Võrdhaarse kolmnurga pindala leidmise valem. Kuidas leida kolmnurga pindala (valemid)

Ülaltoodud joonisel olevad külgede ja nurkade tähemärgid vastavad valemites näidatud tähistele. Nii et see aitab teil neid sobitada võrdhaarse kolmnurga elementidega. Määrake ülesande tingimustest, millised elemendid on teada, leidke jooniselt nende tähistused ja valige sobiv valem.

Võrdhaarse kolmnurga pindala valem

Järgmised on valemid võrdhaarse kolmnurga pindala leidmiseks: läbi külgede, külje ja nendevahelise nurga, läbi külje, aluse ja nurga tipus, läbi aluse külje ja nurga allosas jne. Lihtsalt leia vasakpoolselt pildilt kõige sobivam. Kõige uudishimulikumatele selgitab paremal olev tekst, miks valem on õige ja kuidas seda täpselt saab kasutada ala leidmiseks.

  1. võib leida teades selle külge ja alust. See väljend saadi üldisema universaalse valemi lihtsustamisel. Kui võtta aluseks Heroni valem ja seejärel arvestada, et kolmnurga kaks külge on üksteisega võrdsed, siis avaldis lihtsustab pildil toodud valemit.
    Sellise valemi kasutamise näide on toodud allolevas ülesande lahendamise näites.
  2. Teine valem võimaldab teil leida selle ala läbi külgede ja nendevahelise nurga on pool külje ruudust, korrutatuna külgedevahelise nurga siinusega
    Kui alandame vaimselt kõrgust võrdhaarse kolmnurga küljele, siis märgime, et selle pikkus võrdub * sin β. Kuna külgmise külje pikkus on meile teada, on nüüd teada sellele langenud kõrgus, pool nende korrutisest võrdub antud võrdhaarse kolmnurga pindalaga (Selgitus: täiskorrutis annab võrdhaarse kolmnurga pindala ristkülik, mis on ilmne. Kõrgus jagab selle ristküliku kaheks väikeseks ristkülikuks, mille kolmnurga külgedeks on nende diagonaalid, mis jagavad need täpselt pooleks. Seega on võrdhaarse kolmnurga pindala võrdne pool külgmise külje ja kõrguse korrutisest). Vaata ka Vormel 5
  3. Kolmas valem näitab ala leidmist läbi külje, aluse ja tipunurga.
    Rangelt võttes, teades üht võrdhaarse kolmnurga nurkadest, leiate ka teised, nii et selle või eelmise valemi kasutamine on maitse asi (muide, seetõttu jääb meelde ainult üks).
    Kolmandal valemil on ka teine ​​huvitav omadus – toode a patt α annab meile alusele langetatud kõrguse pikkuse. Selle tulemusena saame lihtsa ja ilmse valemi 5.
  4. Võrdhaarse kolmnurga pindala võib ka leida läbi aluse külje ja nurga aluse juures(nurgad aluse juures on võrdsed) kui aluse ruut jagatud nelja puutujaga poole nurgast, mille moodustavad selle küljed. Kui vaatate tähelepanelikult, selgub, et pool alust (b/2) korrutatuna tan(β/2) annab meile kolmnurga kõrguse. Kuna võrdhaarse kolmnurga kõrgus on samal ajal poolitaja ja mediaan, siis tg(β/2) on poole aluse (b/2) ja kõrguse suhe - tg(β/2) = (b/2)/h. Kust h = b / (2 tan(β/2)). Selle tulemusena taandatakse valem taas lihtsamale vormel 5-le, mis on üsna ilmne.
  5. Muidugi võrdhaarse kolmnurga pindala saab leida, kukutades kõrguse ülaosast alusele, mille tulemuseks on kaks täisnurkset kolmnurka. Lisaks - kõik on ilmne. Pool kõrguse ja aluse korrutisest ja vajalik ala on olemas. Selle valemi kasutamise näite leiate allolevast probleemist (2. lahendusmeetod)
  6. See valem saadakse, kui proovite leida võrdhaarse kolmnurga pindala kasutades Pythagorase teoreemi. Selleks väljendame Pythagorase teoreemi kaudu kõrgust eelmisest valemist, mis on samal ajal täisnurkse kolmnurga haru, mille moodustab külg, pool selle alusest ja kõrgusest. Külgkülg on hüpotenuus, seetõttu lahutame külgmise külje ruudust (a) teise jala ruudu. Kuna see võrdub poolega alusest (b/2), on selle ruut võrdne b 2 /4. Selle avaldise juure eraldamine annab meile kõrguse. Nagu on näha valemist 6. Kui lugeja ja nimetaja korrutada kahega ning seejärel sisestada lugeja kaks juurmärgi alla, saame sama valemi teise versiooni, mis kirjutatakse läbi võrdusmärgi.
    Muide, targemad näevad, et kui vormel 1 sulud lahti teha, muutub see vormeliks 6. Või vastupidi, kahe arvu ruutude vahe faktorina annab meile algse, esimese.

