Πώς λέγεται το τρίγωνο στο οποίο. Αμβλό τρίγωνο: μήκος πλευρών, άθροισμα γωνιών. Περιγεγραμμένο αμβλύ τρίγωνο. Ιδιότητες κοινές σε όλα τα τρίγωνα

Ένα τρίγωνο (από την άποψη του χώρου του Ευκλείδη) είναι ένα τέτοιο γεωμετρικό σχήμα, το οποίο σχηματίζεται από τρία τμήματα που συνδέουν τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή. Τα τρία σημεία που σχηματίζουν ένα τρίγωνο ονομάζονται κορυφές του και τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τις κορυφές ονομάζονται πλευρές του τριγώνου. Τι είναι τα τρίγωνα;

Ίσα τρίγωνα

Υπάρχουν τρία σημάδια της ισότητας των τριγώνων. Ποια τρίγωνα ονομάζονται ίσα; Αυτοί είναι που:

• δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ αυτών των πλευρών είναι ίσες.
• μια πλευρά και δύο γωνίες που γειτνιάζουν με αυτό είναι ίσες.
• και οι τρεις πλευρές είναι ίσες.

Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν τα ακόλουθα σημάδια ισότητας:

• κατά μήκος οξείας γωνίας και υποτείνουσας.
• κατά μήκος μιας οξείας γωνίας και του ποδιού.
• σε δύο πόδια?
• κατά μήκος της υποτείνουσας και του καθετού.

Τι είναι τα τρίγωνα

Σύμφωνα με τον αριθμό των ίσων πλευρών, ένα τρίγωνο μπορεί να είναι:

• Ισόπλευρος. Είναι ένα τρίγωνο με τρεις ίσες πλευρές. Όλες οι γωνίες σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι 60 μοίρες. Επιπλέον, τα κέντρα των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν.
• Μονόπλευρη. Ένα τρίγωνο χωρίς ίσες πλευρές.
• Ισοσκελής. Είναι ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές. Δύο όμοιες πλευρές είναι οι πλευρές και η τρίτη πλευρά είναι η βάση. Σε ένα τέτοιο τρίγωνο, η διχοτόμος, η διάμεσος και το ύψος συμπίπτουν εάν χαμηλώσουν στη βάση.

Σύμφωνα με το μέγεθος των γωνιών, ένα τρίγωνο μπορεί να είναι:

1. Αμβλεία - όταν μια από τις γωνίες έχει τιμή μεγαλύτερη από 90 μοίρες, δηλαδή όταν είναι αμβλεία.
2. Οξεία γωνία - εάν και οι τρεις γωνίες στο τρίγωνο είναι οξείες, δηλαδή έχουν τιμή μικρότερη από 90 μοίρες.
3. Ποιο τρίγωνο λέγεται ορθογώνιο; Αυτό είναι ένα που έχει μια ορθή γωνία ίση με 90 μοίρες. Τα σκέλη σε αυτό θα ονομάζονται οι δύο πλευρές που σχηματίζουν αυτή τη γωνία και η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία.

Βασικές ιδιότητες τριγώνων

1. Μια μικρότερη γωνία βρίσκεται πάντα απέναντι από τη μικρότερη πλευρά και μια μεγαλύτερη γωνία βρίσκεται πάντα απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.
2. Οι ίσες γωνίες βρίσκονται πάντα απέναντι από ίσες πλευρές και οι απέναντι πλευρές βρίσκονται πάντα διαφορετικές γωνίες. Συγκεκριμένα, σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες έχουν την ίδια τιμή.
3. Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, το άθροισμα των γωνιών είναι 180 μοίρες.
4. Μια εξωτερική γωνία μπορεί να ληφθεί επεκτείνοντας μια από τις πλευρές της σε ένα τρίγωνο. Η τιμή της εξωτερικής γωνίας θα είναι ίση με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών που δεν γειτνιάζουν με αυτήν.
5. Η πλευρά ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τη διαφορά των άλλων δύο πλευρών του, αλλά μικρότερη από το άθροισμά τους.

Στη χωρική γεωμετρία του Lobachevsky, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου θα είναι πάντα μικρότερο από 180 μοίρες. Σε μια σφαίρα, αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από 180 μοίρες. Η διαφορά μεταξύ 180 μοιρών και του αθροίσματος των γωνιών ενός τριγώνου ονομάζεται ελάττωμα.

