Selles artiklis pakume matemaatiliste mudelite näiteid. Lisaks pöörame tähelepanu mudelite loomise etappidele ja analüüsime mõningaid matemaatilise modelleerimisega seotud probleeme.

Teine küsimus, mis meil on, on majandusteaduse matemaatilised mudelid, mille näiteid käsitleme definitsiooniga veidi hiljem. Teeme ettepaneku alustada vestlust "mudeli" mõistega, kaaluda lühidalt nende klassifikatsiooni ja liikuda edasi meie põhiküsimuste juurde.

Mõiste "mudel"

Me kuuleme sageli sõna "mudel". Mis see on? Sellel terminil on palju määratlusi, siin on neist vaid kolm:

• konkreetne objekt, mis on loodud teabe vastuvõtmiseks ja säilitamiseks, peegeldades selle objekti originaali mõningaid omadusi või omadusi jne (seda konkreetset objekti saab väljendada erinevates vormides: mentaalne, märkide abil kirjeldus jne);
• Mudel tähendab ka konkreetse olukorra, elu või juhtimise esitust;
• mudel võib olla objekti vähendatud koopia (need luuakse üksikasjalikumaks uurimiseks ja analüüsiks, kuna mudel peegeldab struktuuri ja seoseid).

Kõige varem öeldu põhjal võime teha väikese järelduse: mudel võimaldab üksikasjalikult uurida keerulist süsteemi või objekti.

Kõiki mudeleid saab klassifitseerida mitmete omaduste järgi:

• kasutusala järgi (hariduslik, eksperimentaalne, teaduslik ja tehniline, mäng, simulatsioon);
• dünaamika järgi (staatiline ja dünaamiline);
• teadmiste harude kaupa (füüsikalised, keemilised, geograafilised, ajaloolised, sotsioloogilised, majanduslikud, matemaatilised);
• esitlusviisi järgi (materiaalne ja informatiivne).

Infomudelid jagunevad omakorda sümboolseks ja verbaalseks. Ja sümboolsed – arvuti- ja mittearvutiteks. Liigume nüüd matemaatilise mudeli näidete üksikasjaliku käsitlemise juurde.

Matemaatiline mudel

Nagu võite arvata, peegeldab matemaatiline mudel objekti või nähtuse mis tahes omadusi, kasutades spetsiaalseid matemaatilisi sümboleid. Matemaatika on vajalik selleks, et modelleerida ümbritseva maailma mustreid oma spetsiifilises keeles.

Matemaatilise modelleerimise meetod tekkis üsna kaua aega tagasi, tuhandeid aastaid tagasi koos selle teaduse tulekuga. Tõuke selle modelleerimismeetodi väljatöötamiseks andis aga arvutite (elektrooniliste arvutite) tekkimine.

Liigume nüüd klassifikatsiooni juurde. Seda saab läbi viia ka teatud märkide järgi. Need on esitatud allolevas tabelis.

Teeme ettepaneku peatuda ja vaadata lähemalt viimast klassifikatsiooni, kuna see peegeldab modelleerimise üldisi mustreid ja loodavate mudelite eesmärke.

Kirjeldavad mudelid

Selles peatükis teeme ettepaneku peatuda üksikasjalikumalt kirjeldavatel matemaatilistel mudelitel. Et kõik oleks väga selge, tuuakse näide.

Alustame sellest, et seda tüüpi võib nimetada kirjeldavaks. See on tingitud sellest, et me teeme lihtsalt arvutusi ja prognoose, kuid ei saa kuidagi mõjutada sündmuse tulemust.

Kirjeldava matemaatilise mudeli ilmekas näide on meie päikesesüsteemi avarustesse tunginud komeedi lennutrajektoori, kiiruse ja kauguse arvutamine Maast. See mudel on kirjeldav, kuna kõik saadud tulemused võivad meid ainult hoiatada mis tahes ohu eest. Kahjuks ei saa me sündmuse tulemust mõjutada. Saadud arvutuste põhjal on aga võimalik võtta mis tahes meetmeid elu säilitamiseks Maal.

Optimeerimismudelid

Nüüd räägime veidi majanduslikest ja matemaatilistest mudelitest, mille näited võivad olla erinevad hetkeolukorrad. Antud juhul räägime mudelitest, mis aitavad teatud tingimustel õige vastuse leida. Neil on kindlasti teatud parameetrid. Et see oleks täiesti selge, vaatame näidet põllumajandussektorist.

Meil on ait, aga vili rikneb väga kiiresti. Sel juhul peame valima õiged temperatuuritingimused ja optimeerima ladustamisprotsessi.

Seega saame määratleda "optimeerimismudeli" mõiste. Matemaatilises mõttes on see võrrandisüsteem (nii lineaarne kui ka mitte), mille lahendamine aitab leida konkreetses majandusolukorras optimaalse lahenduse. Vaatasime matemaatilise mudeli (optimeerimise) näidet, kuid lisan: see tüüp kuulub äärmuslike probleemide klassi, need aitavad kirjeldada majandussüsteemi toimimist.

Märgime veel ühte nüanssi: mudelid võivad olla erineva iseloomuga (vt allolevat tabelit).

Mitme kriteeriumi mudelid

Nüüd kutsume teid veidi rääkima mitme kriteeriumi optimeerimise matemaatilisest mudelist. Enne seda tõime näite matemaatilisest mudelist protsessi optimeerimiseks ühe kriteeriumi järgi, aga mis siis, kui neid on palju?

Ilmekas näide mitme kriteeriumiga ülesandest on õige, tervisliku ja samal ajal säästliku toitumise korraldamine suurtele inimrühmadele. Selliseid ülesandeid kohtab sageli sõjaväes, koolisööklates, suvelaagrites, haiglates jne.

Millised kriteeriumid on meile antud ülesande täitmisel?

1. Toitumine peaks olema tervislik.
2. Toidukulud peaksid olema minimaalsed.

Nagu näete, ei lange need eesmärgid üldse kokku. See tähendab, et probleemi lahendamisel on vaja otsida optimaalset lahendust, tasakaalu kahe kriteeriumi vahel.

Mängu mudelid

Mängumudelitest rääkides on vaja mõista “mänguteooria” mõistet. Lihtsamalt öeldes peegeldavad need mudelid tõeliste konfliktide matemaatilisi mudeleid. Peate lihtsalt mõistma, et erinevalt tõelisest konfliktist on mängu matemaatilisel mudelil oma kindlad reeglid.

Nüüd pakume minimaalset teavet mänguteooriast, mis aitab teil mõista, mis on mängumudel. Ja nii, mudel sisaldab tingimata pidusid (kaks või enam), mida tavaliselt nimetatakse mängijateks.

Kõigil mudelitel on teatud omadused.

Mängumudel võib olla paaris või mitu. Kui meil on kaks subjekti, on konflikt paaris, kui neid on rohkem, on see mitu. Eristada saab ka antagonistlikku mängu, seda nimetatakse ka nullsummamänguks. See on mudel, milles ühe osaleja kasu on võrdne teise kaotusega.

Simulatsioonimudelid

Selles jaotises pöörame tähelepanu simulatsiooni matemaatilistele mudelitele. Ülesannete näited on järgmised:

• mikroorganismide populatsiooni dünaamika mudel;
• molekulaarse liikumise mudel jne.

Sel juhul räägime mudelitest, mis on võimalikult lähedased reaalsetele protsessidele. Üldiselt jäljendavad nad mingit ilmingut looduses. Esimesel juhul saame näiteks simuleerida sipelgate arvu dünaamikat ühes koloonias. Samal ajal saate jälgida iga üksiku inimese saatust. Sel juhul kasutatakse matemaatilist kirjeldust harva, sagedamini esinevad kirjalikud tingimused:

• viie päeva pärast muneb emane mune;
• kahekümne päeva pärast sipelgas sureb jne.

Seega kasutatakse neid suure süsteemi kirjeldamiseks. Matemaatiline järeldus on saadud statistiliste andmete töötlemine.

Nõuded

On väga oluline teada, et seda tüüpi mudelitel on teatud nõuded, sealhulgas need, mis on loetletud allolevas tabelis.

