Méthode arithmétique. Text de texte simple (leur classification, des exemples et des solutions). Diverses approches de la classification des tâches de texte

Dans les enseignants du primaire, il faut juste savoir quels types de tâches sont. Aujourd'hui, vous en apprendrez sur de simples tâches arithmétiques textuelles. Les tâches arithmétiques de texte simples sont des tâches résolues par une action arithmétique.. Lorsque nous lisons la tâche, nous lui relâchons automatiquement avec quelque nature que ce soit, et ici, il est déjà facile de devenir facile à dépaire de l'action qu'il doit être résolu.

Je vous donnerai non seulement la classification des tâches de texte simples elles-mêmes, mais je vais donner leurs exemples, et je vous dirai également de résoudre les tâches de texte avec une méthode arithmétique. J'ai pris tous les exemples de manuels de mathématiques pour la deuxième année (partie 1, partie 2), pour laquelle ils sont formés dans les écoles de Biélorussie.

Toutes les tâches arithmétiques simples sont divisées en deux grands groupes:

- HELL I (+/-), c'est-à-dire ceux qui sont résolus par les effets arithmétiques du premier ordre (ajout ou soustraction);

- HELL II (* / :), c'est-à-dire ceux qui sont résolus par les actions arithmétiques du deuxième ordre (multiplication ou division).

Considérez le premier groupe de tâches arithmétiques de texte simples (HELL I):

1) Tâches révélant la signification spécifique d'addition (+)

Dans les compétitions, 4 filles et 5 garçons ont pris part à la course. Combien d'étudiants de la classe ont participé à des compétitions?

Après que Sasha a décidé 9 exemples, il restait à résoudre un autre exemple. Combien d'exemples nécessaires pour résoudre Sasha?

Ces tâches sont résolues en ajoutant: A + B \u003d?

2) Tâches révélant la signification spécifique de la soustraction (-)

Maman cuite à 15 tartes. Combien de tartes sont restées après 10 tartes?

Il y avait 15 verres de jus dans la banque. Pour le dîner bu 5 verres. Combien de verres de jus de jus vient?

Ces tâches sont résolues par soustraction: A-B \u003d?

3) Tâches pour la relation entre les composants et le résultat de l'ajout ou de la soustraction:

a) Pour trouver les 1er termes inconnus (? + a \u003d b)

Le garçon met dans une boîte de 4 crayons. Là, ils sont devenus 13. Combien de crayons dans la boîte initialement?

Pour résoudre ce problème, il est nécessaire de prendre le 2ème terme connu à partir du résultat de l'action: B-A \u003d?

b) trouver les 2e termes inconnus (A +? \u003d B)

13 verres d'eau coulés dans la casserole et la bouilloire. Combien de verres d'eau coulaient dans la bouilloire, si 5 verres coulaient dans la casserole?

Les tâches de ce type sont résolues par la soustraction, à partir du résultat de l'action effectue les 1ère termes connus: B-A \u003d?

c) trouver une dimension inconnue (? -a \u003d b)

Olga a rassemblé un bouquet. Elle a mis 3 couleurs dans le vase et elle avait 7 couleurs. Combien de couleurs étaient dans un bouquet?

La manière arithmétique de résoudre des objectifs de texte de ce type est faite en ajoutant le résultat de l'action et soumis: B + A \u003d?

d) trouver une soustraite inconnue (A -? \u003d B)

Acheté 2 douzaines d'œufs. Après que plusieurs œufs ont pris pour la cuisson, il est resté 15. Combien d'œufs ont pris?

Ces tâches sont résolues par la soustraction: d'une diminution de la prise du résultat de l'action: A-B \u003d?

4) Tâches pour une diminution / augmentation de plusieurs unités de forme droite et indirecte

exemples de tâches pour une diminution de plusieurs unités sous forme directe:

Dans une boîte, il y avait 20 kg de bananes et dans la seconde - 5 de moins. Combien de kilogrammes de bananes étaient dans la deuxième boîte?

La première classe a rassemblé 19 boîtes de pommes et la seconde est inférieure à 4 boîtes. Combien de boîtes pommières déchirées la deuxième classe?

Ces tâches sont résolues par soustraction (A-B \u003d?)

Des exemples de tâches pour une diminution de la forme indirecte, ainsi qu'une augmentation de une forme directe ou indirecte dans le manuel de la 2e classe en mathématiques, je n'ai pas trouvé. S'il est nécessaire d'écrire dans les commentaires - et je vais ajouter un article de mes propres exemples.

5) Tâches pour les comparaisons de différence

Le poids de l'oie est de 7 kg et le poulet - 3 kg. Combien de kilogrammes la masse de poulet est inférieure à la masse de l'oie?

Dans la première case 14 crayons, et dans la seconde - 7. Combien de crayons dans la première boîte que dans la seconde?

La résolution de tâches de texte pour les comparaisons de différence est faite en soustrayant à partir d'un plus grand nombre.

Nous avons fini de traiter avec de simples objectifs arithmétiques textuels de 1 groupes et de passer aux tâches 2 groupes. Si vous n'étiez pas clair, demandez-vous dans les commentaires.

Le deuxième groupe de tâches arithmétiques de texte simples (pression sanguine II):

1) Tâches révélant la signification spécifique de la multiplication

Combien de jambes ont deux chiens? Dans trois chiens?

Trois voitures sont debout près de la maison. Chaque machine a 4 roues. Combien de roues dans trois voitures?

Ces tâches sont résolues par multiplication: a * b \u003d?

2) Tâches révélant la signification spécifique de la division:

a) par contenu

10 gâteaux distribués aux enfants, deux chacun. Combien d'enfants ont des pâtisseries?

Dans les paquets de 2 kg, il y a 14 kg de farine. Combien de paquets de ce type?

Dans ces tâches, nous apprenons combien de parties il s'est avérée avec un contenu égal.

b) sur des parties égales

La bande de 10 cm de long a été coupée en deux parties égales. Quelle longueur chaque partie?

Nina a posé 10 cupcakes sur 2 assiettes de manière égale. Combien de cupcakes sur une assiette?

Et dans ces tâches, nous apprenons quel est le contenu d'une partie égale.

Quoi qu'il en soit, toutes ces tâches sont résolues par division: A: B \u003d?

3) Tâches pour la relation entre composant et résultat de la multiplication et de la division Action:

a) Trouver le premier facteur inconnu :? * A \u003d B

Propre exemple:

Quelques boîtes de 6 crayons. Total dans 24 boîtes au crayon. Combien de boîtes?

Décider de la division des travaux sur le célèbre deuxième facteur: B: A \u003d?

b) Trouver un deuxième multiplicateur inconnu: A *? \u003d B

Dans un café pour une table, 3 personnes peuvent être plantées. Combien de tables de ce type seront occupées si 15 personnes viennent là-bas?

Décider de la division des travaux sur le célèbre premier facteur: B: A \u003d?

c) trouver une fracture inconnue :?: a \u003d b

Propre exemple:

Kohl a introduit dans la classe de bonbons et les a partagés de manière égale entre tous les étudiants. Dans la classe de 16 enfants. Tout le monde a reçu 3 bonbons. Combien de bonbons ont apporté Kohl?

Est résolu en multipliant le privé sur le diviseur: B * A \u003d?

d) Lors de la recherche d'un diviseur inconnu: A :? \u003d B

Propre exemple:

Vitya a apporté 44 bonbons en classe et les a divisés de manière égale entre tous les étudiants. Tout le monde a reçu 2 bonbons. Combien d'étudiants en classe?

Décide divisé par privé: A: B \u003d?

4) Tâches pour augmenter / diminuer plusieurs fois de manière directe ou indirecte

Aucun exemples de telles tâches arithmétiques de texte n'a été trouvée dans le manuel 2 de la classe d'exemples de telles tâches arithmétiques de texte.

5) Tâches sur plusieurs comparaisons

Décidé en divisant davantage au plus petit.

Amis, l'ensemble de la classification ci-dessus des tâches de texte simples ne fait qu'une partie d'une classification importante de toutes les tâches de texte. En outre, il reste encore des tâches pour trouver des intérêts, ce que je ne vous ai pas dit. Vous pouvez apprendre tout cela à partir de cette vidéo:

Et ma gratitude restera avec vous!

La formation à la résolution des objectifs de texte joue un rôle important dans la formation de connaissances mathématiques. Les tâches de texte donnent un grand espace pour le développement de la pensée des étudiants. L'apprentissage à résoudre des problèmes n'est pas seulement une technique de formation pour les bonnes réponses dans certaines situations typiques, combien d'apprentissage à l'approche créative de la recherche de la solution, de l'accumulation d'expériences d'expérience et de démonstration des possibilités de mathématiques pour résoudre diverses tâches. Cependant, lors de la résolution de problèmes de texte dans 5 à 6 classes, l'équation est la plus souvent utilisée. Mais penser aux cinquième niveleuses n'est pas encore prête pour des procédures formelles réalisées dans la résolution des équations. La méthode arithmétique de résolution de problèmes présente un certain nombre d'avantages par rapport à l'algèbre, car le résultat de chaque étape des actions est visuellement et plus spécifiquement, il ne dépasse pas le cadre de l'expérience de cinq niveleuses. Les écoliers mieux et plus rapides résolvent des problèmes dans des actions qu'avec des équations. Enfant pensant spécifiquement, et il est nécessaire de le développer sur des sujets et des valeurs spécifiques, puis passez progressivement dans les images abstraites d'exploitation.