Nimetused, mida rakendati joonisel olevates valemites:

a- kolmnurga ühe kahest võrdsest küljest pikkus

b- põhja pikkus

α - ühe kahest võrdsest nurgast aluse suurus

β - kolmnurga võrdsete külgede ja selle aluse vastaskülje vahelise nurga suurus

h- võrdhaarse kolmnurga tipust põhjani langetatud kõrguse pikkus

Tähtis. Pöörake tähelepanu muutujate tähistustele! Ärge sattuge segadusse α Ja β, ja a Ja b!

Märge. See on osa geomeetriaprobleemidega õppetunnist (võrdhaarse kolmnurga lõikepindala). Siin on probleemid, mida on raske lahendada. Kui teil on vaja lahendada geomeetria ülesanne, mida siin pole, kirjutage sellest foorumisse. Ruutjuure eraldamise toimingu tähistamiseks ülesannete lahendustes kasutatakse sümbolit √ või sqrt(), kusjuures sulgudes on märgitud radikaalavaldis.

Ülesanne

Võrdhaarse kolmnurga külg on 13 cm ja põhi 10 cm. Leia piirkond võrdhaarne kolmnurk.



Lahendus.

1. meetod. Rakendame Heroni valemit. Kuna kolmnurk on võrdhaarne, on sellel lihtsam vorm (vt ülaltoodud valemite loendis valemit 1):

kus a on külgede pikkus ja b on aluse pikkus.
Asendades ülesande püstitusest kolmnurga külgede pikkuste väärtused, saame:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5) (13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 cm 2

2. meetod. Rakendame Pythagorase teoreemi
Oletame, et me ei mäleta esimeses lahenduses kasutatud valemit. Seetõttu langetagem kõrgust BK tipust B alusele AC.
Kuna võrdhaarse kolmnurga kõrgus jagab selle aluse pooleks, on poole aluse pikkus võrdne
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 cm.

Võrdhaarse kolmnurga kõrgus poole aluse ja küljega moodustab täisnurkse kolmnurga ABK. Selles kolmnurgas tunneme hüpotenuusi AB ja jalga AK. Avaldame teise jala pikkust Pythagorase teoreemi kaudu.

See ei teki mitte ainult koolilaste või üliõpilaste jaoks, vaid ka tegelikus, praktilises elus. Näiteks on ehituse käigus vaja viimistleda katuse all asuv fassaad. Kuidas arvutada vajaliku materjali kogust?

Kanga või nahaga töötavad käsitöölised seisavad sageli silmitsi sarnaste probleemidega. Paljud osad, mida meistrimees peab välja lõikama, on ju täpselt võrdhaarse kolmnurga kujulised.

Seega on võrdhaarse kolmnurga pindala leidmiseks mitu võimalust. Esimene on selle arvutamine aluse ja kõrguse järgi.

Lahendamiseks peame selguse huvides konstrueerima kolmnurga MNP alusega MN ja kõrgusega PO. Nüüd lõpetame midagi joonisel: punktist P tõmmake alusega paralleelne joon ja punktist M - kõrgusega paralleelne joon. Nimetagem ristumispunktiks Q. Võrdhaarse kolmnurga pindala leidmiseks peate arvestama saadud nelinurgaga MOPQ, milles meile antud kolmnurga MP külgkülg on juba selle diagonaal.

Esmalt tõestame, et see on ristkülik. Kuna ehitasime selle ise, teame, et MO ja OQ küljed on paralleelsed. Mõlemad küljed QM ja OP on samuti paralleelsed. Nurk POM on õige, seega on ka OPQ nurk õige. Seetõttu on saadud nelinurk ristkülik. Selle pindala leidmine pole keeruline, see võrdub PO ja OM korrutisega. OM on pool selle MPN-kolmnurga alusest. Sellest järeldub, et meie konstrueeritud ristküliku pindala on võrdne poolega täisnurkse kolmnurga ja selle aluse kõrguse korrutisest.