Mitmekülgsus	See omadus võimaldab kasutada sama mudelit sarnaste objektirühmade kirjeldamisel. Oluline on märkida, et universaalsed matemaatilised mudelid on täiesti sõltumatud uuritava objekti füüsikalisest olemusest
Adekvaatsus	Siin on oluline mõista, et see omadus võimaldab teil võimalikult täpselt reprodutseerida reaalseid protsesse. Operatiivülesannetes on see matemaatilise modelleerimise omadus väga oluline. Mudeli näide on gaasisüsteemi kasutamise optimeerimise protsess. Sel juhul võrreldakse arvutatud ja tegelikke näitajaid, mille tulemusena kontrollitakse koostatud mudeli õigsust
Täpsus	See nõue eeldab matemaatilise mudeli ja meie reaalse objekti sisendparameetrite arvutamisel saadud väärtuste kokkulangemist
Ökonoomne	Iga matemaatilise mudeli kuluefektiivsuse nõuet iseloomustavad rakenduskulud. Kui töötate mudeliga käsitsi, peate selle matemaatilise mudeli abil arvutama, kui palju aega kulub ühe ülesande lahendamiseks. Kui me räägime arvutipõhisest projekteerimisest, siis arvutatakse aja ja arvuti mälukulude näitajad

Modelleerimise etapid

Kokku jaguneb matemaatiline modelleerimine tavaliselt neljaks etapiks.

1. Mudeli osi ühendavate seaduste sõnastamine.
2. Matemaatiliste probleemide uurimine.
3. Praktiliste ja teoreetiliste tulemuste kokkulangevuse määramine.
4. Mudeli analüüs ja moderniseerimine.

Majanduslik ja matemaatiline mudel

Selles jaotises tõstame probleemi lühidalt esile. Ülesannete näited on järgmised:

• lihatoodete tootmise tootmisprogrammi kujundamine, mis tagab maksimaalse tootmiskasumi;
• organisatsiooni kasumi maksimeerimine, arvutades mööblitehases toodetud laudade ja toolide optimaalse koguse jne.

Majanduslik-matemaatiline mudel kuvab majanduslikku abstraktsiooni, mida väljendatakse matemaatiliste terminite ja sümbolite abil.

Arvuti matemaatiline mudel

Arvuti matemaatilise mudeli näited on järgmised:

• hüdraulilised probleemid vooskeemide, diagrammide, tabelite jms abil;
• tahke mehaanika probleemid ja nii edasi.

Arvutimudel on objekti või süsteemi kujutis, mis on esitatud järgmisel kujul:

• lauad;
• plokkskeemid;
• diagrammid;
• graafika ja nii edasi.

Lisaks peegeldab see mudel süsteemi struktuuri ja omavahelisi seoseid.

Majandusliku ja matemaatilise mudeli konstrueerimine

Oleme juba rääkinud sellest, mis on majanduslik-matemaatiline mudel. Praegu kaalutakse probleemi lahendamise näidet. Peame analüüsima tootmisprogrammi, et tuvastada reserv kasumi suurendamiseks sortimendi nihkega.

Me ei käsitle probleemi täielikult, vaid loome ainult majandusliku ja matemaatilise mudeli. Meie ülesande kriteeriumiks on kasumi maksimeerimine. Siis on funktsioon kujul: А=р1*х1+р2*х2..., kaldudes maksimumini. Selles mudelis on p kasum ühiku kohta ja x on toodetud ühikute arv. Järgmiseks on konstrueeritud mudeli põhjal vaja teha arvutused ja teha kokkuvõte.

Näide lihtsa matemaatilise mudeli ehitamisest

Ülesanne. Kalur naasis järgmise saagiga:

• 8 kala - põhjamere elanikud;
• 20% saagist moodustavad lõunamere elanikud;
• Kohalikust jõest ei leitud ainsatki kala.

Mitu kala ta poest ostis?

Seega näeb selle probleemi matemaatilise mudeli koostamise näide välja selline. Kalade koguarvu tähistame x-ga. Tingimust järgides on lõunapoolsetel laiuskraadidel elavate kalade arv 0,2x. Nüüd ühendame kogu olemasoleva teabe ja saame ülesande matemaatilise mudeli: x=0,2x+8. Lahendame võrrandi ja saame vastuse põhiküsimusele: ta ostis poest 10 kala.

Sovetovi ja Jakovlevi õpiku järgi: "mudel (lat. moodul - mõõt) on originaalobjekti asendusobjekt, mis tagab originaali mõningate omaduste uurimise." (lk 6) „Modelleerimiseks nimetatakse ühe objekti asendamist teisega, et saada teavet algse objekti kõige olulisemate omaduste kohta, kasutades mudelobjekti. (lk 6) „Matemaatilise modelleerimisega mõistame antud reaalobjektile vastavuse leidmise protsessi teatud matemaatilise objektiga, mida nimetatakse matemaatiliseks mudeliks, ning selle mudeli uurimist, mis võimaldab saada reaalse objekti omadusi. vaadeldav objekt. Matemaatilise mudeli tüüp sõltub nii reaalse objekti olemusest kui ka objekti uurimise ülesannetest ning selle ülesande lahendamise nõutavast usaldusväärsusest ja täpsusest.

Lõpuks matemaatilise mudeli kõige täpsem määratlus: "Ideed väljendav võrrand».

Mudelite klassifikatsioon

Mudelite formaalne klassifikatsioon

Mudelite formaalne klassifikatsioon põhineb kasutatavate matemaatiliste tööriistade klassifikatsioonil. Sageli konstrueeritud dihhotoomiatena. Näiteks üks populaarsemaid dihhotoomiate komplekte:

ja nii edasi. Iga konstrueeritud mudel on lineaarne või mittelineaarne, deterministlik või stohhastiline, ... Loomulikult on võimalikud ka segatüübid: kontsentreeritud ühes suhtes (parameetrite poolest), hajutatud teises jne.

Klassifikatsioon objekti esitusviisi järgi

Koos formaalse klassifikatsiooniga erinevad mudelid objekti esitusviisi poolest:

• Struktuursed või funktsionaalsed mudelid

Struktuursed mudelid esindama objekti kui süsteemi, millel on oma struktuur ja toimimismehhanism. Funktsionaalsed mudelid ei kasuta selliseid esitusi ja peegeldab ainult objekti väliselt tajutavat käitumist (toimimist). Nende äärmuslikus väljenduses nimetatakse neid ka "musta kasti" mudeliteks. Võimalikud on ka kombineeritud mudelid, mida mõnikord nimetatakse " hall kast».

Sisu- ja vormimudelid

Peaaegu kõik matemaatilise modelleerimise protsessi kirjeldavad autorid näitavad, et kõigepealt ehitatakse spetsiaalne ideaalne struktuur, sisu mudel. Siin puudub väljakujunenud terminoloogia ja teised autorid nimetavad seda ideaalobjektiks kontseptuaalne mudel , spekulatiivne mudel või eelmudel. Sel juhul nimetatakse lõplikku matemaatilist konstruktsiooni formaalne mudel või lihtsalt etteantud tähendusliku mudeli (eelmudeli) formaliseerimise tulemusena saadud matemaatiline mudel. Mõtestatud mudeli konstrueerimisel saab kasutada valmis idealiseerimiste kogumit, nagu mehaanikas, kus ideaalsed vedrud, jäigad kehad, ideaalsed pendlid, elastsed kandjad jne annavad valmis konstruktsioonielemendid mõtestatud modelleerimiseks. Kuid teadmiste valdkondades, kus puuduvad täielikult lõpetatud formaliseeritud teooriad (füüsika, bioloogia, majanduse, sotsioloogia, psühholoogia ja enamiku teiste valdkondade tipptasemel), muutub tähenduslike mudelite loomine oluliselt keerulisemaks.

Mudelite sisuline klassifikatsioon

Ühtegi teaduslikku hüpoteesi ei saa lõplikult tõestada. Richard Feynman sõnastas selle väga selgelt:

"Meil on alati võimalus teooria ümber lükata, kuid pange tähele, et me ei saa kunagi tõestada, et see on õige. Oletame, et olete esitanud eduka hüpoteesi, arvutanud, kuhu see viib, ja leidnud, et kõik selle tagajärjed on eksperimentaalselt kinnitatud. Kas see tähendab, et teie teooria on õige? Ei, see tähendab lihtsalt seda, et te ei suutnud seda ümber lükata."

Kui ehitatakse esimest tüüpi mudel, tähendab see, et see võetakse ajutiselt tõena ja saab keskenduda muudele probleemidele. Kuid see ei saa olla uurimistöö punkt, vaid ainult ajutine paus: esimest tüüpi mudeli staatus saab olla ainult ajutine.