Les travaux sur la tâche prévoient une lecture attentive de la condition de texte, la compréhension de chaque mot. Je vais donner des exemples de tâches faciles et peut simplement être résolue par une manière arithmétique.

Tache 1.Pour la préparation de la confiture dans deux parties de la framboise, prenez trois parties du sucre. Combien de kilogrammes de sucre doivent être pris par 2 kg de 600 g de framboise?

Lors de la résolution d'une tâche sur les "parties", il est nécessaire d'accroître visuellement la condition du problème, c'est-à-dire Il vaut mieux compter sur le dessin.

1. 2600: 2 \u003d 1300 (g) - tombe sur une partie de la confiture;
2. 1300 * 3 \u003d 3900 (D) - Le sucre doit être pris.

Tâche 2. Sur la première étagère, il y avait 3 fois plus de livres que sur la seconde. Sur deux étagères, il y avait 120 livres ensemble. Combien de livres se trouvaient sur chaque étagère?

1) 1 + 3 \u003d 4 (parties) - représentaient tous les livres;

2) 120: 4 \u003d 30 (livres) - tombe sur une partie (livres sur la deuxième étagère);

3) 30 * 3 \u003d 90 (livres) - se tenaient sur la première étagère.

Tâche 3. Les faisans et les lapins sont assis dans la cage. Il y a 27 buts en elle et 74 jambes. Apprenez le nombre de faisans et le nombre de lapins dans la cage.

Imaginez que sur le couvercle cage dans lequel les faisans et les lapins sont assis, nous mettons des carottes. Ensuite, tous les lapins se tiendront sur les jambes arrière pour l'atteindre. Puis:

1. 27 * 2 \u003d 54 (jambes) - restera sur le sol;
2. 74-54 \u003d 20 (jambes) - sera à l'étage;
3. 20: 2 \u003d 10 (lapins);
4. 27-10 \u003d 17 (faisans).

Tâche 4.Dans notre classe, 30 étudiants. Lors d'une excursion au musée, il y avait 23 personnes et au cinéma - 21 et 5 personnes ne sont pas allées sur une visite ou des films. Combien de personnes ont fait une excursion et dans le cinéma?

Pour analyser la condition et la sélection du plan de solution, vous pouvez utiliser "Cercles Euler".

1. 30-5 \u003d 25 (homme) - est allé ou dans le cinéma, ou en tournée,
2. 25-23 \u003d 2 (personne) - Allé seulement dans les films;
3. 21-2 \u003d 19 (homme) - est allé au cinéma et en tournée.

Tâche 5.Trois canards et quatre vont peser 2 kg 500 g, et quatre canards et trois vont peser 2 kg 400g. Combien pèse-t-on un goion?

1. 2500 + 2400 \u003d 2900 (D) - peser sept canetons et sept oies;
2. 4900: 7 \u003d 700 (g) - le poids d'un canet de canard et d'une goover;
3. 700 * 3 \u003d 2100 g) - poids 3 canetons et 3 Gesyat;
4. 2500-2100 \u003d 400 g) - poids de la goeuse.

Tâche 6.Pour la maternelle, 20 pyramides ont été achetées: grandes et petites - 7 et 5 anneaux. Toutes les pyramides sont 128 anneaux. Combien d'ont beaucoup de pyramides?

Imaginez que de toutes les grosses pyramides, nous avons tiré deux anneaux. Puis:

1) 20 * 5 \u003d 100 (bagues) - il reste;

2) 128-100-28 (bagues) - nous avons retiré;

3) 28: 2 \u003d 14 (grandes pyramides).

Tâche 7.Watermon pesant 20 kg contenait 99% d'eau. Lorsqu'il est un peu oral, la teneur en eau de celui-ci a diminué à 98%. Déterminer la masse de la pastèque.

Pour plus de commodité, la solution sera accompagnée d'une illustration de rectangles.

99% d'eau	1% de matière sèche
98% d'eau	2% de matière sèche

Dans le même temps, il est souhaitable de dessiner les rectangles de la "matière sèche" égale, car la masse de "matière sèche" dans la pastèque reste inchangée.

1) 20: 100 \u003d 0,2 (kg) - la masse de "matière sèche";

2) 0,2: 2 \u003d 0,1 (kg) - représentait 1% de la melon d'eau tronquée;

3) 0,1 * 100 \u003d 10 (kg) - masse de pastèque.

Tâche 8.Les clients ont demandé: quel âge avait chacune des trois soeurs? La foi a répondu qu'elle et Nada ensemble de 2 ans, Nae et quiconque ensemble ensemble et tous les trois 38 ans. Combien d'années chacune des soeurs?

1. 38-28 \u003d 10 (années) - tout;
2. 23-10 \u003d 13 (années) - NAD;
3. 28-13 \u003d 15 (années) - Faith.

La manière arithmétique de résoudre les objectifs du texte enseigne à un enfant d'agir consciemment, de manière logique, car lors de la résolution de cette façon, une attention particulière à la question "Pourquoi" s'intensifie et il existe un grand potentiel de développement. Cela contribue au développement des étudiants, la formation de leur intérêt pour résoudre les problèmes et la science des mathématiques.

Pour faire de l'apprentissage à rencontrer, fascinant et instructif, nous devons examiner attentivement le choix des tâches de texte, considérer diverses façons de les résoudre, en choisissant optimal d'entre eux, développer une pensée logique, qui est plus approfondie lors de la résolution des tâches géométriques.

Apprendre à résoudre les tâches des écoliers sera capable, ne les résoudre que. "Si vous voulez apprendre à nager, alors entrez hardiment de l'eau, et si vous voulez apprendre à résoudre les tâches, alors décidez-leur", écrit D.Poya dans le livre "Ouverture mathématique".

1. Commentaires généraux pour résoudre les problèmes de méthode algébrique.

2. Modifiez les problèmes.

3. Tâches de travail.

4. Tâches pour des mélanges et des intérêts.

Utilisation d'une méthode algébrique de recherche d'une solution arithmétique pour résoudre des tâches de texte.

1. Lors de la résolution des problèmes avec la méthode algébrique, les valeurs souhaitées ou d'autres valeurs, sachant que vous pouvez définir que les lettres sont notées par des lettres (généralement x, y,z.). Toutes les relations indépendantes entre les données entre les données et les valeurs inconnues, qui sont soit directement formulées dans la condition (sous forme verbale), soit à l'exception de la signification du problème (par exemple, les lois physiques, qui sont soumises aux valeurs. À l'examen), ou suivez de la condition et de certains raisonner, sont enregistrés sous forme d'égalité des inégalités. En général, ces relations forment un système mixte. Dans des cas particuliers, ce système peut ne pas contenir des inégalités ou des équations ni ne peut constituer qu'une équation ou une inégalité.

La solution des tâches de la méthode algébrique n'obéit pas à un schéma unique et assez universel. Par conséquent, toute indication relative à toutes les tâches est la plus courante. Les tâches qui surviennent dans la résolution de problèmes pratiques et théoriques ont leurs propres caractéristiques individuelles. Par conséquent, leurs recherches et leurs solutions sont les plus diverses.

Laissez-nous habiter sur la résolution des problèmes, dont le modèle mathématique est donné par l'équation avec un inconnu.

Rappelez-vous que la solution de tâche consiste en quatre étapes. Travailler à la première étape (analyse du contenu du problème) ne dépend pas de la méthode de décision sélectionnée et n'a pas de différences fondamentales. À la deuxième étape (lors de la recherche d'une solution au problème et d'élaborer un plan pour sa solution), dans le cas de l'utilisation d'une méthode algébrique de solution: le choix de la relation principale pour la préparation de l'équation; Choisir un inconnu et introduire la désignation pour cela; L'expression des valeurs incluses dans la relation principale à travers inconnue et des données. La troisième étape (mise en œuvre du problème de la résolution du problème) implique la compilation de l'équation et de sa décision. La quatrième étape (la vérification du problème du problème) est effectuée la norme.

Habituellement, lors de l'élaboration d'équations avec un inconnu h.adhérer aux deux règles suivantes.

Régner JE. . Une de ces valeurs est exprimée à travers un inconnu h.et d'autres données (c'est-à-dire qu'une équation est compilée dans laquelle une partie contient une valeur donnée et l'autre est la même valeur exprimée par h.et d'autres valeurs).

Régner II. . Pour la même taille, deux expressions algébriques sont élaborées, qui sont ensuite assimilées à l'autre.

Extérieurement, il semble que la première règle soit plus facile que la seconde.

Dans le premier cas, une expression algébrique est toujours requise et dans le second - deux. Cependant, il existe souvent des tâches dans lesquelles il est plus pratique de faire deux expressions algébriques pour la même valeur que de choisir un déjà connu et de faire une expression pour cela.

Le processus de résolution des objectifs de texte par une méthode algébrique est effectuée selon l'algorithme suivant:

1. Choisissez d'abord le ratio sur la base de laquelle l'équation sera établie. Si le problème contient plus de deux ratios, la base de la préparation de l'équation doit être prise par une relation qui définit un lien entre toutes les inconnues.

Choisissez ensuite un inconnu, qui est noté par la lettre correspondante.

Toutes les valeurs inconnues incluses dans le ratio sélectionné pour compiler l'équation doivent être exprimées via l'inconnu sélectionné, en s'appuyant sur les relations restantes incluses dans la tâche.