Meie ees oleva ülesande teine ​​etapp, kuidas määrata kolmnurga pindala, on tõestada, et pindalalt saadud ristkülik vastab antud võrdhaarsele kolmnurgale, see tähendab, et kolmnurga pindala. kolmnurk on samuti võrdne aluse ja kõrguse poolkorrutisega.

Esmalt võrdleme kolmnurka PON ja PMQ. Mõlemad on ristkülikukujulised, kuna ühes neist moodustab täisnurga kõrgus ja teises täisnurga on ristküliku nurk. Nendes olevad hüpotenuusid on võrdhaarse kolmnurga küljed, seega on need ka võrdsed. Küljed PO ja QM on samuti võrdsed ristküliku paralleelsete külgedega. See tähendab, et nii kolmnurga PON kui ka kolmnurga PMQ pindala on üksteisega võrdsed.

Ristküliku QPOM pindala on võrdne kolmnurkade PQM ja MOP pindalade summaga. Asendades sisseehitatud kolmnurga QPM kolmnurgaga PON, saame kokku kolmnurga, mis on meile antud teoreemi tuletamiseks. Nüüd teame, kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala selle aluse ja kõrguse põhjal - arvutage nende poolkorrutis.

Kuid saate teada, kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala selle aluse ja külje abil. Siin on ka kaks võimalust: Heroni ja Pythagorase teoreem. Vaatleme lahendust Pythagorase teoreemi abil. Näiteks võtame sama PMN kõrgusega PO.

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus POM MP. Selle ruut on võrdne PO ja OM ruutude summaga. Ja kuna OM on poole väiksem baas, mida me teame, leiame hõlpsalt OM-i ja arvu ruutu. Lahutades saadud arvu hüpotenuusi ruudust, saame teada, millega võrdub teise jala ruut, mis võrdhaarses kolmnurgas on kõrgus. Olles leidnud erinevuse põhjal ja teada saanud täisnurkse kolmnurga kõrguse, saame anda vastuse meie ees püstitatud ülesandele.

Peate lihtsalt korrutama kõrguse alusega ja jagama tulemuse pooleks. Seda, miks seda teha, selgitasime tõestuse esimeses versioonis.

See juhtub, et peate tegema arvutusi küljel ja nurgal. Seejärel leiame siinuste ja koosinustega valemi abil kõrguse ja aluse ning korrutame need uuesti ja jagame tulemuse pooleks.

Selleks, et aidata oma last kodutööde tegemisel, peavad vanemad paljusid asju ise teadma. Kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala, kuidas osalause erineb osalausest, mis on raskuskiirendus?

Teie pojal või tütrel võib nende küsimustega probleeme tekkida ja nad pöörduvad teie poole selgituste saamiseks. Et mitte näkku kukkuda ja laste silmis oma autoriteeti säilitada, tasub mõnel kooli õppekava elemendil harjata.

Võtame näiteks võrdhaarse kolmnurga küsimuse. Geomeetria koolis on paljudele raske ja pärast kooli ununeb see kõige kiiremini.

Kuid kui teie lapsed lähevad 8. klassi, peate meeles pidama geomeetriliste kujundite valemeid. Võrdhaarne kolmnurk on oma parameetrite leidmise poolest üks lihtsamaid kujundeid.

Kui kõik, mida sa kunagi kolmnurkade kohta õpetasid, on ununenud, siis meenutagem. Võrdhaarne kolmnurk on selline, mille kaks külge on ühepikkused. Neid võrdseid servi nimetatakse võrdhaarse kolmnurga külgmisteks külgedeks. Kolmas külg on selle alus.

On võimalus, kus kõik 3 külge on võrdsed. Seda nimetatakse võrdkülgseks kolmnurgaks. Sellele kehtivad kõik võrdhaarsele rakendatavad valemid ja vajadusel võib selle mis tahes külge nimetada aluseks.

Piirkonna leidmiseks peame aluse pooleks jagama. Külgi ühendavast tipust saadud punktini laskuv sirgjoon lõikub alusega täisnurga all.

See on selliste kolmnurkade omadus: mediaan, st sirgjoon tipust vastaskülje keskele, on võrdhaarse kolmnurga poolitaja (sirge, mis jagab nurga pooleks) ja kõrgus (risti vastasküljele).

Võrdhaarse kolmnurga pindala leidmiseks peate korrutama selle kõrguse alusega ja seejärel jagama selle toote pooleks.