Tüüp 2: Fenomenoloogiline mudel (käitume nagu…)

Fenomenoloogiline mudel sisaldab nähtuse kirjeldamise mehhanismi. See mehhanism ei ole aga piisavalt veenev, seda ei saa piisavalt kinnitada olemasolevate andmetega või ei sobi hästi olemasolevate teooriate ja objekti kohta kogunenud teadmistega. Seetõttu on fenomenoloogilistel mudelitel ajutiste lahenduste staatus. Arvatakse, et vastus on veel teadmata ja “tõeliste mehhanismide” otsimist tuleb jätkata. Peierls sisaldab teise tüübina näiteks elementaarosakeste kalorimudelit ja kvargimudelit.

Mudeli roll uurimistöös võib aja jooksul muutuda ning võib juhtuda, et uued andmed ja teooriad kinnitavad fenomenoloogilisi mudeleid ning need tõusevad hüpoteesi staatusesse. Samuti võivad uued teadmised järk-järgult sattuda vastuollu esimest tüüpi mudelite-hüpoteesidega ja neid saab teisendada. Seega liigub kvargimudel järk-järgult hüpoteeside kategooriasse; atomism füüsikas tekkis ajutise lahendusena, kuid ajaloo käiguga sai sellest esimene tüüp. Kuid eetrimudelid on jõudnud tüübist 1 tüübini 2 ja on nüüd väljaspool teadust.

Lihtsustamise idee on mudelite ehitamisel väga populaarne. Kuid lihtsustamist on erineval kujul. Peierls tuvastab modelleerimisel kolme tüüpi lihtsustusi.

Tüüp 3: Lähendamine (me peame midagi väga suureks või väga väikeseks)

Kui on võimalik koostada võrrandeid, mis uuritavat süsteemi kirjeldavad, ei tähenda see, et need on lahendatavad kasvõi arvuti abiga. Levinud tehnika on sel juhul lähenduste kasutamine (3. tüüpi mudelid). Nende hulgas lineaarsed reaktsioonimudelid. Võrrandid asendatakse lineaarsetega. Tavaline näide on Ohmi seadus.

Siin tuleb tüüp 8, mis on bioloogiliste süsteemide matemaatilistes mudelites laialt levinud.

Tüüp 8: Funktsioonide tutvustus (peamine on näidata võimaluse sisemist järjepidevust)

Need on ka mõtteeksperimendid kujuteldavate üksustega, mis seda demonstreerivad oletatav nähtus põhiprintsiipidega kooskõlas ja sisemiselt kooskõlas. See on peamine erinevus 7. tüüpi mudelitest, mis paljastavad varjatud vastuolud.

Üks kuulsamaid katseid on Lobatševski geomeetria (Lobatševski nimetas seda kujuteldavaks geomeetriaks). Teiseks näiteks on keemiliste ja bioloogiliste vibratsioonide, autolainete jne formaalselt kineetiliste mudelite masstootmine. Einsteini-Podolsky-Roseni paradoks loodi 7. tüüpi mudelina, et demonstreerida kvantmehaanika ebajärjekindlust. Täiesti planeerimata kujul muutus see lõpuks 8. tüüpi mudeliks – teabe kvantteleportatsiooni võimaluse demonstreerimiseks.

Näide

Mõelge mehaanilisele süsteemile, mis koosneb vedrust, mis on kinnitatud ühes otsas, ja massist, mis on kinnitatud vedru vaba otsa külge. Eeldame, et koormus saab liikuda ainult vedrutelje suunas (näiteks liikumine toimub piki varda). Ehitame selle süsteemi matemaatilise mudeli. Kirjeldame süsteemi olekut kauguse järgi koormuse keskpunktist selle tasakaaluasendisse. Kirjeldame vedru ja koormuse vastasmõju Hooke'i seadus() ja seejärel kasutage Newtoni teist seadust, et väljendada seda diferentsiaalvõrrandi kujul:

kus tähendab teist tuletist aja suhtes: .

Saadud võrrand kirjeldab vaadeldava füüsilise süsteemi matemaatilist mudelit. Seda mudelit nimetatakse "harmooniliseks ostsillaatoriks".

Formaalse klassifikatsiooni järgi on see mudel lineaarne, deterministlik, dünaamiline, kontsentreeritud, pidev. Selle ehitamise käigus tegime palju eeldusi (välisjõudude puudumise, hõõrdumise puudumise, kõrvalekallete väiksuse jne kohta), mis tegelikkuses ei pruugi täituda.

Reaalsuse suhtes on see enamasti 4. tüüpi mudel lihtsustamine(„selguse huvides jätame mõned üksikasjad välja”), kuna mõned olulised universaalsed tunnused (näiteks hajumine) on välja jäetud. Teatud ligikaudselt (näiteks kui koormuse kõrvalekalle tasakaalust on väike, väikese hõõrdumisega, mitte liiga kaua aega ja teatud muudel tingimustel) kirjeldab selline mudel päris mehaanilist süsteemi päris hästi, kuna kõrvalejäetud tegurid on ebaoluline mõju selle käitumisele. Mudelit saab siiski täpsustada, võttes arvesse mõnda neist teguritest. See toob kaasa uue mudeli, millel on laiem (kuigi jällegi piiratud) rakendusala.

Mudeli täpsustamisel võib aga selle matemaatilise uurimistöö keerukus oluliselt suureneda ja muuta mudeli praktiliselt kasutuks. Sageli võimaldab lihtsam mudel reaalset süsteemi paremini ja sügavamalt uurida kui keerulisem (ja formaalselt "õigem").

Kui rakendada harmoonilise ostsillaatori mudelit füüsikast kaugel olevate objektide puhul, võib selle sisuline staatus olla erinev. Näiteks kui seda mudelit bioloogilistele populatsioonidele rakendada, tuleks see suure tõenäosusega klassifitseerida 6. tüüpi analoogia("võtame arvesse ainult mõningaid funktsioone").

Kõvad ja pehmed mudelid

Harmooniline ostsillaator on nn kõva mudeli näide. See saadakse reaalse füüsilise süsteemi tugeva idealiseerimise tulemusena. Selle kohaldatavuse küsimuse lahendamiseks on vaja mõista, kui olulised on need tegurid, mille oleme tähelepanuta jätnud. Teisisõnu on vaja uurida "pehmet" mudelit, mis saadakse "kõva" väikese häirimisega. Selle saab anda näiteks järgmise võrrandiga:

Siin on mõni funktsioon, mis võib võtta arvesse hõõrdejõudu või vedru jäikuse koefitsiendi sõltuvust selle venitusastmest - mõni väike parameeter. Meid ei huvita hetkel funktsiooni selgesõnaline vorm. Kui tõestame, et pehme mudeli käitumine ei erine põhimõtteliselt kõva mudeli käitumisest (olenemata eksplitsiitsetest häirivate tegurite tüübist, kui need on piisavalt väikesed), taandub probleem kõva mudeli uurimisele. Vastasel juhul nõuab jäiga mudeli uurimisel saadud tulemuste rakendamine täiendavaid uuringuid. Näiteks harmoonilise ostsillaatori võrrandi lahenduseks on funktsioonid kujul , st konstantse amplituudiga võnkumised. Kas sellest järeldub, et tõeline ostsillaator võngub lõputult konstantse amplituudiga? Ei, sest arvestades suvaliselt väikese hõõrdumisega süsteemi (reaalses süsteemis alati olemas), saame summutatud võnkumisi. Süsteemi käitumine on kvalitatiivselt muutunud.

Kui süsteem säilitab oma kvalitatiivse käitumise väikeste häirete korral, siis öeldakse, et see on struktuurselt stabiilne. Harmooniline ostsillaator on struktuurselt ebastabiilse (mittekareda) süsteemi näide. Seda mudelit saab aga kasutada protsesside uurimiseks piiratud aja jooksul.

Mudelite mitmekülgsus

Kõige olulisematel matemaatilistel mudelitel on tavaliselt oluline omadus mitmekülgsus: Põhimõtteliselt erinevaid reaalseid nähtusi saab kirjeldada sama matemaatilise mudeliga. Näiteks harmooniline ostsillaator ei kirjelda mitte ainult vedru koormuse käitumist, vaid ka muid võnkeprotsesse, sageli täiesti erineva iseloomuga: pendli väikseid võnkumisi, vedeliku taseme kõikumisi A-kujulises anumas. või voolutugevuse muutus võnkeahelas. Seega üht matemaatilist mudelit uurides uurime kohe tervet klassi selle poolt kirjeldatud nähtusi. Just see matemaatiliste mudelitega väljendatud seaduste isomorfism erinevates teaduslike teadmiste segmentides inspireeris Ludwig von Bertalanffyt looma “Üldine süsteemiteooria”.