4. À partir des trois opérations spécifiées implique directement la compilation de l'équation comme la conception de l'enregistrement verbal à l'aide de symboles mathématiques.

La place centrale parmi les opérations énumérées occupe le choix de la relation principale pour la préparation des équations. Les exemples considérés montrent que le choix de la relation principale est déterminé dans la compilation des équations, il rend la légitimement logique dans le seuil du texte verbal vague de la tâche, donne confiance à l'orientation et protège contre les actions désordonnées pour exprimer toutes les valeurs Inclus dans la tâche par les données et le souhaité.

La méthode algébrique de résolution de problèmes est d'une grande importance pratique. Avec elle, ils résolvent une grande variété de tâches du domaine de la technologie, de l'agriculture, de la vie. Déjà au lycée, les équations sont appliquées par des étudiants lors de l'étude de la physique, de la chimie, de l'astronomie. Lorsque l'arithmétique est impuissant ou, au mieux, nécessite un raisonnement extrêmement encombrant, il y a une méthode algébrique facilement et conduit rapidement à la réponse. Et même dans les tâches arithmétiques soi-disantes "typiques", relativement facilement résolues par une voie arithmétique, une solution algébrique est généralement plus courte et plus naturelle.

La méthode algébrique de résolution de problèmes permet de montrer que certaines tâches qui diffèrent uniquement par le Fabulus n'ont pas seulement les mêmes relations entre les données et les valeurs souhaitées, mais entraînent également un raisonnement typique par lequel ces relations sont établies. Ces problèmes ne donnent que diverses interprétations spécifiques du même raisonnement mathématique, les mêmes relations, c'est-à-dire qu'ils ont le même modèle mathématique.

2. Le problème des tâches de mouvement inclut les tâches dans lesquelles trois valeurs sont renvoyées: (s.), vitesses ( v.) et le temps ( t.). En règle générale, nous parlons d'un mouvement rectiligne uniforme, lorsque la vitesse est constante par module et par direction. Dans ce cas, les trois valeurs sont liées au ratio suivant: S. = vermont.. Par exemple, si une vitesse cycliste est de 12 km / h, puis en 1,5 heure. Il conduira 12 km / h  1,5 h \u003d 18 km. Il existe des tâches dans lesquelles un mouvement de ligne droite de l'équilibre est considéré, c'est-à-dire un mouvement d'accélération constant (mais).Distance parcourue s. dans ce cas, calculé par la formule: S. = v. 0 t. + À. 2 /2, où v. 0 – Vitesse de départ. Ainsi, pour 10 de la chute à la vitesse initiale de 5 m / s et l'accélération de la chute libre de 9,8 m 2 / avec le corps, la distance égale à 5 m / s à 10 ° C + 9,8 m 2 / s  10 2 С 2/2 \u003d 50 m + 490 m \u003d 540 m.

Comme il a déjà été noté, lors de la résolution des tâches textuelles et, tout d'abord, dans les tâches associées au mouvement, il est très utile de créer un dessin illustratif (construire un modèle graphique de support de la tâche). Le dessin doit être effectué de manière à ce que la dynamique du mouvement avec toutes les réunions, ces arrêts et toutes les tours est visible. Un dessin de dessin compétent permet non seulement de profiter du contenu du problème, mais également de faciliter la compilation des équations et des inégalités. Des exemples de ces dessins seront présentés ci-dessous.

Typiquement, les accords suivants sont pris dans les tâches de mouvement.

S'il n'est pas spécifiquement stipulé dans la tâche, le mouvement dans des zones distinctes est considéré comme uniforme (que ce soit un mouvement direct ou autour de la circonférence).

Les virages de corps en mouvement sont considérés comme instantanés, c'est-à-dire sans temps; La vitesse change également instantanément.

Ce groupe de tâches, à son tour, peut être divisé en tâches dans lesquelles les mouvements de TEL: 1) se rencontrent; 2) dans une direction ("après"); 3) dans des directions opposées; 4) sur une trajectoire fermée; 5) par le flux de la rivière.

Si la distance entre les corps est S., et les vitesses des corps sont égales v. 1 et v. 2 (Fig. 16 mais), puis, lors de la transformation des corps vers l'autre, à travers lequel ils se rencontreront, égaux S./(v. 1 + v. 2).

2. Si la distance entre les corps est égale S., et les vitesses des corps sont égales v. 1 I. v. 2 (Fig. 16 b.), puis, lorsque vous déplacez des corps dans une direction ( v. 1 > v. 2) le temps à travers lequel le premier corps va rattraper le second, égal à S./(v. 1 – v. 2).

3. Si la distance entre les corps est S., et les vitesses des corps sont égales v. 1 I. v. 2 (Fig. 16 dans), ensuite, allez au même moment dans des directions opposées, les corps seront à travers le temps t. être à distance S. 1 = S. + (v. 1 + v. 2 ) t..

Figure. seize

4. Si les corps se déplacent dans une direction sur une longueur de trajectoire fermée s. avec des vitesses v. 1 I. v. 2, le temps à travers lequel les corps se réuniront à nouveau (un corps rattrapera l'autre), allant en même temps d'un point, est sur la formule t. = S./(v. 1 – v. 2) à condition que v. 1 > v. 2 .

Cela découle du fait qu'avec un démarrage simultané sur une trajectoire fermée dans une direction du corps dont la vitesse est supérieure, commence à rattraper le corps dont la vitesse est inférieure. Pour la première fois, il y a pris avec lui en passant la distance à S. plus qu'un autre corps. S'il le dépasse dans la seconde, pour la troisième fois, etc., cela signifie qu'il passe la distance à 2 S., 3. S. et ainsi sur plus d'un autre corps.

Si les corps se déplacent dans des directions différentes sur une longueur de trajectoire fermée S. avec des vitesses v. 1 I. v. 2, le temps à travers lequel ils se rencontreront, allant en même temps d'un point, est sur la formule t. = v.(v. 1 + v. 2). Dans ce cas, immédiatement après le début du mouvement, la situation se pose lorsque les corps commencent à se déplacer vers eux.

5. Si le corps se déplace le long du flux de la rivière, sa vitesse relative au rivage etconforme à la vitesse du corps dans l'eau debout v. et débit de la rivière w.: et \u003d.v. + w.. Si le corps se déplace contre le flux de la rivière, alors sa vitesse et \u003d.v. – w.. Par exemple, si la vitesse du bateau v. \u003d 12 km / h, et le débit de la rivière w. \u003d 3 km / h, puis pendant 3 heures. De la rivière, le bateau sauve (12 km / h + 3 km / h)  3 h. \u003d 45 km, et contre courant - (12 km / h - 3 km / h)  3 h. \u003d 27 km. On pense que la vitesse d'objets ayant une vitesse de mouvement zéro en eau debout (radeau, journal, etc.) est égale au débit de la rivière.

Considérons plusieurs exemples.

ExempleEst un point dans une direction toutes les 20 minutes. Les voitures partent. La deuxième voiture conduit à une vitesse de 60 km / h et la vitesse des 50% des premiers% est supérieure à la vitesse de la seconde. Trouvez la vitesse de la troisième voiture, si on sait qu'il a dépassé la première voiture 5,5 heures plus tard que la seconde.

Décision. Soit x km / h être la vitesse de la troisième voiture. La vitesse de la première voiture est de 50% plus longue que la vitesse de la seconde, cela signifie qu'il est égal

Lorsque vous conduisez dans une direction, le temps de réunion est comme le rapport entre les objets à la différence de leurs vitesses. La première voiture est de 40 minutes. (2/3 h) Éruption 90  (2/3) \u003d 60 km. Par conséquent, le troisième va l'attraper (ils se rencontreront) après 60 / ( h. - 90) heures. La seconde en 20 minutes. (1/3 H) Éruption 60  (1/3) \u003d 20 km. Donc, le troisième va l'attraper (ils se rencontreront) après 20 / ( h. - 60) h. (Fig. 17).

P
sur la condition de la tâche

Figure. 17

Après de simples transformations, nous obtenons une équation carrée 11x 2 - 1730x + 63000 \u003d 0, résolution que nous trouvons

Vérifiez que la deuxième racine ne satisfasse pas à la condition de la tâche, car dans ce cas, la troisième voiture ne rattrapera pas d'autres voitures. Réponse: La vitesse de la troisième voiture est de 100 km / h.

ExempleTraitement passé par la rivière 96 km, retourné et passé un peu de temps à charger, dépenser les 32 heures. Le débit de la rivière est de 2 km / h. Déterminez la vitesse du navire en eau debout si le temps de chargement est de 37,5% du temps passé sur tout le chemin et le dos.

Décision. Soit x km / h être la vitesse du navire en eau debout. Puis ( h.+ 2) km / h - sa vitesse par flux; (X -2) km / h - contre le flux; 96 / ( h. + 2) h. - Heure du mouvement par circulation; 96 / ( h. - 2) h. - Heure du mouvement contre le flux. Depuis 37,5% de la durée totale du temps, le navire était sous chargement, puis une période de mouvement propre est de 62,5%  32/100% \u003d 20 (h.). Par conséquent, sous l'état du problème, nous avons une équation:

Convertit, nous obtenons: 24 ( h. – 2 + h. + 2) = 5(h. + 2)(h. – 2) => 5h. 2 – 4h. - 20 \u003d 0. Décider de l'équation carrée, nous trouvons: h. 1 = 10; h. 2 \u003d -0.4. La deuxième racine ne satisfasse pas à la condition du problème.