Kolmnurga pindala leidmiseks on valem lihtne: S=ah/2, kus a on aluse pikkus, h on kõrgus.

Seda saab selgelt selgitada järgmiselt. Lõigake paberist välja sarnane kujund, leidke aluse keskosa, tõmmake selle punkti kõrgus ja lõigake ettevaatlikult mööda seda kõrgust. Saate kaks täisnurkset kolmnurka.

Kui asetame need koos nende hüpotenuusidega (pikkade külgedega) kõrvuti, loome ristküliku, mille üks külg on võrdne meie figuuri kõrgusega ja teine ​​pool selle alusest. See tähendab, et valem kinnitatakse.

Visuaalne demonstratsioon on väga oluline. Kui teie laps õpib valemeid mitte meeletult pähe õppima, vaid mõistma nende tähendust, ei tundu geomeetria talle enam raske õppeaine.

Klassi parim õpilane ei ole õpilane, kes jätab meelde, vaid õpilane, kes mõtleb ja mis peamine, mõistab.

Kuidas leida kujundi pindala, kui üks nurk on õige?

Võib selguda, et antud kolmnurkse kujundi külgede vaheline nurk on 90°. Siis nimetatakse seda kolmnurka täisnurkseks kolmnurgaks, selle külgi nimetatakse jalgadeks ja selle alust nimetatakse hüpotenuusiks.

Sellise kujundi pindala saab arvutada ülaltoodud meetodil (leidke hüpotenuusi keskosa, tõmmake selle kõrgus, korrutage see hüpotenuusiga, jagage see pooleks). Kuid probleemi saab lahendada palju lihtsamalt.

Alustame selgusega. Täisnurkne võrdhaarne kolmnurk on diagonaalselt lõigatud täpselt pool ruutu. Ja kui ruudu pindala leitakse, tõstes selle külje lihtsalt teise astmeni, siis on meile vajaliku kujundi pindala poole suurem.

S=a 2 /2, kus a on jala pikkus.

Võrdhaarse täisnurkse kolmnurga pindala on võrdne poolega selle külje ruudust. Probleem ei olnudki nii tõsine, kui esmapilgul tundus.

Geomeetriliste ülesannete lahendamine ei nõua üliinimlikke pingutusi ja võib olla kasulik mitte ainult lastele, vaid ka teile praktilistele küsimustele vastuste leidmisel.

Geomeetria on täppisteadus. Kui süvenete selle põhitõdedesse, on sellega vähe raskusi ja tõendite loogika võib teie last suuresti köita. Sa pead teda lihtsalt natuke aitama. Ükskõik kui hea õpetaja ta ka ei saaks, ei jää vanemate abi üleliigseks.

Ja geomeetria õppimise puhul on ülalmainitud meetod väga kasulik - selgituste selgus ja lihtsus.

Samas ei tohi unustada ka formulatsioonide täpsust, sest muidu võime selle teaduse muuta palju keerulisemaks, kui see tegelikult on.

    Siit saate teada, kuidas leida rööpküliku pindala. Ruudud ja ristkülikud on rööpkülikud, nagu iga teine ​​neljatahuline kujund, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpküliku pindala arvutatakse järgmise valemiga: S = bh, kus "b" on alus (rööpküliku alumine külg), "h" on kõrgus (kaugus ülemisest osast alumisse külge; kõrgus lõikub alati alusega 90° nurga all).

    • Ruudude ja ristkülikute puhul on kõrgus võrdne küljega, kuna küljed lõikuvad ülemise ja alumise osaga täisnurga all.

  1. Võrdle kolmnurki ja rööpkülikuid. Nende kujundite vahel on lihtne seos. Kui mõni rööpkülik lõigatakse diagonaalselt, saate kaks võrdset kolmnurka. Samamoodi, kui liidate kokku kaks võrdset kolmnurka, saate rööpküliku. Seetõttu arvutatakse mis tahes kolmnurga pindala järgmise valemiga: S = ½ bh, mis on pool rööpküliku pindalast.

    Leidke võrdhaarse kolmnurga alus. Nüüd teate kolmnurga pindala arvutamise valemit; Jääb välja selgitada, mis on "alus" ja "kõrgus". Alus (tähistatud kui "b") on külg, mis ei ole võrdne kahe teise (võrdse) poolega.

  2. Langetage risti aluse suhtes. Tehke see kolmnurga tipust, mis on aluse vastas. Pidage meeles, et risti lõikub alusega täisnurga all. See risti on kolmnurga kõrgus (tähistatud kui "h"). Kui leiate "h" väärtuse, saate arvutada kolmnurga pindala.