Matemaatilise modelleerimise otse- ja pöördprobleemid

Matemaatilise modelleerimisega on seotud palju probleeme. Esiteks peate välja töötama modelleeritud objekti põhidiagrammi, reprodutseerima selle selle teaduse idealisatsioonide raames. Nii muutub rongivagun erinevatest materjalidest plaatide ja keerukamate kerede süsteemiks, iga materjal määratakse selle standardse mehaanilise idealisatsioonina (tihedus, elastsusmoodulid, standardsed tugevusomadused), mille järel koostatakse võrrandid ja mööda teed. mõned detailid jäetakse ebaolulistena kõrvale, tehakse arvutused, võrreldakse mõõtmistega, täpsustatakse mudelit jne. Matemaatilise modelleerimise tehnoloogiate arendamiseks on aga kasulik see protsess põhikomponentideks lahti võtta.

Traditsiooniliselt on matemaatiliste mudelitega seotud kaks peamist probleemide klassi: otsene ja pöördvõrdeline.

Otsene ülesanne: mudeli struktuur ja kõik selle parameetrid loetakse teadaolevaks, põhiülesanne on läbi viia mudeli uuring, et ammutada objekti kohta kasulikke teadmisi. Millist staatilist koormust sild talub? Kuidas see reageerib dünaamilisele koormusele (näiteks sõdurite kompanii marssile või erineva kiirusega rongi läbimisele), kuidas lennuk ületab helibarjääri, kas see kukub laperdamisest laiali - need on tüüpilised näited otsesest probleemist. Õige otsese probleemi püstitamine (õige küsimuse esitamine) nõuab erilisi oskusi. Kui õigeid küsimusi ei esitata, võib sild kokku kukkuda, isegi kui selle käitumise jaoks on ehitatud hea mudel. Nii varises 1879. aastal Suurbritannias kokku metallist sild üle Tay jõe, mille projekteerijad ehitasid silla mudeli, arvutasid sellel 20-kordse kasuliku koormuse ohutusteguri, kuid unustasid tuuled. nendes kohtades pidevalt puhub. Ja pooleteise aasta pärast kukkus see kokku.

Lihtsamal juhul (näiteks üks ostsillaatori võrrand) on otsene probleem väga lihtne ja taandub selle võrrandi eksplitsiitseks lahendiks.

Pöördprobleem: teada on palju võimalikke mudeleid, konkreetne mudel tuleb valida objekti lisaandmete põhjal. Enamasti on mudeli struktuur teada ja mõned tundmatud parameetrid tuleb määrata. Täiendav teave võib sisaldada täiendavaid empiirilisi andmeid või nõudeid objektile ( disaini probleem). Täiendavad andmed võivad saabuda olenemata pöördülesande lahendamise protsessist ( passiivne vaatlus) või olla lahenduse käigus spetsiaalselt kavandatud eksperimendi tulemus ( aktiivne jälgimine).

Üks esimesi näiteid pöördprobleemi meisterlikust lahendusest olemasolevate andmete täieliku kasutamisega oli I. Newtoni loodud meetod hõõrdejõudude rekonstrueerimiseks täheldatud summutatud võnkumiste põhjal.

Teine näide on matemaatiline statistika. Selle teaduse ülesandeks on välja töötada meetodid vaatlus- ja katseandmete salvestamiseks, kirjeldamiseks ja analüüsimiseks, et luua massiliste juhuslike nähtuste tõenäosusmudeleid. Need. võimalike mudelite hulk on piiratud tõenäosusmudelitega. Konkreetsete ülesannete puhul on mudelite komplekt piiratum.

Arvutisimulatsioonisüsteemid

Matemaatilise modelleerimise toetamiseks on välja töötatud arvutimatemaatika süsteemid, näiteks Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim jt. Need võimaldavad luua nii lihtsate kui ka keerukate protsesside ja seadmete formaalseid ja plokkmudeleid ning hõlpsalt muuta mudeli parameetreid nende käigus. modelleerimine. Plokkide mudelid on kujutatud plokkidega (kõige sagedamini graafiliste), mille komplekti ja ühendamist täpsustab mudelskeem.

Täiendavad näited

Malthuse mudel

Kasvumäär on võrdeline praeguse rahvaarvuga. Seda kirjeldab diferentsiaalvõrrand

kus on teatud parameeter, mille määrab sündimuse ja suremuse erinevus. Selle võrrandi lahendus on eksponentsiaalne funktsioon. Kui sündimus ületab suremust (), suureneb rahvastiku arv määramatult ja väga kiiresti. On selge, et tegelikkuses ei saa see piiratud ressursside tõttu juhtuda. Teatud kriitilise populatsiooni suuruse saavutamisel lakkab mudel olemast adekvaatne, kuna see ei võta arvesse piiratud ressursse. Malthuse mudeli täiustus võib olla logistiline mudel, mida kirjeldab Verhulsti diferentsiaalvõrrand

kus on “tasakaalu” populatsiooni suurus, mille puhul sündimust kompenseerib täpselt suremus. Sellise mudeli populatsiooni suurus kaldub tasakaaluväärtusele ja see käitumine on struktuurselt stabiilne.

Kiskja-saakloomade süsteem

Oletame, et teatud piirkonnas elab kahte tüüpi loomi: küülikud (söövad taimi) ja rebased (söövad küülikuid). Olgu jäneste arv, rebaste arv. Kasutades Malthuse mudelit koos vajalike muudatustega, et võtta arvesse jäneste söömist rebaste poolt, jõuame järgmise süsteemini, mille nimi mudelid Kandikud - Volterra:

Sellel süsteemil on tasakaaluseisund, kui küülikute ja rebaste arv on konstantne. Sellest olekust kõrvalekaldumine toob kaasa jäneste ja rebaste arvukuse kõikumised, mis on sarnased harmoonilise ostsillaatori kõikumisega. Sarnaselt harmoonilise ostsillaatoriga ei ole see käitumine struktuurselt stabiilne: väike muudatus mudelis (näiteks võttes arvesse küülikutele vajalikke piiratud ressursse) võib viia käitumise kvalitatiivse muutuseni. Näiteks võib tasakaaluseisund muutuda stabiilseks ja arvude kõikumised hääbuvad. Võimalik on ka vastupidine olukord, kus iga väike kõrvalekaldumine tasakaaluasendist toob kaasa katastroofilised tagajärjed kuni ühe liigi täieliku väljasuremiseni. Volterra-Lotka mudel ei vasta küsimusele, milline neist stsenaariumitest realiseerub: siin on vaja täiendavaid uuringuid.