Réponse: 10 km / h - la vitesse du mouvement du navire dans l'eau debout.

Exemple. La voiture a conduit la voie de la ville MAISdans la ville avec à travers la ville DANSsans arrêts. Distance UN Bégal à 120 km, il a conduit à une vitesse constante de 1 h. Plus rapide que la distance Soleil,égal à 90 km. Déterminer la vitesse moyenne du véhicule de la ville MAISà la ville avec, s'il est connu que la vitesse est sur la parcelle Autant30 km / h plus de vitesse sur la parcelle Soleil.

Décision. Laisser être h. KM / H - Vitesse de voiture sur la parcelle Soleil.

Puis ( h. + 30) km / h - vitesse sur le terrain UN B120/(h. + 30) H, 90 / h. H-Heure, une voiture de knoquine conduit le chemin Autant et Soleil.respectivement.

Par conséquent, sous l'état du problème, nous avons une équation:

.

Nous le transformons:

120h.+ 1(h. + 30)h. = 90(h. + 30) => h. 2 + 60h. – 2700 = 0.

Décider de l'équation carrée, nous trouvons: h. 1 = 30, h. 2 \u003d -90. La deuxième racine ne satisfasse pas à la condition du problème. Cela signifie une vitesse sur la parcelle Soleil.égal à 30 km / h, sur la parcelle UN B 60 km / h. Il suit cette distance Autantla voiture a conduit 2 heures (120 km: 60 km / h \u003d 2 h.) Et la distance Soleil - Pendant 3 heures (90 km: 30 km / h \u003d 3 h.), Donc toutes la distance Cail a conduit en 5 heures (3 heures. + 2 h. \u003d 5 h.). Puis la vitesse moyenne de mouvement sur la parcelle Cala longueur est de 210 km, est de 210 km: 5 h. \u003d 42 km / h.

Réponse: 42 km / h - Vitesse moyenne du véhicule sur le site Au.

Le groupe de travail comprend des tâches dans lesquelles trois quantités font référence à: Travail MAIS, temps t.pendant lequel le travail est effectué, la performance R -travail produit par unité de temps. Ces trois valeurs sont associées à l'équation MAIS = Rt.. Les tâches sont liées aux tâches associées au remplissage et à la vidange des réservoirs (navires, réservoirs, pools, etc.) avec des tuyaux, des pompes et d'autres périphériques. En tant que travail effectué dans ce cas, le volume de l'eau de pompage est considéré.

Les tâches du travail, d'une manière générale, peuvent être attribuées au groupe de tâches en mouvement, car dans les tâches de ce type, nous pouvons supposer que tout le travail ou le plein volume du réservoir joue le rôle de la distance et de la performance. des installations de travail similaires à la vitesse du mouvement. Cependant, par Fable, ces tâches diffèrent de manière naturelle, et une partie des tâches à travailler a ses propres décisions spécifiques de la solution. Donc, dans ces tâches dans lesquelles la quantité de travaux effectuée n'est pas spécifiée, tous les travaux sont pris par unité.

Exemple.Deux brigades ont dû remplir la commande pendant 12 jours. Après 8 jours de collaboration, la première brigade a reçu une autre tâche. La deuxième brigade a donc terminé la commande pendant 7 jours supplémentaires. Combien de jours que chacune des brigades pourrait-elle être remplie, fonctionnant séparément?

Décision. Laissez la première brigade effectue la tâche pour h.jours, deuxième brigade - pour y. journées. Nous allons prendre tout le travail par unité. Puis 1 / x - Performance de la première brigade, un 1 / y. – deuxième. Puisque deux brigades doivent remplir la commande pendant 12 jours, nous obtenons la première équation 12 (1 / h. + 1/w.) = 1.

De la deuxième condition, il s'ensuit que la deuxième brigade a fonctionné 15 jours et le premier n'est que de 8 jours. Cela signifie que la deuxième équation a la forme:

8/h.+ 15/w.= 1.

Ainsi, nous avons un système:

Le premier sera soustrait de la deuxième équation, nous obtenons:

21/y. = 1 \u003d\u003e y \u003d21.

Puis 12 / h. + 12/21 = 1 => 12/ H. – = 3/7 => x \u003d28.

Réponse: Pour 28 jours, je vais exécuter la première commande de la brigade, pendant 21 jours - la seconde.

Exemple. Travail MAIS et des travailleurs DANS peut effectuer des travaux pendant 12 jours, travailler MAISet des travailleurs DE - pendant 9 jours, travailleur DANSet travaille C - pendant 12 jours. Pour combien de jours ils travaillent, travaillant dans le trio?

Décision. Laisser le travailleur MAISpeut effectuer un travail pour h.jours, ouvrier DANS - w.jours, ouvrier DE - z. journées. Nous allons prendre tout le travail par unité. Puis 1 / x, 1 /y. et 1 / z. – Travailleurs de la performance UN B.et DE respectivement. En utilisant la condition du problème, nous arrivons au prochain système des équations présentées dans le tableau.

Tableau 1

Conversion des équations, nous avons un système de trois équations avec trois inconnues:

Après avoir plié l'équation du système, nous obtenons:

ou alors

Le montant est la performance commune des travailleurs, donc le temps pour lequel ils effectueront tout le travail sera égal

Réponse: 7.2 jours.

Exemple. Deux tuyaux ont été maintenus dans la piscine - l'alimentation et la décharge, et à travers le premier tuyau, la piscine est remplie 2 heures de plus que la seconde eau de la piscine est versée. Lorsqu'il est rempli d'un tiers, les deux tuyaux ont été ouverts et la piscine s'est avérée être vide après 8 heures. Pour combien d'heures à travers un premier tuyau peut être remplie d'une piscine et pendant combien d'heures à travers un deuxième tuyau peut être une baignade complète la piscine peut être saoulée?

Décision. Laisser être V. m 3 - le volume de la piscine, h.m 3 / h - Productivité du tuyau d'alimentation, w.m 3 / h - Décharge. Puis V./ x. h. - Le temps requis par le tuyau d'alimentation pour remplir la piscine, V./ y. h. - Le temps requis par le tuyau de décharge pour le drainage de la piscine. Sous la condition de la tâche V./ x. – V./ y. = 2.

Étant donné que la performance du tuyau de décharge est plus de productivité du remplissage, alors lorsque les deux tuyaux sont allumés, le bassin se produira et un tiers de la piscine se séchera pendant le temps. (V./3)/(y. – x.), qui, par la condition du problème, est de 8 heures. Ainsi, la condition de la tâche peut être enregistrée comme système de deux équations avec trois inconnues:

Dans la tâche, vous devez trouver V./ x. et V./ y.. Mettre en évidence dans les équations une combinaison d'inconnue V./ x. et V./ y., récupérer le système:

Introduire de nouvelles inconnues V./ x. \u003d A.et V./ y. = b., nous obtenons le système suivant:

Substituant dans la deuxième équation mais= b. + 2, avoir une équation concernant b.:

résolution que nous trouvons b. 1 = 6, b. 2 = -huit. La condition de travail satisfait la première racine 6, \u003d 6 (h.). De la première équation du dernier système que nous trouvons mais\u003d 8 (h), c'est-à-dire que le premier tuyau remplit la piscine pendant 8 heures.

Réponse: à travers le premier tuyau, la piscine sera remplie après 8 heures, à travers le deuxième tuyau, la piscine sèche après 6 heures.

Exemple. Une brigade de tracteur doit labourer 240 hectares, et une autre est de 35% de plus que la première. La première brigade, labourer quotidiennement de 3 hectares de moins de la seconde, terminée pendant 2 jours plus tôt que la deuxième brigade. Combien d'hectares ont labouré chaque brigade tous les jours?

Décision. Nous trouvons 35% de 240 hectares: 240 hectares  35% / 100% \u003d 84 hectares.

Par conséquent, la deuxième brigade a dû labourer 240 hectares + 84 hectares \u003d 324 hectares. Laissez la première brigade labourée quotidiennement h.ha. Puis la deuxième brigade a labouré quotidiennement ( h. + 3) ha; 240 / h. - le temps de travail de la première brigade; 324 / ( h. + 3) - l'heure du fonctionnement de la deuxième brigade. Par la condition de la tâche, la première brigade a fini de travailler 2 jours plus tôt que la seconde, nous avons donc une équation

qui après les transformations peuvent être écrites comme suit:

324h. – 240x -720 \u003d 2x 2 + 6x\u003d\u003e 2x 2 - 78x + 720 \u003d 0 \u003d\u003e x 2 - 39x + 360 \u003d 0.

Décider de l'équation carrée, nous trouvons x 1 \u003d 24, x 2 \u003d 15. C'est la norme de la première brigade.

Par conséquent, la deuxième brigade a labouré au jour 27 hectares et 18 hectares, respectivement. Les deux solutions satisfont à la condition de la tâche.

Réponse: 24 hectares par jour a labouré la première brigade, 27 hectares - la seconde; 15 hectares par jour labouré la première brigade, 18 hectares - la seconde.

Exemple. En mai, deux ateliers ont produit 1080 détails. En juin, le premier atelier a augmenté de 15% la production de détails et la deuxième augmentation de la production de pièces de 12%, de sorte que les deux ateliers ont effectué 1224 parties. Combien de pièces ont fait tous les ateliers en juin?