Όταν μελετούν τα μαθηματικά, οι μαθητές αρχίζουν να εξοικειώνονται με διάφορους τύπους γεωμετρικών σχημάτων. Σήμερα θα μιλήσουμε για διαφορετικούς τύπους τριγώνων.

Ορισμός

Τα γεωμετρικά σχήματα που αποτελούνται από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ονομάζονται τρίγωνα.

Τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα σημεία ονομάζονται πλευρές και τα σημεία ονομάζονται κορυφές. Οι κορυφές σημειώνονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα, για παράδειγμα: A, B, C.

Οι πλευρές υποδεικνύονται με τα ονόματα των δύο σημείων από τα οποία αποτελούνται - AB, BC, AC. Τέμνοντας, οι πλευρές σχηματίζουν γωνίες. Η κάτω πλευρά θεωρείται η βάση του σχήματος.

Ρύζι. 1. Τρίγωνο ΑΒΓ.

Τύποι τριγώνων

Τα τρίγωνα ταξινομούνται ανάλογα με τις γωνίες και τις πλευρές. Κάθε τύπος τριγώνου έχει τις δικές του ιδιότητες.

Υπάρχουν τρεις τύποι τριγώνων στις γωνίες:

• οξεία γωνία?
• ορθογώνιος;
• κουτός.

Όλες οι γωνίες οξεία γωνίατα τρίγωνα είναι οξέα, δηλαδή, το μέτρο βαθμών καθενός δεν είναι μεγαλύτερο από 90 0.

Ορθογώνιοςτο τρίγωνο περιέχει ορθή γωνία. Οι άλλες δύο γωνίες θα είναι πάντα οξείες, γιατί διαφορετικά το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου θα ξεπεράσει τις 180 μοίρες, κάτι που είναι αδύνατο. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα και τα άλλα δύο σκέλη. Η υπόταση είναι πάντα μεγαλύτερη από το πόδι.

κουτόςτο τρίγωνο περιέχει μια αμβλεία γωνία. Δηλαδή γωνία μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Οι άλλες δύο γωνίες σε ένα τέτοιο τρίγωνο θα είναι οξείες.

Ρύζι. 2. Τύποι τριγώνων στις γωνίες.

Πυθαγόρειο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές είναι 3, 4, 5.

Επιπλέον, η μεγαλύτερη πλευρά είναι η υποτείνουσα.

Τέτοια τρίγωνα χρησιμοποιούνται συχνά για τη σύνθεση απλών προβλημάτων στη γεωμετρία. Επομένως, θυμηθείτε: εάν δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι 3, τότε η τρίτη θα είναι σίγουρα 5. Αυτό θα απλοποιήσει τους υπολογισμούς.

Τύποι τριγώνων στις πλευρές:

• ισόπλευρος;
• ισοσκελής;
• πολύπλευρος.

Ισόπλευροςένα τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Όλες οι γωνίες ενός τέτοιου τριγώνου είναι ίσες με 60 0, δηλαδή είναι πάντα οξεία.

Ισοσκελήςένα τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο με δύο μόνο ίσες πλευρές. Αυτές οι πλευρές ονομάζονται πλευρικές, και η τρίτη - η βάση. Επιπλέον, οι γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες και πάντα οξείες.

Πολύπλευροςή αυθαίρετο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλα τα μήκη και όλες οι γωνίες δεν είναι ίσα μεταξύ τους.

Αν δεν υπάρχουν διευκρινίσεις για το σχήμα στο πρόβλημα, τότε θεωρείται ότι μιλάμε για αυθαίρετο τρίγωνο.

Ρύζι. 3. Τύποι τριγώνων στις πλευρές.

Το άθροισμα όλων των γωνιών ενός τριγώνου, ανεξάρτητα από τον τύπο του, είναι 1800.

Απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία είναι η μεγαλύτερη πλευρά. Και επίσης το μήκος οποιασδήποτε πλευράς είναι πάντα μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών της. Αυτές οι ιδιότητες επιβεβαιώνονται από το θεώρημα της ανισότητας του τριγώνου.

Υπάρχει η έννοια ενός χρυσού τριγώνου. Αυτό είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, στο οποίο δύο πλευρές είναι ανάλογες με τη βάση και ίσες με έναν ορισμένο αριθμό. Σε ένα τέτοιο σχήμα, οι γωνίες είναι ανάλογες με την αναλογία 2:2:1.