Märkmed

1. "Reaalsuse matemaatiline esitus" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Küberneetilise modelleerimise filosoofilistest küsimustest. M., Teadmised, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Süsteemide modelleerimine: Proc. ülikoolidele - 3. väljaanne, parandatud. ja täiendav - M.: Kõrgem. kool, 2001. - 343 lk. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mihhailov A. P. Matemaatika modelleerimine. Ideed. meetodid. Näited. - 2. väljaanne, rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Matemaatiliste mudelite teooria elemendid. - 3. väljaanne, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 koos ISBN-ga 978-5-484-00953-4
6. Sevostjanov, A.G. Tehnoloogiliste protsesside modelleerimine: õpik / A.G. Sevostjanov, P.A. Sevostjanov. – M.: Kerge- ja toiduainetööstus, 1984. - 344 lk.
7. Vikisõnastik: matemaatiline mudel
8. CliffsNotes.com. Maateaduse sõnastik. 20. september 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berliin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 lk. ISBN 3-540-35885-4
10. "Teooriat peetakse lineaarseks või mittelineaarseks sõltuvalt sellest, millist matemaatilist aparaati - lineaarset või mittelineaarset - ja milliseid lineaarseid või mittelineaarseid matemaatilisi mudeleid see kasutab. ...viimast eitamata. Kaasaegne füüsik, kui ta peaks uuesti looma sellise olulise olemi definitsiooni nagu mittelineaarsus, käituks tõenäoliselt teisiti ja eelistaks mittelineaarsust kui olulisemat ja levinumat kahest vastandist, määratleks lineaarsuse kui "mittelineaarsuse". mittelineaarsus." Danilov Yu.A., Loengud mittelineaarsest dünaamikast. Elementaarne tutvustus. Sari “Sünergeetika: minevikust tulevikku”. 2. väljaanne. - M.: URSS, 2006. - 208 lk. ISBN 5-484-00183-8
11. „Lõpliku arvu tavaliste diferentsiaalvõrranditega modelleeritud dünaamilisi süsteeme nimetatakse kontsentreeritud või punktsüsteemideks. Neid kirjeldatakse piiratud mõõtmelise faasiruumi abil ja neid iseloomustab piiratud arv vabadusastmeid. Sama süsteemi erinevates tingimustes võib pidada kontsentreerituks või hajutatuks. Jaotatud süsteemide matemaatilised mudelid on osadiferentsiaalvõrrandid, integraalvõrrandid või tavalised viitevõrrandid. Hajutatud süsteemi vabadusastmete arv on lõpmatu ja selle oleku määramiseks on vaja lõpmatu arvu andmeid. Aništšenko V.S., Dünaamilised süsteemid, Sorose haridusajakiri, 1997, nr 11, lk. 77-84.
12. «Sõltuvalt süsteemis S uuritavate protsesside olemusest võib kõik modelleerimise tüübid jagada deterministlikuks ja stohhastiliseks, staatiliseks ja dünaamiliseks, diskreetseks, pidevaks ja diskreet-pidevaks. Deterministlik modelleerimine peegeldab deterministlikke protsesse, st protsesse, mille puhul eeldatakse juhuslike mõjude puudumist; stohhastiline modelleerimine kujutab tõenäosuslikke protsesse ja sündmusi. ... Staatiline modelleerimine kirjeldab objekti käitumist igal ajahetkel ja dünaamiline modelleerimine peegeldab objekti käitumist aja jooksul. Diskreetset modelleerimist kasutatakse diskreetseks eeldatavate protsesside kirjeldamiseks, pidev modelleerimine võimaldab kajastada pidevaid protsesse süsteemides ning diskreet-pidevat modelleerimist kasutatakse juhtudel, kui tahetakse esile tuua nii diskreetsete kui ka pidevate protsesside olemasolu. ” Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Tavaliselt peegeldab matemaatiline mudel modelleeritava objekti struktuuri (seadet), selle objekti komponentide omadusi ja seoseid, mis on uurimiseesmärkidel olulised; sellist mudelit nimetatakse struktuurseks. Kui mudel peegeldab ainult seda, kuidas objekt funktsioneerib – näiteks kuidas see reageerib välismõjudele –, siis nimetatakse seda funktsionaalseks ehk piltlikult öeldes mustaks kastiks. Võimalikud on ka kombineeritud mudelid. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Matemaatilise mudeli koostamise või valimise ilmselge, kuid kõige olulisem algetapp on mitteametlike arutelude põhjal võimalikult selge pildi saamine modelleeritavast objektist ja selle tähendusliku mudeli viimistlemine. Selles etapis ei tohiks te aega ja vaeva säästa, sellest sõltub suuresti kogu uuringu edu. Rohkem kui korra on juhtunud, et matemaatilise ülesande lahendamisele kulunud märkimisväärne töö osutus ebatõhusaks või koguni raisku, kuna asja sellele poolele pole piisavalt tähelepanu pööratud. Myshkis A.D., Matemaatiliste mudelite teooria elemendid. - 3. väljaanne, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 koos ISBN-ga 978-5-484-00953-4, lk. 35.
15. « Süsteemi kontseptuaalse mudeli kirjeldus. Süsteemimudeli loomise selles alafaasis: a) kontseptuaalset mudelit M kirjeldatakse abstraktsete terminite ja mõistetega; b) mudeli kirjeldus antakse standardsete matemaatikaskeemide abil; c) hüpoteesid ja eeldused aktsepteeritakse lõpuks; d) reaalsete protsesside lähendamise protseduuri valik mudeli koostamisel on põhjendatud. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Süsteemide modelleerimine: Proc. ülikoolidele - 3. väljaanne, parandatud. ja täiendav - M.: Kõrgem. kool, 2001. - 343 lk. ISBN 5-06-003860-2, lk. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

Arvuti on kindlalt meie ellu sisenenud ja praktiliselt pole inimtegevuse valdkonda, kus arvutit ei kasutataks. Arvuteid kasutatakse nüüd laialdaselt uute masinate, uute tehnoloogiliste protsesside loomisel ja uurimisel ning nende optimaalsete võimaluste otsimisel; majandusprobleemide lahendamisel, planeerimise ja tootmisjuhtimise probleemide lahendamisel erinevatel tasanditel. Suurte objektide loomine raketitööstuses, lennukite tootmises, laevaehituses, aga ka tammide, sildade jms projekteerimises on üldjuhul võimatu ilma arvutite kasutamiseta.

Arvuti kasutamiseks rakendusülesannete lahendamisel tuleb ennekõike rakendusülesanne “tõlkida” formaalsesse matemaatilisse keelde, s.o. reaalse objekti, protsessi või süsteemi jaoks tuleb see ehitada matemaatiline mudel.

Sõna "mudel" pärineb ladinakeelsest sõnast modus (koopia, kujutis, kontuur). Modelleerimine on mõne objekti A asendamine teise objektiga B. Asendatud objekti A nimetatakse algseks ehk modelleerivaks objektiks ja asendusobjekti B mudeliks. Teisisõnu, mudel on objekt, mis asendab originaalobjekti, võimaldades uurida originaali mõningaid omadusi.

Simulatsiooni eesmärk on üksteise ja väliskeskkonnaga interakteeruvate objektide kohta teabe vastuvõtmine, töötlemine, esitamine ja kasutamine; ja mudel toimib siin vahendina objekti omaduste ja käitumismustrite mõistmiseks.

Modelleerimist kasutatakse laialdaselt erinevates inimtegevuse valdkondades, eriti disaini ja juhtimise valdkondades, kus saadud teabe põhjal efektiivsete otsuste tegemise protsessid on erilised.

Mudel ehitatakse alati kindla eesmärgiga, mis mõjutab seda, millised objektiivse nähtuse omadused on olulised ja millised mitte. Mudel on justkui objektiivse reaalsuse projektsioon teatud nurga alt. Mõnikord, olenevalt eesmärkidest, on võimalik saada mitmeid objektiivse reaalsuse projektsioone, mis satuvad vastuollu. See on reeglina tüüpiline keerukate süsteemide jaoks, kus iga projektsioon valib ebaoluliste hulgast selle, mis on konkreetse eesmärgi jaoks hädavajalik.

Modelleerimise teooria on teadusharu, mis uurib võimalusi uurida originaalobjektide omadusi nende asendamisel teiste mudelobjektidega. Modelleerimise teooria põhineb sarnasuse teoorial. Modelleerimisel absoluutset sarnasust ei toimu ja püütakse vaid tagada, et mudel kajastaks piisavalt hästi uuritava objekti toimimise aspekti. Absoluutne sarnasus saab tekkida ainult siis, kui üks objekt asendatakse teise täpselt samasugusega.

Kõik mudelid võib jagada kahte klassi:

1. tõeline,
2. täiuslik.

Reaalsed mudelid võib omakorda jagada järgmisteks osadeks:

1. täismahus,
2. füüsiline,
3. matemaatilised.

Ideaalsed mudelid võib jagada:

1. visuaalne,
2. ikooniline,
3. matemaatilised.

Tõelised täismahus mudelid on reaalsed objektid, protsessid ja süsteemid, millel tehakse teaduslikke, tehnilisi ja tööstuslikke katseid.

Tõelised füüsilised mudelid- need on mudelid, mannekeenid, mis reprodutseerivad originaalide füüsilisi omadusi (kinemaatilised, dünaamilised, hüdraulilised, termilised, elektrilised, kerged mudelid).

Tõelised matemaatilised on analoog-, struktuur-, geomeetrilised, graafilised, digitaalsed ja küberneetilised mudelid.

Ideaalsed visuaalsed mudelid on diagrammid, kaardid, joonised, graafikud, graafikud, analoogid, struktuursed ja geomeetrilised mudelid.

Ideaalsed märgistatud mudelid on sümbolid, tähestik, programmeerimiskeeled, järjestatud tähistus, topoloogiline tähistus, võrgu esitus.

Ideaalne matemaatilised mudelid- need on analüütilised, funktsionaalsed, simulatsiooni- ja kombineeritud mudelid.

Ülaltoodud klassifikatsioonis on mõnel mudelil topelttõlgendus (näiteks analoog). Kõik mudelid, välja arvatud täismahus, saab ühendada ühte vaimsete mudelite klassi, sest need on inimese abstraktse mõtlemise produkt.

Peatugem ühel universaalsemal modelleerimisel - matemaatilisel, mis sobitab simuleeritud füüsikalise protsessi matemaatiliste seoste süsteemiga, mille lahendamine võimaldab saada vastuse küsimusele objekti käitumise kohta ilma mudelit loomata. füüsiline mudel, mis sageli osutub kalliks ja ebatõhusaks.