    • Võrdhaarses kolmnurgas lõikub kõrgus põhjaga täpselt keskel.

  3. Vaadake poolt võrdhaarsest kolmnurgast. Pange tähele, et kõrgus merepinnast on jaganud võrdhaarse kolmnurga kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. Vaadake ühte neist ja leidke selle küljed:

    • Lühike külg on võrdne poole alusega: b 2 (\displaystyle (\frac (b)(2))).
    • Teine külg on kõrgus "h".
    • Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on võrdhaarse kolmnurga külgkülg; Tähistame seda tähega "s".

  4. Kasutage Pythagorase teoreemi. Kui on teada täisnurkse kolmnurga kaks külge, saab selle kolmanda külje arvutada Pythagorase teoreemi abil: (külg 1) 2 + (külg 2) 2 = (hüpotenuus) 2. Meie näites kirjutatakse Pythagorase teoreem järgmiselt: .

    • Tõenäoliselt teate Pythagorase teoreemi järgmises tähistuses: a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Kasutame sõnu pool 1, külg 2 ja hüpotenuus, et vältida segadust näidismuutujatega.

  5. Arvutage "h" väärtus. Pidage meeles, et kolmnurga pindala arvutamise valemis on muutujad "b" ja "h", kuid "h" väärtus pole teada. H arvutamiseks kirjutage valem ümber:

    • (b 2) 2 + h 2 = s 2 (\displaystyle ((\frac (b)(2)))^(2)+h^(2)=s^(2))
      h 2 = s 2 − (b 2) 2 (\displaystyle h^(2)=s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2))
      .

  6. Asendage valemis teadaolevad väärtused ja arvutage "h". Seda valemit saab rakendada mis tahes võrdhaarsele kolmnurgale, mille küljed on teada. Asendage "b" aluse väärtus ja "s" külje väärtus, et leida "h" väärtus.

    • Meie näites: b = 6 cm; s = 5 cm.
    • Asendage väärtused valemisse:
      h = (s 2 − (b 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2)))
      h = (5 2 − (6 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())5^(2)-((\frac (6)(2)))^(2)))
      h = (25–3 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-3^(2)))
      h = (25–9) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-9))
      h = (16) (\displaystyle h=(\sqrt (())16))
      h = 4 (\displaystyle h = 4) cm.

  7. Ühendage aluse ja kõrguse väärtused kolmnurga pindala arvutamiseks valemiga. Valem: S = ½bh; Asendage sellesse "b" ja "h" väärtused ning arvutage pindala. Kindlasti kirjuta vastusesse ruutühikud.

    • Meie näites on alus 6 cm ja kõrgus 4 cm.
    • S = ½ bh
      S = ½ (6 cm) (4 cm)
      S = 12 cm2.

  8. Vaatame keerukamat näidet. Enamikul juhtudel antakse teile meie näites käsitletust raskem ülesanne. Kõrguse arvutamiseks peate võtma ruutjuure, mida reeglina ei võeta täielikult. Sel juhul kirjutage kõrguse väärtus lihtsustatud ruutjuurena. Siin on uus näide:

    • Arvutage võrdhaarse kolmnurga pindala, mille küljed on 8 cm, 8 cm, 4 cm.
    • B-aluse jaoks valige külg, mille pikkus on 4 cm.
    • Kõrgus: h = 8 2 − (4 2) 2 (\displaystyle h=(\sqrt (8^(2)-((\frac (4)(2)))^(2))))
      = 64 − 4 (\displaystyle =(\sqrt (64-4)))
      = 60 (\displaystyle =(\sqrt (60)))
    • Ruutjuure lihtsustamine tegurite abil: h = 60 = 4 ∗ 15 = 4 15 = 2 15 . (\displaystyle h=(\sqrt (60))=(\sqrt (4*15))=(\sqrt (4))(\sqrt (15))=2(\sqrt (15)).)
    • S = 1 2 b h (\displaystyle =(\frac (1)(2))bh)
      = 1 2 (4) (2 15) (\displaystyle =(\frac (1) (2))(4)(2(\sqrt (15))))
      = 4 15 (\displaystyle =4(\sqrt (15)))
    • Vastuse saab kirjutada juurega või arvutada juur välja kalkulaatoriga ja kirjutada vastuse kümnendmurruna (S ≈ 15,49 cm 2).
mob_info