Μια εργασία:

Υπάρχει τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι 6 cm, 3 cm, 4 cm;

Λύση:

Για να λύσετε αυτήν την εργασία, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ανισότητα a

Τι μάθαμε;

Από αυτό το υλικό από το μάθημα των μαθηματικών της Ε' τάξης μάθαμε ότι τα τρίγωνα ταξινομούνται ανά πλευρές και γωνίες. Τα τρίγωνα έχουν ορισμένες ιδιότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατά την επίλυση προβλημάτων.

Ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές δεν έχουν το ίδιο μήκος ονομάζεται πολύπλευρος.

Ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές συμβολίζεται ως ισοσκελής. Οι ίδιες πλευρές λέγονται πλευρικός, το τρίτο μέρος βάση.Ο παρακάτω ορισμός θα ήταν εξίσου αληθής βάσεις τριγώνουείναι η πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου που δεν είναι ίση με τις άλλες δύο πλευρές.

ΣΕ ισοσκελές τρίγωνοοι γωνίες βάσης είναι ίσες. Ύψος, διάμεσος, διχοτόμοςισοσκελές τρίγωνο, τραβηγμένο στη βάση του, συνδυάζονται.

Τρίγωνο, με όλες τις πλευρές ίδιες, συμβολίζεται ως ισόπλευροςή σωστός. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, όλες οι γωνίες είναι 60° και τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων συνδυάζονται.

Τύποι τριγώνων ανάλογα με τις παραμέτρους των γωνιών.

Ένα τρίγωνο στο οποίο ονομάζονται μόνο γωνίες μικρότερες από 90 0 (οξεία). οξεία γωνία.

Ένα τρίγωνο στο οποίο παριστάνεται μια γωνία 90 0 ονομάζεται ορθογώνιος. Οι πλευρές ενός τριγώνου που σχηματίζει ορθή γωνία συνήθως υποδηλώνονται πόδιακαι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία - υποτείνουσα.

Σήμερα θα πάμε στη χώρα της Γεωμετρίας, όπου θα γνωρίσουμε διαφορετικούς τύπους τριγώνων.

Εξετάστε τα γεωμετρικά σχήματα και βρείτε τα «έξτρα» μεταξύ τους (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Εικονογράφηση για παράδειγμα

Βλέπουμε ότι τα σχήματα Νο. 1, 2, 3, 5 είναι τετράγωνα. Κάθε ένα από αυτά έχει το δικό του όνομα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Τετράγωνα

Αυτό σημαίνει ότι το «έξτρα» σχήμα είναι ένα τρίγωνο (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Εικονογράφηση για παράδειγμα

Ένα τρίγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τρία ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν αυτά τα σημεία σε ζεύγη.

Τα σημεία λέγονται κορυφές τριγώνου, τμήματα - του κόμματα. Οι πλευρές του τριγώνου σχηματίζονται Υπάρχουν τρεις γωνίες στις κορυφές ενός τριγώνου.

Τα κύρια χαρακτηριστικά ενός τριγώνου είναι τρεις πλευρές και τρεις γωνίες.Τα τρίγωνα ταξινομούνται ανάλογα με τη γωνία οξεία, ορθογώνια και αμβλεία.

Ένα τρίγωνο ονομάζεται οξεία γωνία εάν και οι τρεις γωνίες του είναι οξείες, δηλαδή μικρότερες από 90 ° (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Οξύ τρίγωνο

Ένα τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο εάν μία από τις γωνίες του είναι 90° (Εικ. 5).

Ρύζι. 5. Ορθογώνιο τρίγωνο

Ένα τρίγωνο ονομάζεται αμβλύ αν μια από τις γωνίες του είναι αμβλεία, δηλαδή μεγαλύτερη από 90° (Εικ. 6).

Ρύζι. 6. Αμβλύ Τρίγωνο

Σύμφωνα με τον αριθμό των ίσων πλευρών, τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα, ισοσκελές, σκαλοπάτινα.

Ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο δύο πλευρές είναι ίσες (Εικ. 7).

Ρύζι. 7. Ισοσκελές τρίγωνο

Αυτές οι πλευρές καλούνται πλευρικός, Τρίτη όψη - βάση. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.