Décision. Laisser être h. Détails fabriqués en mai le premier atelier, w.détails - Deuxième. Depuis 1080 parties réalisées en mai, puis par la condition de la tâche que nous avons une équation x. + y. = 1080.

Nous trouvons 15% de h.:

Donc, 0.15 h. Détails Augmentation de la production de produits Le premier magasin, donc, en juin, il a publié x +.0,15 h. = 1,15 x. des détails. De même, nous constatons que le deuxième atelier de juin a fait 1,12 y. des détails. Donc, la deuxième équation regardera: 1.15 x. + 1,12 w. \u003d 1224. Ainsi, nous avons un système:

À partir de laquelle nous trouvons x \u003d480, y \u003d.600. Par conséquent, en juin, 552 parties et 672 parties ont été faites, respectivement.

Réponse: Le premier atelier a effectué 552 détails, la seconde - 672 parties.

4. Un groupe de tâches sur le mélange et l'intérêt concernent les tâches dans lesquelles il s'agit de mélanger diverses substances dans certaines proportions, ainsi que des tâches d'intérêt.

Tâches de concentration et de pourcentage

Nous clarifions certains concepts. Laisser y avoir un mélange de pdiverses substances (composants) MAIS 1 MAIS 2 , ..., MAIS n. en conséquence, les volumes dont sont égaux V. 1 , V. 2 , ..., V. n. . Volume de mélange V. 0 il se compose de composants purs: V. 0 = V. 1 + V. 2 + ... + V. n. .

Concentration en vracsubstances MAIS jE. (jE. = 1, 2, ..., p)dans le mélange s'appelle la valeur avec jE. calculé par la formule:

Pourcentage de volume de substance A jE. (jE. = 1, 2, ..., p)dans le mélange s'appelle la magnitude p. jE. , Calculé par formule r jE. = de jE. ,  100%. Concentration de 1, de 2 , ..., de n. qui sont des valeurs sans dimension sont associées à l'égalité. de 1 + S. 2 + ... + avec n. \u003d 1, et ratios

montrez quelle partie du volume total du mélange est le volume de composants individuels.

Si un pourcentage est connu jE.-Potre composante, sa concentration est située par la formule:

c'est à dire PI – c'est une concentration jE.-Ho Substances dans un mélange exprimé en pourcentage. Par exemple, si le pourcentage de la substance est de 70%, sa concentration correspondante est de 0,7. Inversement, si la concentration est égale à 0,33, le pourcentage est de 33%. Ainsi, la quantité r 1 + R. 2 + ... + p n. \u003d 100%. Si la concentration est connue de 1 , de 2 , ..., de n. composants qui composent ce mélange de volume V. 0 , ensuite, les composants de volume correspondants sont dans les formules:

Les concepts sont similaires de la même manière. poids (masse) concentrescomposants du mélange et les pourcentages correspondants. Ils sont définis comme le rapport de poids (masse) de substance pure MAIS jE. , en alliage au poids (masse) de l'alliage entier. Quelle concentration, volume ou poids, est en question dans une tâche spécifique, il est toujours clair de son état.

Il existe des tâches dans lesquelles il doit recalculer la concentration en volume sur le poids ou vice versa. Pour ce faire, il est nécessaire de connaître la densité (poids spécifique) des composants constituant la solution ou l'alliage. Considérez par exemple un mélange à deux composants avec des concentrations de volume de composants de 1 et de 2 (de 1 + S. 2 = 1) et des échelles spécifiques de composants rÉ. 1 et rÉ. 2 . La masse du mélange peut être trouvée par la formule:

où V. 1 et V. 2 – Les composants de volume du mélange de composants. Les concentrations de poids des composants proviennent des égalités:

qui déterminent la connexion de ces valeurs avec des concentrations de volume.

En règle générale, dans les textes de ces tâches, la même condition répétée est trouvée: à partir de deux ou plusieurs mélanges contenant des composants UNE. 1 , UNE. 2 , MAIS 3 , ..., MAIS n. , un nouveau mélange est établi en mélangeant les mélanges initiaux prises dans une certaine proportion. Dans le même temps, il est nécessaire de trouver dans quels composants MAIS 1, MAIS 2 , MAIS 3 , ..., MAIS n. entrez le mélange résultant. Pour résoudre ce problème, il est pratique d'introduire un volume ou un numéro de poids de chaque mélange, ainsi que la concentration de composants de composants. MAIS 1, MAIS 2 , MAIS 3 , ..., MAIS n. . Avec l'aide de concentrations, il est nécessaire de "diviser" chaque mélange en composants individuels, puis le procédé spécifié dans la méthode de condition pour créer un nouveau mélange. Il est facile de calculer la quantité de chaque composant entre dans le mélange résultant, ainsi que la quantité totale de ce mélange. Après cela, les concentrations de composants sont déterminées. MAIS 1, MAIS 2 , MAIS 3 , ..., MAIS n. dans un nouveau mélange.

Exemple. Il y a deux morceaux d'alliage de cuivre et de zinc avec pourcentage de cuivre 80% et 30%, respectivement. Quel est le problème de ces alliages, rappelez-vous les morceaux pris ensemble, obtenez un alliage contenant 60% de cuivre?

Décision. Laissez le premier alliage pris h. kg, et la seconde - w.kg. Sous la condition, la concentration de cuivre dans le premier alliage est de 80/100 \u003d 0,8, au second-30/100 \u003d 0,3 (il est clair que nous parlons de concentrations de poids), cela signifie que dans le premier alliage 0,8 h. CG Cuivre et (1 - 0,8) h. = 0,2h. kg zinc, dans la seconde - 0.3 w.cG Cuivre et (1 - 0.3) y. = 0,7w. kg zinc. La quantité de cuivre dans l'alliage résultant est égale à (0,8  h. + 0,3  y)kg, et la masse de cet alliage sera (x + y)kg. Par conséquent, la nouvelle concentration de cuivre dans l'alliage, selon la définition, est égale à

Sous le problème du problème, cette concentration devrait être de 0,6. Par conséquent, nous obtenons l'équation:

Cette équation contient deux inconnus h.et toiCependant, par la condition de la tâche, il est nécessaire de déterminer les valeurs elles-mêmes h.et y,mais seulement leur attitude. Après des transformations faciles, nous obtenons

Réponse: Les alliages doivent être pris à l'égard de 3: 2.

Exemple. Il y a deux solutions d'acide sulfurique dans l'eau: la première est de 40%, la seconde est de 60%. Ces deux solutions ont été mélangées, après quoi 5 kg d'eau pure ont été ajoutées et une solution de 20% a été obtenue. Si au lieu de 5 kg d'eau pure, 5 kg de solution de 80% ont été ajoutés, puis une solution à 70% serait obtenue. Combien de solutions de 40% et 60% étaient?

Décision. Laisser être h.kg - la masse de la première solution, w.kg - deuxième. Puis la masse d'une solution de 20% ( h. + w.+ 5) kg. Comme b. h.la solution KG 40% contient 0,4 h. kg acide, dans w.kg 60% de solution contient 0,6 y. kg acide, et dans (x + y +5) kg d'une solution de 20% contient 0,2 ( h. + en +.5) kg d'acide, puis sous la condition que nous avons la première équation 0.4 h. + 0,6y. = 0,2(h. + U +.5).

Si au lieu de 5 kg d'eau, ajoutez 5 kg de solution à 80%, la solution sera résolue. (x + u+ 5) kg dans lequel il y aura (0,4 h. + 0,6w. + 0,8  5) kg d'acide, qui sera 70% de (x + u+ 5) kg.

Analyser les données de la tâche, observant que, en commun dans les tâches du point de vue des mathématiques, quelle est la différence, trouver une manière extraordinaire de résoudre des problèmes, créer une tirelire de la résolution des tâches, apprendre à résoudre un problème dans Diverses manières. Taxes des tâches regroupées par un sujet unique "Problèmes de résolution des méthodes arithmétiques", tâches de travail dans un groupe et pour un travail individuel.

"Tâches pour la technique du simulateur"

Simulateur: "Manières arithmétiques de résoudre des problèmes"

"Comparaison des chiffres en somme et différence."

Dans deux paniers 80 Borovikov. Dans le premier panier sur 10 Boroviks moins que dans la seconde. Combien de Boroviki dans chaque panier?

Le studio de couture a reçu 480 m denim et drapé. Le tissu en jean était de 140 m de plus que Drapa. Combien de mètres de denim entra-t-il dans le studio?

Le modèle de télévision se compose de deux blocs. L'unité inférieure est de 130 cm plus courte que la sommet. Quelle est la hauteur des blocs supérieurs et inférieurs, si la hauteur de la tour est de 4 m 70 cm?

Deux boîtes de 16 kg de biscuits. Trouvez beaucoup de cookies dans chaque case si dans l'un d'entre eux biscuits pour 4 kg de plus.

La tâche de "arithmétique" L. N. Tolstoy.

a) Deux hommes ont 35 moutons. Un pour 9 moutons est supérieur à celui d'un autre. Combien de moutons ont tout le monde?

b) Deux hommes ont 40 moutons et l'un est moins contre un autre mouton. Combien de moutons ont tous les hommes?

