemple 7.

Calculez le volume du corps formé par rotation autour de l'axe de la figure, limitée par des courbes et.

Décision: Effectuer le dessin:

En cours de route, je me connecte aux graphiques de certaines autres fonctions. Un tel horaire intéressant d'une fonction entière ....

Dans le but de trouver le volume du corps de rotation, il suffit d'utiliser la moitié droite de la figure, que j'ai partagée en bleu. Les deux fonctions sont même, leurs graphiques sont symétriques sur l'axe, symétrique et notre silhouette. Ainsi, la partie droite ombrée, tournant autour de l'axe, coïncidera certainement avec la partie gauche. ou alors . En fait, je suis moi-même toujours assuré, en substituant quelques points de planification dans la fonction trouvée trouvée.

Maintenant, nous rampons votre tête droite et remarquons la prochaine chose:

- sur le segment sur l'axe, il y a un graphique d'une fonction;

Il est logique de supposer que le volume du corps de rotation doit être recherché comme la quantité de volume des corps des rotations!

Nous utilisons la formule:

Dans ce cas.

Le volume du corps de rotation peut être calculé par la formule:

Dans la formule, l'intégrale est nécessairement présente. C'était si nécessaire - tout ce qui tourne dans la vie est associé à cette constante.

Comment organiser les limites de l'intégration "A" et "BE", je pense qu'il est facile de deviner du dessin fait.

Fonction ... quelle est cette fonction? Regardons le dessin. La figure plate est limitée au calendrier supérieur de Parabolys. C'est la fonction qui est signifiée dans la formule.

Dans des tâches pratiques, une figure plate peut parfois être située sous l'axe. Cela ne change rien - la fonction intégrée de la formule est intégrée à la place: donc l'intégrale est toujours non négative c'est très logique.

Calculez la portée de la rotation en utilisant cette formule:

Comme je l'ai déjà noté, l'intégrale est presque toujours simple, la principale chose est d'être attentive.

Répondre:

En réponse, vous devez définir les unités de dimension - cubes. C'est-à-dire dans notre corps de rotation environ 3,35 "cubes". Pourquoi c'est cubique unités? Parce que le libellé le plus universel. Les centimètres cubes peuvent être des mètres cubes, il peut y avoir des kilomètres cubes, etc., c'est combien d'hommes verts votre imagination seront placés dans une assiette volante.

Exemple 2.

Trouver le volume du corps formé par la rotation autour de l'axe de forme limité par les lignes ,,

Ceci est un exemple pour une solution indépendante. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Considérez deux tâches plus complexes qui sont également courantes dans la pratique.

Exemple 3.

Calculer le volume du corps obtenu lors de la rotation autour de l'axe Abscissa de la figure limitée, et

Décision: Montrer une figure plate dans le dessin, limitée par des lignes ,,,,,,,,,,,,,,,, n'oublie pas que l'équation est l'axe:

La figure souhaitée est ombrée en bleu. Lorsqu'il tourne autour de l'axe, un tel bagel surréaliste à quatre angles est obtenu.

Le volume du corps de rotation est calculé comme la différence de volumes.

Premièrement, considérez la figure, qui est encerclée en rouge. Avec sa rotation autour de l'axe, un cône tronqué est obtenu. Dénote le volume de ce cône tronqué à travers.

Considérons une figure qui est entourée de vert. Si vous faites pivoter cette figure autour de l'axe, vous obtiendrez également un cône tronqué, seulement un peu plus petit. Dénote son volume à travers.

Et évidemment, la différence de volumes est exactement le volume de notre "bagel".

Nous utilisons la formule standard pour trouver le volume du corps de rotation:

1) Le chiffre encerclé en rouge est limité de ci-dessus droit, donc:

2) La figure visitée Green est limitée de ci-dessus droit, donc:

3) le volume du corps de rotation d'origine:

Répondre:

Il est curieux que dans ce cas, la solution peut être vérifiée à l'aide de la formule scolaire pour calculer le volume d'un cône tronqué.

La décision elle-même est plus souvent arrangée en bref, approximativement dans un tel esprit:

Maintenant, un peu de repos et racontez des illusions géométriques.

Les gens ont souvent des illusions associées au volume, qui a été remarquée par Perelman (un autre) dans le livre Géométrie divertissante. Regardez le chiffre plat de la tâche éprouvée - il semble être petit dans la région et le volume du corps de rotation est légèrement supérieur à 50 unités cubes, ce qui semble trop. Au fait, la personne moyenne de toute sa vie boit un liquide avec une pièce de 18 mètres carrés, qui semble contraire trop petit.

En général, le système éducatif de l'URSS était vraiment le meilleur. Le même livre de Perelman, publié en 1950, se développe très bien, comme l'a dit un humoriste, consolidate et enseigne pour rechercher des solutions originales non standard aux problèmes. Récemment, certains chapitres se lisent avec un grand intérêt, recommandent, accessibles même pour humanitaires. Non, vous n'avez pas besoin de sourire que j'ai offert un impact passe-temps, érudition et une large gamme de communications - une grande chose.