Τα ισοσκελή τρίγωνα είναι οξεία και αμβλεία(Εικ. 8) .

Ρύζι. 8. Οξεία και αμβλεία ισοσκελή τρίγωνα

Ονομάζεται ισόπλευρο τρίγωνο, στο οποίο και οι τρεις πλευρές είναι ίσες (Εικ. 9).

Ρύζι. 9. Ισόπλευρο τρίγωνο

Σε ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες. Ισόπλευρα τρίγωναπάντα οξεία γωνία.

Ένα τρίγωνο ονομάζεται ευέλικτο, στο οποίο και οι τρεις πλευρές έχουν διαφορετικά μήκη (Εικ. 10).

Ρύζι. 10. Scalene τρίγωνο

Ολοκληρώστε την εργασία. Χωρίστε αυτά τα τρίγωνα σε τρεις ομάδες (Εικ. 11).

Ρύζι. 11. Εικονογράφηση για την εργασία

Αρχικά, ας κατανείμουμε ανάλογα με το μέγεθος των γωνιών.

Οξεία τρίγωνα: Νο. 1, Νο. 3.

Ορθογώνια τρίγωνα: #2, #6.

Αμβλεία τρίγωνα: #4, #5.

Αυτά τα τρίγωνα χωρίζονται σε ομάδες ανάλογα με τον αριθμό των ίσων πλευρών.

Scalene τρίγωνα: Νο. 4, Νο. 6.

Ισοσκελή τρίγωνα: Νο 2, Νο. 3, Νο. 5.

Ισόπλευρο τρίγωνο: Νο. 1.

Ελέγξτε τα σχέδια.

Σκεφτείτε από ποιο κομμάτι σύρματος είναι φτιαγμένο κάθε τρίγωνο (εικ. 12).

Ρύζι. 12. Εικονογράφηση για την εργασία

Μπορείτε να διαφωνήσετε έτσι.

Το πρώτο κομμάτι σύρματος χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη, ώστε να μπορείτε να φτιάξετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο από αυτό. Φαίνεται τρίτο στο σχήμα.

Το δεύτερο κομμάτι σύρματος χωρίζεται σε τρία διαφορετικά μέρη, ώστε να μπορείτε να φτιάξετε ένα τρίγωνο σκαλένιο από αυτό. Φαίνεται πρώτο στην εικόνα.

Το τρίτο κομμάτι σύρματος χωρίζεται σε τρία μέρη, όπου τα δύο μέρη έχουν το ίδιο μήκος, ώστε να μπορείτε να φτιάξετε ένα ισοσκελές τρίγωνο από αυτό. Φαίνεται δεύτερο στο σχήμα.

Σήμερα στο μάθημα γνωρίσαμε διάφορα είδη τριγώνων.

Βιβλιογραφία

1. ΜΙ. Moro, M.A. Μπάντοβα και άλλοι.Μαθηματικά: Σχολικό βιβλίο. Βαθμός 3: σε 2 μέρη, μέρος 1. - M .: "Διαφωτισμός", 2012.
2. ΜΙ. Moro, M.A. Μπάντοβα και άλλοι.Μαθηματικά: Σχολικό βιβλίο. Βαθμός 3: σε 2 μέρη, μέρος 2. - M .: "Διαφωτισμός", 2012.
3. ΜΙ. Moreau. Μαθήματα μαθηματικών: Οδηγίες για εκπαιδευτικούς. Βαθμός 3 - Μ.: Εκπαίδευση, 2012.
4. Κανονιστικό έγγραφο. Παρακολούθηση και αξιολόγηση των μαθησιακών αποτελεσμάτων. - Μ.: «Διαφωτισμός», 2011.
5. "Σχολείο της Ρωσίας": Προγράμματα για το δημοτικό σχολείο. - Μ.: «Διαφωτισμός», 2011.
6. ΣΙ. Volkov. Μαθηματικά: Δοκιμαστική εργασία. Βαθμός 3 - Μ.: Εκπαίδευση, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Δοκιμές. - Μ.: «Εξεταστική», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Εργασία για το σπίτι

1. Ολοκληρώστε τις φράσεις.

α) Τρίγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από ..., που δεν βρίσκεται στην ίδια ευθεία, και ..., συνδέοντας αυτά τα σημεία σε ζεύγη.