Il y avait 23 voitures de tourisme et motos avec une voiture dans le garage. Machine et motos 87 roues. Combien de garages de moto, si une roue de secours mettait une roue de secours dans chaque chariot?

"Cercles d'Euler."

Il y a 120 résidents à la maison, certains d'entre eux ont des chiens et des chats. Dans le cercle de l'image DE photos locataires avec des chiens, cercle À – résidents avec des chats. Combien de locataires ont des chiens et des chats? Combien de locataires n'ont que des chiens? Combien de locataires ont seulement des chats? Combien de locataires n'ont pas de chiens ou de chats?

Sur les 52 écoliers 23 s'engagent dans le volleyball et 35 basketball et 16 - et le volleyball et le basketball. Le reste ne s'engageez pas dans aucun de ces sports. Combien d'écoliers ne traitent pas de ces sports?

Dans le cercle de l'image MAIS représente tous les employés de l'université qui connaissent l'anglais, le cercle N. - Hautionnement allemand et cercle F. - Français. Combien de personnes universitaires connaissent: a) 3 langues; b) anglais et allemand; c) français? Combien de personnel universitaire? Combien d'entre eux ne parlent pas français?

120 personnes ont participé à la conférence internationale. Parmi ceux-ci, 60 appartiennent à la langue russe, 48 - anglais, 32 - allemand, 21 - russe et allemand, 19 - anglais et allemand, 15 - russe et anglais, et 10 personnes possédaient les trois langues. Combien de participants à la conférence ne possèdent aucune de ces langues?

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Chaque famille vivant dans notre maison décharge ou journal, ou magazine, ou les deux. 75 familles déchargent le journal et 27 familles déchargent le magazine et seulement 13 familles déchargent le magazine et le journal. Combien de familles vivent dans notre maison?

"Méthode de péréquation de données".

En 3 petits et 4 grands bouquets de 29 fleurs, et en 5 petits et 4 grands bouquets de 35 fleurs. Combien de fleurs dans chaque bouquet séparément?

La masse de 2 carreaux de chocolat est grande et petite - 120 g et 3 grandes et 2 petites - 320 Quelle est la masse de chaque carreau?

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Quatre canettes et cinq geussy pèsent 4 kg 100g, cinq canetons et quatre vont peser 4 kg. Combien pèse un canard?

Pour un cheval et deux vaches produisent 34 kg de foin quotidiennement, et pour deux chevaux et une vache - 35 kg de foin. Combien de foin donner un cheval et combien une vache?

3 cubes rouges et 6 cubes bleus sont debout 165tg Frotter. Et cinq rouge coûte plus cher que deux bleu à 95 tg. Combien coûte chaque cube?

2 albums pour dessin et 3 albums pour timbres valent 160 roubles ensemble et 3 albums de dessin sont de 45 roubles. Plus cher deux albums pour les marques.

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Quelqu'un a trois variétés thé - Ceylan 5 hryvnia par livre, indien 8 hryvnia pour la livre et les chinois 12 hryvnia par livre. Dans quelles fractions vous devez mélanger ces trois variétés pour obtenir du thé d'une valeur de 6 hryvnia par livre?

Quelqu'un a des échantillons d'argent: un échantillon un - 12 - OH, un autre - 10 échantillons, le troisième - 6 - Ô échantillon. Combien d'argent doit être pris pour obtenir 1 livre d'échantillon d'argent 9 - OH?

Le commerçant a acheté 138 arshin de noir et bleu sukna pour 540 roubles. Il est demandé combien d'Arshin l'a acheté à la fois, s'il y avait un bleu de 5 roubles. Pour Arshin et Black - 3 roubles.?

Différentes tâches.

Pour les cadeaux du Nouvel An, il y avait 87 kg de fruits et les pommes étaient de 17 kg de plus que les oranges. Combien de pommes et combien d'oranges achetées?

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Masha a reçu 2 fois moins que les félicitations du Nouvel An que Kohl. Combien de félicitations à tout le monde, si tous étaient 27? (9 et 18 ans).

Pour les prix du nouvel an, 28 kg de bonbons ont été achetés. Candy "hirondelle" s'élevait à 2 parties, "Muse" - 3 parties, "camomille" - 2 parties. Combien de bonbons de chaque année acheté? (8, 8, 12).

L'entrepôt a 2004 kg de farine. Est-il possible de le décomposer dans des sacs pesant 9 kg et pesant 18 kg?

Dans le magasin "tout pour le thé", il y a 5 tasses différentes et 3 soucoupes différentes. Combien de façons puis-je acheter une tasse avec une soucoupe?

Le cheval mange une pile de foin pendant 2 jours, vache - pour 3, moutons - pour 6. Pour combien de jours ils vont manger une pile s'il y en a ensemble?

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"Leçon abstraite arif sp"

"Manières arithmétiques de résoudre des tâches de texte".

Une personne qui étudie les mathématiques est souvent plus utile pour résoudre la même tâche de trois manières différentes que de résoudre trois - quatre tâches différentes. Résoudre une tâche de différentes manières, il est possible en comparaison de savoir lequel est plus court et plus efficace. Donc, l'expérience est produite.

U.u.soyer

Le but de la leçon: Utiliser les connaissances obtenues dans des cours précédentes, montrer la fantaisie, l'intuition, l'imagination, Mixtalk pour résoudre des problèmes de test de différentes manières.

Tâches Leçon: pédagogique: Analyse de ces tâches, observant que, en commun dans les tâches en termes de mathématiques, quelle est la différence, trouver un moyen extraordinaire de résoudre des problèmes, créer un tireur de solutions de tâches, apprendre à résoudre un problème de différentes manières.

Développement: Ressentir la nécessité d'une réalisation de soi, d'être dans une certaine situation de rôle.

Éducatif:développer des qualités personnelles, former une culture de communication.

Moyens d'éducation: Simulateur des tâches regroupées par un thème unique «Manières arithmétiques de résoudre des problèmes», tâches de travail dans un groupe et pour un travail individuel.

Pendant les classes.

I. Moment organisationnel

Bonjour gars. S'asseoir. Aujourd'hui, nous avons une leçon sur le sujet "méthodes arithmétiques pour résoudre les tâches textuelles".

II. Actualisation des connaissances.

Les mathématiques sont l'une des sciences anciennes et importantes. De nombreuses connaissances mathématiques utilisées dans les temps antiques - il y a des milliers d'années. Ils avaient besoin de marchands et de constructeurs, de soldats et d'agriculteurs, de prêtres et de voyageurs.

Et aujourd'hui, aucune personne ne peut faire dans la vie sans bonne connaissance des mathématiques. La capacité de compréhension de la mathématique est la capacité de compter, de penser, de la raison, de trouver des solutions réussies aux tâches.

Aujourd'hui, nous considérons les moyens arithmétiques de résoudre des objectifs de texte, nous analyserons les tâches de l'ancien, qui se sont déroulées de différents pays et heures, tâches sur la péréquation, sur la comparaison du montant et de la différence et des autres.

Le but de la leçon est de vous impliquer dans le monde incroyable de la beauté, de la richesse et de la diversité - le monde des tâches intéressantes. Et cela signifie introduire certaines méthodes arithmétiques, conduisant à des solutions très élégantes et instructives.

La tâche est presque toujours la recherche, la divulgation de certaines propriétés et relations, et les moyens de résoudre ce problème est l'intuition et la supposition, l'érudition et la possession de méthodes de mathématiques.

Comme les méthodes principales en mathématiques, arithmétiques et algébriques de résolution de problèmes sont distinguées.

Résolvez la méthode arithmétique de la tâche - cela signifie trouver une réponse à la nécessité du problème en effectuant une action arithmétique sur les nombres.

Avec une méthode algébrique, la réponse à la question du problème est à la suite de la compilation et de la résolution de l'équation.

Il n'est pas secret qu'une personne qui possède divers outils et qui les applique en fonction de la nature du travail effectué, obtient des résultats significativement meilleurs qu'une personne qui possède un seul outil universel.

Il existe de nombreuses méthodes arithmétiques et techniques non standard pour résoudre les problèmes. Avec certains d'entre eux, je veux vous présenter aujourd'hui.

1. Méthode de résolution des tâches textuelles "Comparaison des nombres en somme et différence".

Une tâche : Grand-mère à la chute de la zone de campagne a collecté 51 kg de carottes et de chou. Le chou était de 15 kg de plus que des carottes. Combien de kilogrammes de carottes et combien de kilogrammes de chou a rassemblé sa grand-mère?

Questions correspondant aux éléments de l'algorithme de résolution des tâches de cette classe.

1. Découvrez quelles valeurs sont en question

Sur le nombre de carottes et de chou, qui a rassemblé grand-mère, ensemble et séparément.

2. Spécifiez, quelles valeurs doivent être trouvées dans la tâche.

Combien de kilogrammes de carottes et combien de kilogrammes de chou a rassemblé sa grand-mère?

3. Appelez la relation entre les valeurs dans la tâche.

La tâche fait référence au montant et à la différence de quantités.

4. Nommez le montant et la différence de valeurs de valeurs.

Le montant est de 51 kg, la différence est de 15 kg.

5. En égalisant les magnitudes pour trouver une double valeur d'une valeur inférieure (de la quantité de valeurs pour éliminer la différence de quantités).

51 - 15 \u003d 36 (kg) - deux fois le nombre de carottes.

6. Connaître doublé, trouver une plus petite valeur (doublé pour se diviser en deux).

36: 2 \u003d 18 (kg) - carottes.