Après la retraite de lyrics, il est pertinent de résoudre la tâche créative:

Exemple 4.

Calculez le volume du corps formé par la rotation par rapport à l'axe de la figure plate limité par les lignes, où.

Ceci est un exemple pour une solution indépendante. Veuillez noter que toutes les questions se produisent dans la bande, en d'autres termes, les limites d'intégration finis sont réellement données. Dessine correctement des graphiques de fonctions trigonométriques, rappelez le matériau de la leçon à propos de transformations de graphique géométrique : Si l'argument est divisé en deux: alors les graphiques sont étirés par un rebord deux fois. Il est conseillé de trouver au moins 3-4 points selon les tables trigonométriques Afin de réaliser plus précisément le dessin. Solution complète et réponse à la fin de la leçon. Au fait, la tâche peut être résolue de manière rationnelle et n'est pas très rationnelle.

Utilisation d'intégrales pour trouver le volume de corps de rotation

L'utilité pratique des mathématiques est due au fait que sans

les connaissances mathématiques spécifiques sont entravées par la compréhension des principes de l'appareil et l'utilisation de la technologie moderne. Chaque personne de sa vie doit effectuer des calculs assez complexes, pour utiliser une technique commune, pour trouver des ouvrages de référence pour appliquer les formules nécessaires pour rendre des algorithmes simples pour résoudre des problèmes. Dans la société moderne, de plus en plus de spécialités nécessitant un niveau élevé d'éducation sont associés à l'utilisation directe des mathématiques. Ainsi, pour un écolier, les mathématiques deviennent un sujet significatif professionnel. Le rôle de premier plan appartient aux mathématiques dans la formation de la pensée algorithmique, soulève la capacité d'agir selon un algorithme donné et de concevoir de nouveaux algorithmes.

Étudier le sujet de l'application de l'intégrale pour calculer le volume des corps de rotation, j'offre des élèves à des classes facultatives à considérer le sujet: "Les volumes de corps de rotation avec l'utilisation d'intégrales". Ci-dessous, nous donnons des recommandations méthodiques pour examen de ce sujet:

1. Emplacement de forme plate.

Du cours de l'algèbre, nous savons que le concept d'une certaine intégrale a conduit à une tâche pratique ... "largeur \u003d" 88 "hauteur \u003d" 51 "\u003e. JPG" largeur \u003d "526" hauteur \u003d "262 src \u003d "\u003e

https://pandia.ru/text/77/502/Images/image006_95.gif "largeur \u003d" 127 "hauteur \u003d" 25 src \u003d "\u003e.

Pour trouver le volume du corps de rotation formé par la rotation du trapèze curviligne autour de l'axe de bœuf délimité par la ligne d'interruption Y \u003d F (x), l'axe de bœuf, X \u003d A et X \u003d B calculé par la formule

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg "largeur \u003d" 352 "hauteur \u003d" 283 src \u003d "\u003e y

3. Volume de cylindre.

https://pandia.ru/text/77/502/Images/image011_58.gif "largeur \u003d" 85 "hauteur \u003d" 51 "\u003e .. gif" largeur \u003d "13" Hauteur \u003d "25"\u003e .. JPG " Largeur \u003d "401" Hauteur \u003d "355"\u003e Cône est obtenu en tournant le triangle rectangulaire ABC (C \u003d 90) autour de l'axe de bœuf sur lequel le haut-parleur est couché.

CUT AV réside sur une ligne droite Y \u003d KX + C, où https://pandia.ru/text/77/502/Images/Image019_33.gif "largeur \u003d" 59 "Hauteur \u003d" 41 src \u003d "\u003e.

Soit A \u003d 0, b \u003d h (la hauteur du cône), puis vhttps: //pandia.ru/text/77/502/images/Image021_27.gif "largeur \u003d" 13 "Hauteur \u003d" 23 src \u003d "\u003e .

5. Pection d'un cône tronqué.

Le cône tronqué peut être obtenu en tournant le trapèze rectangulaire de l'AVD (CDOX) autour de l'axe de bœuf.

Couper ab mensts sur une ligne droite y \u003d kx + c, où , C \u003d R.

Puisque la ligne droite passe à travers le point A (0; R).

Ainsi, la ligne a l'apparence de https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif "largeur \u003d" 303 "hauteur \u003d" 291 src \u003d "\u003e

Soit A \u003d 0, B \u003d H (N- Hauteur d'un cône tronqué), puis https://pandia.ru/text/77/502/Images/image030_16.gif "largeur \u003d" 36 "hauteur \u003d" 17 src \u003d "\u003e \u003d. .

6. Bol.

La balle peut être obtenue en tournant le cercle avec le centre (0; 0) autour de l'axe de bœuf. Le demi-cercle situé au-dessus de l'axe de bœuf est donné par l'équation

https://pandia.ru/text/77/502/Images/image034_13.gif "largeur \u003d" 13 "hauteur \u003d" 16 src \u003d "\u003e x r.