Matemaatika modelleerimine- on vahend reaalse objekti, protsessi või süsteemi uurimiseks nende asendamise teel matemaatiline mudel, mugavam eksperimentaalseks uurimistööks arvuti abil.

Matemaatiline mudel on reaalsete objektide, protsesside või süsteemide ligikaudne esitus, mis on väljendatud matemaatiliselt ja säilitades originaali olulised tunnused. Matemaatilised mudelid kvantitatiivsel kujul kirjeldavad nad loogilisi ja matemaatilisi konstruktsioone kasutades objekti, protsessi või süsteemi põhiomadusi, selle parameetreid, sisemisi ja väliseid seoseid.

Loodusteaduse valdkonna uurimistööl põhinevate teoreetiliste kontseptsioonide kujundamine, mis oli aluseks teabele veeökosüsteemide looduslike protsesside uurimiseks ja matemaatilise modelleerimise kui iseseisva teadusliku suuna arendamiseks.

Põhimõisted ja määratlused

1.2.1. Mudel(Prantsuse mõõt, näidis):

– teatud objektide kogum (ajaruumilised rakud – jaamad, lõigud, maatriksid jne), mis kirjeldavad uuritava nähtuse mis tahes parameetreid;

Teatud kogum objekte, mille omadused ja nendevahelised seosed rahuldavad etteantud aksioomide süsteemi;

Mõõt, valim, norm on loodusliku (või sotsiaalse) tegelikkuse teatud fragmendi analoog (skeem, struktuur, märgisüsteem).

(las nad leiavad sõnaraamatust: meetod, tehnika, metoodika).

1.2.2. Klassi järgi Mudelid ise on järgmised:

- füüsiline;

- matemaatiline;

- sotsiaalne.

Omakorda teostuspõhimõttel põhinevad matemaatilised mudelid võib olla:

- deterministlik – mis on üles ehitatud matemaatiliselt väljendatud seaduspärasuste alusel, mis kirjeldavad modelleerimisobjektis toimuvaid füüsikalisi ja keemilisi protsesse. Nad lubavad kindlasti määrata muutujate väärtus;

- statistiline - on üles ehitatud eksperimentaalsete andmete põhjal ja esindavad sisend- ja väljundparameetrite väärtusi ühendavaid seoste süsteeme;

- stohhastiline (või simulatsioon) - on üles ehitatud tõenäosuslike ideede põhjal uurimisobjektis toimuvate protsesside kohta ja võimaldavad modelleerida selle käitumist uuritavaid omadusi iseloomustavate muutujate tõenäosusjaotusfunktsioonide arvutamise teel.

Imitatsioon- imitatsioon.

Stohhastiline- juhuslik, tõenäosuslik.

Põhimõte- suunav idee, tegevuse põhireegel.

Tänu kaasaegse loodusteaduse klassikute pingutustele kujunes selle arenguloo jooksul välja kvaliteetne mudel ümbritsevast maailmast. Niisiis, V.I. Vernadski pani aluse elusaine ja meregeokeemia õpetusele, A.P. Vinogradov hakkas uurima mikroorganismide keemilist koostist, N.M. Knipovitš oli merede ja riimvete kalandusuuringute pioneer, S.V. Bruevich töötas välja analüütilised meetodid mere hüdrokeemiatööks, sõnastas merede hüdrokeemia, biohüdrokeemia ja keemilise dünaamika alused, L.A. Zenkevitš uuris merevete loomastikku ja produktiivsust, A.B. Skopintsev alustas biogeensete ja orgaaniliste ainete (OM) uurimist veehoidlates ja vooluveekogudes, G.G. Vinberg käsitles merede bioloogilise produktiivsuse kujundamise küsimusi.

Need tööd olid 20. sajandi teisel poolel kõikjal maailmas alanud uurimistöö metodoloogiliseks ja teoreetiliseks aluseks. regulaarsed uuringud mereökosüsteemide ökoloogilise seisundi, toormebaasi kujunemise hüdrokeemiliste iseärasuste ja looduslike vete biotootlikkuse kohta; orgaanilise aine muundumise ja lagunemise keemiliste ja bioloogiliste protsesside arengumustrid; biogeensete substraatide regenereerimise mehhanismid seoses ainete ringluse ja ringluse tingimuste uurimisega biosfääris [Leonov, 1999], samuti saadud teabe süstematiseerimise ja analüüsimise meetodid [Fashchuk, 1997; Fashchuk et al., 1997].

Kuulsa matemaatiku, akadeemik I.M. Yagloma : “Konkreetse distsipliini küpsustaseme määrab suuresti ära selles oleva matemaatilise aparaadi kasutusaste, distsipliinile omaste “matemaatikamudelite” sisu ja nendega tihedalt seotud deduktiivsed järeldused...”. Kahekümnenda sajandi teiseks pooleks. Mereökoloogia on teadusena “küpsenud” sedavõrd, et mereökosüsteemide seisundi matemaatilisest modelleerimisest on saanud iseseisev loodusteaduse suund. Selle raames käsitletakse maailmameret kui keerulist dünaamilist füüsikaliste, keemiliste, bioloogiliste, geoloogiliste ja muude protsesside süsteemi.

Arvutitehnoloogia ja rakendusmatemaatika areng on kaasa toonud mereökosüsteemide matemaatiliste mudelite intensiivse väljatöötamise, mis on võimaldanud süstematiseerida omandatud teadmisi erinevates mereteaduse valdkondades merekehade seisundi prognoosimise ja juhtimise eesmärgil. vesi. Sellega seoses võib mere ökosüsteemide matemaatilisi mudeleid koos välivaatlustega merel pidada ookeani olemuse teadusliku mõistmise aluseks. Matemaatiliste mudelite koostamine ja kasutamine on mereökosüsteemide töötingimuste süstemaatilise analüüsi vahend.

1.4.1. Looduslike protsesside ja nähtuste modelleerimise metoodilise lähenemise põhjal eristatakse järgmist: mudelite tüübid: empiiriline, poolempiiriline ja teoreetiline.

Empiirilised mudelid kirjeldada matemaatiliste sõltuvuste abil seoseid keskkonnaseisundi üksikute parameetrite ja neile mõjuvate välistegurite vahel.

Teoreetilised mudelid põhinevad laialdasel faktilisel materjalil, mis on saadud ökosüsteemi üksikute elementide, aine ja energia muundumisprotsesside, keemiliste ja bioloogiliste parameetrite muutumise mustrite jms fundamentaalsete uuringute tulemusena.

Poolempiirilised mudelid kujutavad endast kahe esimese sünteesi ja enamiku väljatöötatud mudelite võib sellesse kategooriasse liigitada.

1.4.2. Rakendusmeetodi järgi jagunevad mudelid:

- deterministlik(nad kasutavad muutujate sidumiseks funktsionaalseid sõltuvusi);

- stohhastiline (ehitatud statistiliste seoste alusel). Esimesi neist kasutatakse sagedamini, kuna need võimaldavad lõputult palju komponente ega võta arvesse veekeskkonna parameetrite juhuslikke kõikumisi. Need on tulemuste tõlgendamise seisukohalt mugavad [Aizatullin, Lebedev, 1977].

- stohhastilis-deterministlik, milles esimeses etapis otsitakse deterministlikul viisil lahendust ning seejärel statistilise testimise meetodil modelleeritakse erinevate parameetrite varieeruvus ja uuritakse lahenduse vastust sellele varieeruvusele.

1.4.3. Olenevalt objekti kirjelduse täpsuse kohta mudeleid saab jagada imitatsioon (spetsiifilised konkreetsete basseinide või piirkondade jaoks ja välja töötatud konkreetsete uurimiseesmärkide jaoks) ja kvaliteet (kasutatakse protsesside arengu ja analüüsi üldiste mustrite selgitamiseks, mõnikord nimetatakse neid ka teoreetiline). IN imitatsioon mudelid püüavad arvestada maksimaalsete detailidega ja sisse kvaliteet - minimaalne (kuid kõige olulisem), seetõttu on viimaste jaoks põhiprobleemiks prioriteetsete muutujate valik [Smith, 1976].

Teise klassifikatsiooni järgi imitatsioon (teise nimega stohhastilised) mudelid on mudelid, mis on üles ehitatud tõenäosuslike ideede alusel uurimisobjektis toimuvate protsesside kohta ja võimaldavad simuleerida selle käitumist.

1.4.4. Ruumistruktuuri kujutamise (kirjeldamise) meetodi järgi jaotatakse mudelid:

- punkt(või nullmõõtmelised) koondunud parameetritega, neis võetakse olekuomaduste väärtused kogu veekoguse keskmiseks, s.o. veekogu käsitletakse punktina (näiteks keskmise okeanograafiajaamana).