7. Utilisation de la différence entre les valeurs et la valeur d'une valeur plus faible, trouvez la valeur d'une valeur supérieure.

18 + 15 \u003d 33 (kg) - chou. Réponse: 18 kg, 33 kg. Une tâche.Il y a des faisans et des lapins dans la cage. Total 6 buts et 20 jambes. Combien de lapins et combien de faucons dans la cage ?
Méthode 1. Méthode de sélection:
2 faisan, 4 lapins.
Vérifier: 2 + 4 \u003d 6 (têtes); 4 4 + 2 2 \u003d 20 (jambes).
Ceci est la méthode de sélection (du mot "ramasser"). Les avantages et les inconvénients de cette méthode de solution (il est difficile de sélectionner, si les chiffres sont grands) de cette manière, une incitation semble rechercher des solutions plus pratiques.
Résultats de la discussion: La méthode de sélection est pratique lorsque des actions avec de petits nombres, avec une augmentation des valeurs qu'il devient irrationnelle et prend du temps.
Méthode 2. Buste complet des options.

Table de compilée:

Réponse: 4 lapins, 2 faisan.
Le nom de cette méthode est "complet". Résultats de la discussion: La méthode d'exonération complète est pratique, mais en grande quantité suffisamment de temps.
Méthode 3. Méthode d'hypothèse.

Prenez une vieille tâche chinoise:

La cellule contient un nombre inconnu de faisans et de lapins. On sait que la cellule entière contient 35 têtes et 94 pieds. Apprenez le nombre de faisans et le nombre de lapins. (Le défi du livre mathématique chinois "Kiu-Chang", compilé en 2600 ans, BC. E.).

Nous donnons un dialogue trouvé à partir d'anciens Masters Mathematics. - Imaginez que la cage dans laquelle les faisans et les lapins sont assis, nous mettons des carottes. Tous les lapins se tiendront sur les jambes arrière pour atteindre la carotte. Combien de jambes à ce moment se tiendront sur terre?

Mais dans l'état de la tâche, 94 jambes sont données, où sont les autres?

Le reste des jambes ne sont pas comptés - ce sont les pieds avant des lapins.

Combien d'entre eux?

24 (94 – 70 = 24)

Combien de lapins?

12 (24: 2 = 12)

Et les faisans?

23 (35- 12 = 23)

Le nom de cette méthode est "méthode d'hypothèse faute". Essayez d'expliquer ce nom (dans une cellule assise 2 ou 4 jambes, et nous avons suggéré que tout le monde soit le plus petit de ces chiffres - 2 pattes).

Une autre façon de résoudre la même tâche. - Essayons de résoudre cette tâche - "par la méthode d'excès à l'excès": nous allons imaginer que les ménages semblaient deux plus de jambes, puis toutes les jambes vont 35 × 4 \u003d 140.

Mais sous l'état du problème, seules 94 jambes, c'est-à-dire 140 - 94 \u003d 46 pieds de plus, dont? Ce sont les pieds des faisans, ils ont un couple supplémentaire de pieds. Ça veut dire phoque sera 46: 2 = 23, puis des lapins 35 -23 = 12.
Résultats de la discussion: la méthode d'hypothèse a deux options - par inconvénient et excès; Comparé aux méthodes précédentes, il est plus pratique, car il fallait moins de temps.
Une tâche. Dans le désert, une caravane de chameaux, tous, marchent lentement. Si vous recalculez toutes les bosses de ces chameaux, 57 Horse sera. Combien de chameaux d'alogie dans cette caravane? 1 façon. Résoudre en utilisant l'équation.

Nombre de bosses d'un nombre de chameaux de tous les bosses

2 x 2

1 40 - h. 40 - h. 57

2 x +. 40 - h. = 57

x +. 40 = 57

h. = 57 -40

h. = 17

2 voies.

- Combien de bosses peuvent avoir des chameaux?

(Il peut y avoir deux ou un)

Faisons chaque chameau sur une bosse. Je vais attacher une fleur.

- Combien de fleurs auront besoin? (40 chameaux - 40 couleurs)

- Combien de bosses resteront sans fleurs?

(Tel sera 57-40=17 . il deuxième gorge chameaux de piqûre).

combien de dugorby Camels? (17)

combien de chameaux à une fois brûlé? (40-17 \u003d 23)

Quelle est la tâche de réponse? ( 17 et 23 chameaux).

Une tâche.Dans le garage, il y avait des voitures de tourisme et des motos avec des poussettes, toutes ensemble 18. Machine et Motos - 65 roues. Combien de motocycles avec fauteuil roulant se trouvaient dans le garage, si les voitures ont 4 roues et à une moto - 3 roues?

1 façon. Avec l'aide de l'équation:

Kol-roues en 1 manteau

Purée. quatrex 4 x.

ILo. 3 18 -h. 3(18 - h. ) 65

4 x +. 3(18 - h. ) = 65

4 x + 5. 4 -3 h. =65

h. = 65 - 54

h. = 11, 18 – 11 = 7.

Nous reformulons la tâche : Des voleurs qui sont venus au garage, où 18 voitures et motos étaient debout avec des fauteuils roulants, retirés de chaque machine et chaque moto à trois roues et prises. Combien de roues restent dans le garage s'il y avait 65 ans? Appartiennent-ils à la voiture ou à la moto?

3 × 18 \u003d 54 - Combien de roues ont été prises par des voleurs,

65- 54 \u003d 11 - Tant de roues laissées (voitures dans le garage),

18 - 11 \u003d 7-motorocycles.

Réponse: 7 motos.

Seule:

Il y avait 23 voitures de tourisme et motos avec une voiture dans le garage. Machine et motos 87 roues. Combien de garages de moto, si une roue de secours mettait une roue de secours dans chaque chariot?

- Combien de roues ont des machines et des motos ensemble? (4 × 23 \u003d 92)

- Combien de roues de rechange mettent dans chaque poussette? (92 - 87 \u003d 5)

- Combien de voitures dans le garage? (23 - 5 \u003d 18).

Une tâche.Dans notre classe, vous pouvez apprendre l'anglais ou le français (facultatif). On sait que l'anglais étudie 20 écoliers et français - 17. Total de la classe 32. Combien d'étudiants apprennent à la fois des langues: l'anglais et le français?

Montrer deux cercles. En un, nous allons réparer le nombre d'écoliers étudiant l'anglais, dans les études d'un autre greffier étudiant le français. Comme sous la condition du problème il y a des étudiants apprenantlangues: anglais et français, Les cercles auront une partie commune. Dans la condition de cette tâche, il n'est pas facile de comprendre. Si vous vous pliez 20 et 17, il s'avérera plus de 32. Cela s'explique par le fait que certains écoliers nous avons pris en compte deux fois - à savoir ceux qui étudient les deux langues: l'anglais et le français. Donc, (20 + 17) - 32 \u003d 5 les élèves apprennent à la fois des langues: l'anglais et le français.

Anglais Fran.

20 UCH. 17 UCH.

(20 + 17) - 32 \u003d 5 (étudiants).

Des schémas comme celui que nous avons profité de la tâche dans la résolution de problèmes en mathématiques cercles (ou diagrammes) Euler. Leonard Euler (1736) Né en Suisse. Mais pendant de nombreuses années, j'ai vécu en Russie.

Une tâche. Chaque famille vivant dans notre maison décharge ou journal, ou magazine, ou les deux. 75 familles déchargent le journal et 27 familles déchargent le magazine et seulement 13 familles déchargent le magazine et le journal. Combien de familles vivent dans notre maison?

Magazines de journaux

La figure montre que 89 familles vivent dans la maison.

Une tâche.120 personnes ont participé à la conférence internationale. Parmi ceux-ci, 60 appartiennent à la langue russe, 48 - anglais, 32 - allemand, 21 - russe et allemand, 19 - anglais et allemand, 15 - russe et anglais, et 10 personnes possédaient les trois langues. Combien de participants à la conférence ne possèdent aucune de ces langues?

Français 15 Anglais

21 10 19

Allemand

Solution: 120 - (60 + 48 + 32 -21 - 19 - 15 + 10) \u003d 25 (personnes).

Une tâche. Trois chaton et deux chiots pèsent 2 kg 600 g et deux chatons et trois chiots pèsent 2 kg 900 g. Combien coûte le chiot?

3 chaton et 2 chiots - 2kg 600 g

2 chaton et 3chenchenka - 2kg 900 g

Il découle de la condition que 5 chatons et 5 chiots pèsent 5 kg 500 g. Donc, 1 chaton et 1 chiot peser 1 kg 100 g

2 chat. Et 2 pueps. Peser 2 kg 200 g

Comparer les conditions -

2 Kitten + 3 Horaire \u003d 2kg 900 g

2 chatons + 2 chiots \u003d 2 kg 200 g, nous voyons que le chiot pèse 700 g.

Une tâche.Pour un cheval et deux vaches produisent 34 kg de foin quotidiennement, et pour deux chevaux et une vache - 35 kg de foin. Combien de foin donner un cheval et combien une vache?

Nous écrivons une brève condition de la tâche:

1 chevaux et 2 vaches -34kg.

2 chevaux et 1 vaches -35kg.

Est-il possible de savoir combien de foin aura besoin de 3 chevaux et 3 vaches?