Définition 3 Le corps de rotation est le corps obtenu en faisant tourner une figure plate autour de l'axe qui ne traverse pas la figure et de la couchée dans le même plan.

L'axe de rotation peut et traverser la figure s'il s'agit de l'axe de la symétrie de la figure.

Théorème 2.
, axe
et coupes droites
et

tourne autour de l'axe
. Ensuite, le volume du corps de rotation résultant peut être calculé par la formule

(2)

Preuve. Pour un tel corps, la section transversale avec l'abscisse - Ceci est un cercle de rayon
Donc
et la formule (1) donne le résultat requis.

Si la figure est limitée aux graphiques de deux fonctions continues
et
et des coupes droites
et
en outre
et
, lors de la rotation autour de l'axe Abscisse, nous obtenons le corps, dont le volume

Exemple 3. Calculez le volume du tore obtenu par la rotation du cercle limitée par le cercle

autour de l'axe d'abscisse.

R mesure. Le fond du cercle spécifié est limité par un graphique
et d'en haut -
. La différence de carrés de ces fonctions:

Le volume souhaité

(Un graphique de l'intégrande est la partie supérieure conviviale, de sorte que l'intégration écrite ci-dessus est la zone semi-circulaire).

Exemple 4. Segment parabolique
et élevé , tourne autour de la base. Calculer le volume du corps résultant ("citron" cavalieri).

R mesure. Parabola est placé comme indiqué sur la figure. Puis son équation
, et
. Trouver la valeur du paramètre :
. Donc, le volume souhaité:

Théorème 3. Soit un trapèze curviligne, limité par un graphique d'une fonction continue non négative
, axe
et coupes droites
et
en outre
tourne autour de l'axe
. Ensuite, le volume du corps de rotation de réception peut être trouvé par la formule

(3)

L'idée de la preuve. Petite coupe
points

, partie et dépenser directement
. Le trapèze entier se décomposer sur des bandes, qui peuvent être considérées comme approximativement rectangles avec la base.
et hauteur
.

Le cylindre est obtenu lors de la rotation d'un tel rectangle, nous couperons le formage et le déroulement. Nous obtenons "presque" parallélépipède avec des dimensions:
,
et
. Son volume
. Donc, pour le volume du corps de rotation, nous aurons une égalité approximative

Pour obtenir une égalité précise, vous devez aller à la limite lorsque
. Le montant écrit ci-dessus est le montant intégral de la fonction
Par conséquent, dans la limite, nous obtenons l'intégrale de la formule (3). Le théorème est prouvé.

Note 1. En théorèmes 2 et 3 conditions
vous pouvez omettre: la formule (2) est généralement insensible au panneau
, et en formule (3) assez
remplacé par
.

Exemple 5. Segment parabolique (base
, la taille ) Taux autour de la hauteur. Trouvez le volume du corps résultant.

Décision. Placez une parabole comme indiqué sur la figure. Et bien que l'axe de rotation traverse la figure, c'est l'axe - est l'axe de symétrie. Par conséquent, il est nécessaire de considérer la moitié de la moitié du segment. Équation de parabolla
, et
Donc
. Nous avons pour volume:

Note 2. Si la limite curviligne du trapèze curvilignear est définie par des équations paramétriques
,
,
et
,
vous pouvez utiliser des formules (2) et (3) avec remplacement sur le
et
sur le
quand il change t. de
avant que .

Exemple 6. La figure est limitée aux premiers cycloïdes des arcs
,
,
et l'axe d'abscisse. Trouver le volume du corps obtenu par la rotation de cette figure autour de: 1) l'axe
; 2) Axe
.

Décision. 1) formule générale
Dans notre cas:

2) formule générale
Pour notre figure:

Nous offrons aux étudiants de réaliser de manière indépendante tous les calculs.

Note 3. Laissez le secteur curvilinéaire limité à la neurre
et rayons
,

tourne autour de l'axe polaire. Le volume du corps résultant peut être calculé par la formule.

Exemple 7. Partie de la forme cardioïde limitée
circonférence
tourne autour de l'axe polaire. Trouvez le volume du corps qu'il s'avère.

Décision. Les deux lignes, et donc la figure qu'ils limit sont symétriques par rapport à l'axe polaire. Par conséquent, il est nécessaire de considérer la partie pour laquelle
. Courbes intersect
et

pour
. En outre, la figure peut être considérée comme une différence de deux secteurs, ce qui signifie le volume à calculer comme la différence entre les deux intégrales. On a:

Tâches Pour une solution indépendante.

1. segment circulaire dont la base
, la taille , tourne autour de la base. Trouver la portée de la rotation.

2. Trouvez le volume du paraboloïde de rotation, dont la base et la hauteur est égale .

3. Figure Limited par Astrodide
,
tourne - souriant autour de l'axe Abscisse. Trouvez le volume du corps obtenu.

4. Figure Lignes limitées
et
tarifs autour de l'axe de l'abscisse. Trouver la portée de la rotation.