Matemaatika modelleerimine

1. Mis on matemaatiline modelleerimine?

20. sajandi keskpaigast. Matemaatilisi meetodeid ja arvuteid hakati laialdaselt kasutama erinevates inimtegevuse valdkondades. Tekkinud on uued distsipliinid nagu “matemaatiline ökonoomika”, “matemaatiline keemia”, “matemaatiline lingvistika” jne, mis uurivad asjakohaste objektide ja nähtuste matemaatilisi mudeleid, aga ka meetodeid nende mudelite uurimiseks.

Matemaatiline mudel on reaalse maailma mis tahes klassi nähtuste või objektide ligikaudne kirjeldus matemaatika keeles. Modelleerimise peamine eesmärk on uurida neid objekte ja ennustada tulevaste vaatluste tulemusi. Modelleerimine on aga ka meetod meid ümbritseva maailma mõistmiseks, mis võimaldab seda kontrollida.

Matemaatiline modelleerimine ja sellega seotud arvutikatse on asendamatud juhtudel, kui täismahus katse on ühel või teisel põhjusel võimatu või keeruline. Näiteks on võimatu luua ajaloos looduskatset, et kontrollida, “mis oleks juhtunud, kui...” Ühe või teise kosmoloogilise teooria õigsust on võimatu kontrollida. On võimalik, kuid ebatõenäoline, et see on mõistlik, katsetada haiguse, näiteks katku, levikut või korraldada tuumaplahvatus, et uurida selle tagajärgi. Seda kõike saab aga teha arvutis, luues esmalt uuritavatest nähtustest matemaatilised mudelid.

2. Matemaatilise modelleerimise põhietapid

1) Mudeliehitus. Selles etapis täpsustatakse mõnda "mittematemaatilist" objekti - loodusnähtust, kujundust, majandusplaani, tootmisprotsessi jne. Sel juhul on olukorra selge kirjeldamine reeglina keeruline. Esiteks selgitatakse välja nähtuse põhijooned ja nendevahelised seosed kvalitatiivsel tasandil. Seejärel formuleeritakse leitud kvalitatiivsed sõltuvused matemaatika keeles ehk ehitatakse matemaatiline mudel. See on modelleerimise kõige raskem etapp.

2) Matemaatilise ülesande lahendamine, milleni mudel viib. Selles etapis pööratakse palju tähelepanu algoritmide ja numbriliste meetodite väljatöötamisele ülesande lahendamiseks arvutis, mille abil on võimalik tulemus vajaliku täpsusega ja vastuvõetava aja jooksul leida.

3) Saadud tagajärgede tõlgendamine matemaatilisest mudelist. Matemaatika keeles mudelist tuletatud tagajärgi tõlgendatakse valdkonnas aktsepteeritud keeles.

4) Mudeli adekvaatsuse kontrollimine. Selles etapis tehakse kindlaks, kas katsetulemused ühtivad teatud täpsusega mudeli teoreetiliste tagajärgedega.

5) Mudeli muutmine. Selles etapis on mudel kas keeruline, et see oleks tegelikkusele adekvaatsem, või lihtsustatud, et saavutada praktiliselt vastuvõetav lahendus.

3. Mudelite klassifikatsioon

Mudeleid saab klassifitseerida erinevate kriteeriumide järgi. Näiteks võib mudelid vastavalt lahendatavate probleemide olemusele jagada funktsionaalseteks ja struktuurseteks. Esimesel juhul väljendatakse kõik nähtust või objekti iseloomustavad suurused kvantitatiivselt. Veelgi enam, mõnda neist peetakse sõltumatuteks muutujateks, teisi aga nende suuruste funktsioonideks. Matemaatiline mudel on tavaliselt erinevat tüüpi võrrandite süsteem (diferentsiaal-, algebraline jne), mis loovad kvantitatiivsed seosed vaadeldavate suuruste vahel. Teisel juhul iseloomustab mudel keeruka objekti struktuuri, mis koosneb üksikutest osadest, mille vahel on teatud seosed. Tavaliselt ei ole need ühendused kvantifitseeritavad. Selliste mudelite koostamiseks on mugav kasutada graafiteooriat. Graaf on matemaatiline objekt, mis kujutab tasapinnal või ruumis olevate punktide (tippude) kogumit, millest osa on ühendatud joontega (servadega).

Lähtudes lähteandmete ja tulemuste olemusest võib ennustusmudeleid jagada deterministlikeks ja tõenäosus-statistilisteks. Esimest tüüpi mudelid teevad kindlaid, ühemõttelisi ennustusi. Teist tüüpi mudelid põhinevad statistilisel teabel ja nende abil saadud ennustused on oma olemuselt tõenäosuslikud.

4. Näited matemaatiliste mudelite kohta

1) Mürsu liikumise ülesanded.

Mõelge järgmisele mehaanikaprobleemile.

Mürsk lastakse Maast välja algkiirusega v 0 = 30 m/s selle pinna suhtes nurga a = 45° all; tuleb leida selle liikumise trajektoor ja kaugus S selle trajektoori algus- ja lõpp-punkti vahel.

Seejärel, nagu koolifüüsika kursusest teada, kirjeldatakse mürsu liikumist valemitega:

kus t on aeg, g = 10 m/s 2 on raskuskiirendus. Need valemid annavad probleemi matemaatilise mudeli. Väljendades t kuni x esimesest võrrandist ja asendades selle teisega, saame mürsu trajektoori võrrandi:

See kõver (parabool) lõikab x-telge kahes punktis: x 1 = 0 (trajektoori algus) ja (koht, kuhu mürsk kukkus). Asendades saadud v0 ja a väärtused saadud valemitesse, saame

vastus: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Pange tähele, et selle mudeli koostamisel kasutati mitmeid eeldusi: näiteks eeldatakse, et Maa on lame ning õhk ja Maa pöörlemine ei mõjuta mürsu liikumist.

2) Probleem väikseima pindalaga paagi kohta.

Tuleb leida suletud ringikujulise silindri kujuga plekkpaagi kõrgus h 0 ja raadius r 0 mahuga V = 30 m 3, mille pindala S on minimaalne (antud juhul väikseim). selle tootmiseks kasutatakse kogust tina).

Kirjutame h ja raadiusega r silindri ruumala ja pindala jaoks järgmised valemid:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Väljendades esimesest valemist h läbi r ja V ning asendades saadud avaldise teisega, saame:

Seega taandub probleem matemaatilisest vaatepunktist r väärtuse määramisele, mille juures funktsioon S(r) saavutab oma miinimumi. Leiame need r 0 väärtused, mille tuletis

läheb nulli: Saate kontrollida, et funktsiooni S(r) teine ​​tuletis muudab märgi miinusest plussiks, kui argument r läbib punkti r 0. Järelikult on punktis r0 funktsioonil S(r) miinimum. Vastav väärtus on h 0 = 2r 0 . Asendades antud väärtuse V avaldisesse r 0 ja h 0, saame soovitud raadiuse ja kõrguse

3) Transpordiprobleem.

Linnas on kaks jahuladu ja kaks pagariäri. Iga päev veetakse esimesest laost 50 tonni jahu, teisest tehastesse 70 tonni, esimesse 40 tonni, teise 80 tonni.

Tähistame tähisega a ij on 1 tonni jahu transpordikulu i-ndast laost j-ndasse tehasesse (i, j = 1,2). Lase

a 11 = 1,2 rubla, a 12 = 1,6 rubla, a 21 = 0,8 hõõruda, a 22 = 1 hõõruda.

Kuidas peaks transporti planeerima, et selle maksumus oleks minimaalne?

Esitame ülesandele matemaatilise sõnastuse. Tähistagem x 1 ja x 2 jahu kogust, mis tuleb transportida esimesest laost esimesse ja teise tehasesse ning x 3 ja x 4 -ga - teisest laost vastavalt esimesse ja teise tehasesse. Seejärel:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Kogu transpordi kogumaksumus määratakse valemiga

f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4.

Matemaatilisest vaatenurgast on ülesandeks leida neli arvu x 1, x 2, x 3 ja x 4, mis vastavad kõigile etteantud tingimustele ja annavad funktsiooni f miinimumi. Lahendame võrrandisüsteemi (1) xi jaoks (i = 1, 2, 3, 4), elimineerides tundmatud. Me saame sellest aru

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

ja x 4 ei saa üheselt määrata. Kuna x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), siis võrranditest (2) järeldub, et 30Ј x 4 Ј 70. Asendades avaldise x 1, x 2, x 3 valemis f, saame

f = 148 – 0,2 x 4.