(Pour 3 chevaux et 3 vaches - 34 + 35 \u003d 69 kg)

Est-il possible de savoir combien de foin aura besoin d'un cheval et d'une vache? (69: 3 - 23 kg)

Combien de foin auront besoin d'un cheval? (35-23 \u003d 12kg)

Combien de foin aura besoin d'une vache? (23 -13 \u003d 11kg)

Réponse: 12kg et 11 kg.

Une tâche.Madina a décidé de prendre son petit déjeuner dans le buffet de l'école. Apprenez le menu et répondez combien de façons peut-il choisir une boisson et une confiserie?

	Confiserie
	cheesecake

Supposons que les boissons de Madina choisiront du thé. Quelle confiserie peut-elle ramasser pour le thé? (Thé - fromage, thé - biscuits, thé - Bun)

Combien de façons? (3)

Et si compote? (aussi 3)

Comment savoir combien de façons peut-elle utiliser Madina pour choisir un déjeuner? (3 + 3 + 3 \u003d 9)

Oui, tu as raison. Mais pour nous plus facile de résoudre une telle tâche, nous utiliserons des graphiques. Le mot "graphique" en mathématiques signifie une image où plusieurs points sont dessinés, dont certains sont connectés par des lignes. Notez les boissons et les points de confiserie et connectez des paires de ces plats que Madina choisira.

compote du lait de thé

chuin de biscuit de Vatrushaka

Maintenant, comptez le nombre de lignes. Il y en a 9. Par conséquent, il y a 9 façons de choisir des plats.

Une tâche.Seryozha a décidé de donner maman pour un bouquet d'anniversaire de fleurs (roses, tulipes ou carnements) et les mettre ou dans un vase, ou dans un pot. Combien de façons peut-il le faire?

Que pensez-vous, combien de manières? (3)

Pourquoi? (couleurs 3)

Oui. Mais il y a encore différents plats: ou un vase ou un pot. Essayons de remplir la tâche graphiquement.

vase kuvshin

roses Tulips Carnations

Compter les lignes. Combien d'entre eux? (6)

Alors combien de façons de choisir parmi Serge? (6)

Le résultat de la leçon.

Aujourd'hui, nous avons résolu un certain nombre de tâches. Mais le travail n'est pas terminé, il y a un désir de le poursuivre et j'espère que cela vous aidera à résoudre avec succès des tâches textuelles.

On sait que la solution de tâches est une art pratique, semblable à la natation ou à un jeu de piano. Vous ne pouvez apprendre que en imitant de bons échantillons, en pratiquant constamment.

Ceci est juste la plus simple des tâches, complexes demeurant encore le sujet de l'étude future. Mais ils sont encore beaucoup plus que nous pourrions les résoudre. Et si à la fin de la leçon, vous pouvez résoudre les tâches "derrière les pages du matériel éducatif", nous pouvons supposer que j'ai effectué ma tâche.

La connaissance des mathématiques aide à résoudre un certain problème vital. Dans la vie, vous devrez résoudre régulièrement certains problèmes, car il est nécessaire de développer des capacités intellectuelles, grâce auquel le potentiel interne développe, développer la capacité de prévoir la situation, prédire, adopter une solution non standard.

Je veux terminer la leçon avec les mots: "Toute tâche mathématique bien résolue fournit un plaisir mental." (GESSE).

Es-tu d'accord avec ça?

Devoirs.

Il y aura une telle tâche à la Chambre: utiliser les textes des problèmes résolus, en tant qu'échantillon, résoudre les tâches n ° 8, 17, 26 par les méthodes que nous avons étudiées.

Résolution de problèmes par algèbre (en utilisant des équations) Selon le manuel I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich

mathematics Enseignant MOU "LSOS №2"

région de Tverhoslavl Tvert

Objectifs: - montrer le problème de la résolution des problèmes par une méthode algébrique; - Pour former la capacité de résoudre des problèmes de méthodes arithmétiques et algébriques.

Méthodes

solutions de tâches

Arithmétique (solution de la tâche d'action)

Algébrique (résoudre le problème avec l'équation)

Numéro de tâche 509.

Lisez la tâche.

Essayez de trouver différentes façons de résoudre.

Deux boîtes de 16 kg de biscuits. Trouvez beaucoup de cookies dans chaque boîte si dans l'un d'entre eux cookies par 4 kg de plus que dans un autre.

1 solution façon

(voir)

Solution 3 voies

(voir)

Solution à 2 voies

Solution 4 voies

1 méthode (arithmétique)

• 16 - 4 \u003d 12 (kg) - Les cookies resteront dans deux cases, si vous obtenez 4 kg de biscuits de la première case.

• 12: 2 \u003d 6 (kg) - Les cookies étaient dans la deuxième boîte.

• 6 + 4 \u003d 10 (kg) - Les cookies étaient dans la première boîte.

Répondre

La solution est utilisée la méthode de péréquation .

Question : Pourquoi a-t-il eu un tel nom?

Dos)

2 méthode (arithmétique)

• 16 + 4 \u003d 20 (kg) - Les cookies seront dans deux cases, si vous ajoutez 4 kg de cookies à la deuxième boîte.

• 20: 2 \u003d 10 (kg) - Les cookies étaient dans la première boîte.

• 10 - 4 \u003d 6 (kg) - Les cookies étaient dans la deuxième boîte.

Répondre : La masse de biscuits dans la première boîte est de 10 kg et dans le deuxième 6 kg.

La solution est utilisée la méthode de péréquation .

Dos)

3 méthode (algébrique)

Dénote beaucoup de cookies dans la seconde Lettre de boîte h. kg. Ensuite, la masse de cookies dans la première boîte sera égale ( h. +4) kg et la masse de biscuits dans deux cases - ((( h. +4)+ h.) kg.

(h. +4)+ h. =16

h. +4+ h. =16

2 h. +4=16

2 h. =16-4

2 h. =12

h. =12:2

Dans la deuxième boîte, il y avait 6 kg de biscuits.

6 + 4 \u003d 10 (kg) - Les cookies étaient dans la première boîte.

La solution est utilisée méthode algébrique.

La tâche : Expliquez quelle est la différence entre la méthode arithmétique de l'algèbre?

Dos)

4 méthode (algébrique)

Dénote beaucoup de cookies en premier Lettre de boîte h. kg. Ensuite, la masse de biscuits dans la deuxième boîte sera égale à ( h. -4) kg et la masse de biscuits dans deux cases - ( h. +(h. -4)) kg.

Par la condition de la tâche, il y avait 16 kg de biscuits dans deux cases. Nous obtenons l'équation:

h. +(h. -4)=16

h. + h. -4=16

2 h. -4=16

2 h. =16+4

2 h. =20

h. =20:2

La première boîte avait 10 kg de biscuits.

10-4 \u003d 6 (kg) - Les cookies étaient dans la deuxième boîte.

La solution est utilisée méthode algébrique.

Dos)

• Quelles sont les deux façons de résoudre le problème ont été utilisés?
• Quelle est la méthode de réglage?
• Comment la première voie de réglage diffère-t-elle de la seconde?
• Dans une poche pour 10 roubles plus que dans une autre. Comment pouvez-vous égaliser la quantité d'argent dans les deux poches?
• Quelle est la façon algébrique de résoudre le problème?
• Quelle est la différence entre 3 façons de résoudre la tâche du 4ème?
• Dans une poche pour 10 roubles plus que dans une autre. Il est connu que moins d'argent désignait une variable h. . Comment cela sera-t-il exprimé à travers h.
• Si pour h. identifier plus d'argent dans votre poche, alors que vous serez exprimé par h. montant d'argent dans une autre poche?
• Dans le magasin de shampoing coûte 25 roubles plus chers que dans le supermarché. Indiquer une lettre variable w. Et exprimer un autre coût grâce à cette variable.

Numéro de tâche 510

Décider de la tâche des méthodes arithmétiques et algébriques.

De trois parcelles de terre collectées 156 c pommes de terre. À partir des première et deuxième sections de pommes de terre, ils ont rassemblé des robustes et de la troisième - sur 12 C de plus que de chacun des deux premiers. Combien de pommes de terre collectées dans chaque site.

Méthode algébrique

(voir)

Méthode arithmétique

(voir)

production)

Méthode arithmétique

• 156 - 12 \u003d 144 (c) - Les pommes de terre collecteraient de trois sites si les rendements de tous les sites seraient les mêmes.

• 144: 3 \u003d 48 (c) - Les pommes de terre recueillies à partir du premier et collectées à partir des secondes sections.
• 48 + 12 \u003d 60 (c) - Pommes de terre recueillies à partir du troisième site.

Répondre

Dos)

Méthode algébrique

Laisser de la première parcelle collectée h. C pommes de terre. Puis du deuxième site collecté aussi h. C pommes de terre et de la troisième parcelle collectée ( h. +12) C pommes de terre.

Par état des trois sites, 156 s pommes de terre ont été collectées.

Nous obtenons l'équation:

x + x + (x +12) =156

x + x + x + 12 = 156

3 h. +12 = 156

3 h. = 156 – 12

3 h. = 144

h. = 144: 3

À partir des première et deuxième sections, ils ont collecté 48 c pommes de terre.

48 +12 \u003d 60 (c) - Pommes de terre recueillies à partir du troisième site.

Répondre : À partir des première et deuxième sections, ils ont recueilli 48 C pommes de terre et du troisième site ont collecté 60 C pommes de terre.

Dos