On lihtne näha, et selle funktsiooni miinimum saavutatakse maksimaalse võimaliku väärtusega x 4, see tähendab, et x 4 = 70. Muude tundmatute vastavad väärtused määratakse valemitega (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktiivse lagunemise probleem.

Olgu N(0) radioaktiivse aine algne aatomite arv ja N(t) lagunemata aatomite arv ajahetkel t. Eksperimentaalselt on kindlaks tehtud, et nende aatomite arvu muutumise kiirus N"(t) on võrdeline N(t)-ga, st N"(t)=–l N(t), l >0 on antud aine radioaktiivsuse konstant. Matemaatilise analüüsi koolikursuses on näidatud, et selle diferentsiaalvõrrandi lahend on kujul N(t) = N(0)e –l t. Aega T, mille jooksul algsete aatomite arv on poole võrra vähenenud, nimetatakse poolestusajaks ja see on aine radioaktiivsuse oluline tunnus. T määramiseks peame sisestama valemi Siis Näiteks radooni puhul l = 2,084 · 10 –6 ja seega T = 3,15 päeva.

5) Reisiva müügimehe probleem.

Linnas A 1 elav reisiv müüja peab külastama linnu A 2 , A 3 ja A 4 , igas linnas täpselt üks kord, ning seejärel naasma A 1 . Teatavasti on kõik linnad paarikaupa ühendatud maanteedega ning linnade A i ja A j vaheliste teede b ij pikkused (i, j = 1, 2, 3, 4) on järgmised:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Tuleb määrata linnade külastamise järjekord, kus vastava tee pikkus on minimaalne.

Kujutagem iga linna punktina tasapinnal ja tähistame seda vastava sildiga Ai (i = 1, 2, 3, 4). Ühendame need punktid sirgjoontega: need tähistavad linnadevahelisi teid. Iga “tee” puhul märgime selle pikkuse kilomeetrites (joonis 2). Tulemuseks on graaf – matemaatiline objekt, mis koosneb teatud tasandi punktide hulgast (nimetatakse tippudeks) ja teatud neid punkte ühendavatest joontest (nimetatakse servadeks). Pealegi on see graafik märgistatud, kuna selle tippudele ja servadele on määratud mõned sildid - numbrid (servad) või sümbolid (tipud). Graafi tsükkel on tippude V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 jada nii, et tipud V 1 , ..., V k on erinevad ja mis tahes tippude paar V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) ja paar V 1, V k on ühendatud servaga. Seega on vaadeldav ülesanne leida graafil kõiki nelja tippu läbiv tsükkel, mille puhul on kõigi servade kaalude summa minimaalne. Otsime läbi kõik erinevad tsüklid, mis läbivad nelja tippu ja alustavad punktist A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Leiame nüüd nende tsüklite pikkused (km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Seega on kõige lühema pikkusega marsruut esimene.

Pange tähele, et kui graafis on n tippu ja kõik tipud on paarikaupa ühendatud servadega (sellist graafikut nimetatakse täielikuks), siis kõiki tippe läbivate tsüklite arv on Seega on meie puhul täpselt kolm tsüklit.

6) Ainete struktuuri ja omaduste vahelise seose leidmise probleem.

Vaatame mitmeid keemilisi ühendeid, mida nimetatakse normaalseteks alkaanideks. Need koosnevad n süsinikuaatomist ja n + 2 vesinikuaatomist (n = 1, 2 ...), mis on omavahel ühendatud, nagu on näidatud joonisel 3, kui n = 3. Olgu nende ühendite keemistemperatuuride katselised väärtused teada:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Nende ühendite puhul on vaja leida ligikaudne seos keemistemperatuuri ja arvu n vahel. Oletame, et sellel sõltuvusel on vorm

y" a n+b,

Kus a, b - määratavad konstandid. Leidma a ja b asendame sellesse valemisse järjestikku n = 3, 4, 5, 6 ja vastavad keemispunktide väärtused. Meil on:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Parima väljaselgitamiseks a ja b on palju erinevaid meetodeid. Kasutame neist kõige lihtsamat. Väljendame b läbi a nendest võrranditest:

b » – 42–3 a, b" – 4 a, b » 28–5 a, b » 69–6 a.

Võtame nende väärtuste aritmeetilise keskmise soovitud b-ks, st paneme b » 16 – 4,5 a. Asendame selle b väärtuse algse võrrandisüsteemiga ja arvutame a, saame selle eest a järgmised väärtused: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Võtame vastavalt vajadusele a nende arvude keskmine väärtus ehk paneme a" 34. Seega on nõutaval võrrandil vorm

y » 34n – 139.

Kontrollime mudeli täpsust neljal algsel ühendil, mille keemispunktid arvutame saadud valemi abil:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Seega ei ületa nende ühendite selle omaduse arvutamise viga 5 °. Saadud võrrandi abil arvutame keemistemperatuuri ühendile, mille n = 7, mis ei sisaldu algses hulgas, mille puhul asendame selle võrrandiga n = 7: y р (7) = 99°. Tulemus oli üsna täpne: on teada, et keemistemperatuuri katseväärtus y e (7) = 98°.

7) Elektriahela töökindluse määramise probleem.

Siin vaatleme tõenäosusliku mudeli näidet. Esiteks esitame mõned andmed tõenäosusteooriast – matemaatilisest distsipliinist, mis uurib katsete korduval kordamisel täheldatud juhuslike nähtuste mustreid. Nimetagem juhuslikku sündmust A mõne katse võimalikuks tulemuseks. Sündmused A 1, ..., A k moodustavad tervikliku rühma, kui üks neist ilmneb tingimata katse tulemusena. Sündmusi nimetatakse kokkusobimatuteks, kui need ei saa toimuda üheaegselt ühes kogemuses. Laske sündmusel A esineda m korda katse n-kordse kordamise ajal. Sündmuse A sagedus on arv W = . Ilmselgelt ei saa W väärtust täpselt ennustada enne, kui on läbi viidud n katse seeria. Juhuslike sündmuste olemus on aga selline, et praktikas täheldatakse mõnikord järgmist efekti: katsete arvu suurenedes lakkab väärtus praktiliselt olemast juhuslik ja stabiliseerub mingi mittejuhusliku arvu P(A) ümber, mida nimetatakse tõenäosuseks sündmus A. Võimatu sündmuse puhul (mida katses kunagi ei esine) P(A)=0 ja usaldusväärse sündmuse puhul (mis esineb kogemuses alati) P(A)=1. Kui sündmused A 1 , ..., A k moodustavad tervikliku kokkusobimatute sündmuste rühma, siis P(A 1)+...+P(A k)=1.

Olgu katse näiteks täringu viskamises ja veeretatud punktide arvu jälgimises X. Seejärel saame tutvustada järgmisi juhuslikke sündmusi A i = (X = i), i = 1, ..., 6. moodustavad kokkusobimatute võrdselt tõenäoliste sündmuste täieliku rühma, seega P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Sündmuste A ja B summa on sündmus A + B, mis seisneb selles, et vähemalt üks neist leiab aset kogemuses. Sündmuste A ja B korrutis on sündmus AB, mis koosneb nende sündmuste samaaegsest toimumisest. Sõltumatute sündmuste A ja B puhul kehtivad järgmised valemid:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Vaatleme nüüd järgmist ülesanne. Oletame, et kolm elementi on järjestikku ühendatud elektriahelaga ja töötavad üksteisest sõltumatult. 1., 2. ja 3. elemendi rikete tõenäosused on vastavalt võrdsed P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Peame vooluahelat usaldusväärseks, kui tõenäosus, et vooluringis puudub, ei ole suurem kui 0,4. On vaja kindlaks teha, kas antud vooluahel on usaldusväärne.

Kuna elemendid on ühendatud järjestikku, siis vähemalt ühe elemendi rikke korral vooluringis ei teki (sündmus A). Olgu A i i-nda elemendi toimimise sündmus (i = 1, 2, 3). Siis P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Ilmselgelt on A 1 A 2 A 3 sündmus, milles kõik kolm elementi töötavad samaaegselt ja

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0,612.

Siis P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, seega P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Kokkuvõtteks märgime, et toodud matemaatiliste mudelite näited (sh funktsionaalsed ja struktuursed, deterministlikud ja tõenäosuslikud) on oma olemuselt illustreerivad ega ammenda ilmselt loodus- ja humanitaarteadustes tekkivate matemaatiliste mudelite mitmekesisust.