β) Τα σημεία λέγονται … , τμήματα - του … . Οι πλευρές ενός τριγώνου σχηματίζονται στις κορυφές ενός τριγώνου ….

γ) Σύμφωνα με το μέγεθος της γωνίας, τα τρίγωνα είναι ..., ..., ....

δ) Σύμφωνα με τον αριθμό των ίσων πλευρών, τα τρίγωνα είναι ..., ..., ....

2. Σχεδιάστε

α) ορθογώνιο τρίγωνο

β) ένα οξύ τρίγωνο.

γ) ένα αμβλύ τρίγωνο.

δ) ισόπλευρο τρίγωνο.

ε) σκαλένιο τρίγωνο.

ε) ισοσκελές τρίγωνο.

3. Κάντε μια εργασία για το θέμα του μαθήματος για τους συντρόφους σας.

Τρίγωνο . Οξεία, αμβλεία και ορθογώνια τρίγωνα.

Τα πόδια και η υποτείνουσα. Ισοσκελές και ισόπλευρο τρίγωνο.

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.

Η εξωτερική γωνία του τριγώνου. Σημάδια ισότητας τριγώνων.

Υπέροχες γραμμές και σημεία σε ένα τρίγωνο: ύψη, διάμεσοι,

διχοτόμοι, διάμεσοςμι κάθετοι, ορθόκεντρο,

κέντρο βάρους, κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Πυθαγόρειο θεώρημα. Ο λόγος διαστάσεων ενός αυθαίρετου τριγώνου.

Τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο με τρεις πλευρές (ή τρεις γωνίες). Οι πλευρές ενός τριγώνου συχνά υποδηλώνονται με μικρά γράμματα, τα οποία αντιστοιχούν στα κεφαλαία γράμματα που δηλώνουν αντίθετες κορυφές.

Εάν και οι τρεις γωνίες είναι οξείες (εικ. 20), τότε αυτό οξύ τρίγωνο . Αν μια από τις γωνίες είναι σωστή(Γ, εικ. 21), αυτό είναι ορθογώνιο τρίγωνο; πλευρέςα , βπου σχηματίζουν ορθή γωνία λέγονται πόδια; πλευράντοαπέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Αν ένα από τααμβλείες γωνίες (Β, εικ.22), αυτό είναι αμβλύ τρίγωνο.


Τρίγωνο ABC (Εικ. 23) - ισοσκελής, αν δύοοι πλευρές του είναι ίσεςένα= ντο) αυτές οι ίσες πλευρές λέγονται πλευρικός, καλείται ο τρίτος βάσητρίγωνο. Τρίγωνο ABC (Εικ. 24) - ισόπλευρος, αν όλαοι πλευρές του είναι ίσεςένα = σι = ντο). Γενικά ( ένα ≠ σι ≠ ντο) έχουμε σκαληνόςτρίγωνο .

Βασικές ιδιότητες τριγώνων. Σε οποιοδήποτε τρίγωνο:

1. Υπάρχει μια μεγαλύτερη γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά και αντίστροφα.

2. Οι ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές και το αντίστροφο.

Ειδικότερα, όλες οι γωνίες σε ισόπλευροςτρίγωνα είναι ίσα.

3. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 º .

Από τις δύο τελευταίες ιδιότητες προκύπτει ότι κάθε γωνία σε ισόπλευρο

το τρίγωνο είναι 60 º.

4. Συνεχίζοντας μια από τις πλευρές του τριγώνου (AC, εικ. 25), παίρνουμε εξωτερικός

γωνία BCD . Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών,

δεν σχετίζεται με αυτό :BCD=A+B.

5. Οποιος η πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών και περισσότερο

τις διαφορές τους (ένα < σι + ντο, ένα > σι – ντο;σι < ένα + ντο, σι > ένα – ντο;ντο < ένα + σι,ντο > ένα – σι).

Σημάδια ισότητας τριγώνων.

Τα τρίγωνα είναι ίσα αν είναι αντίστοιχα ίσα:

ένα ) δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους.

σι ) δύο γωνίες και η διπλανή πλευρά τους.

γ) τρεις πλευρές.

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Δύο ορθογώνιοςΤα τρίγωνα είναι ίσα αν ισχύει μία από τις ακόλουθες συνθήκες:

1) τα πόδια τους είναι ίσα.

2) το σκέλος και η υποτείνουσα ενός τριγώνου είναι ίσα με το σκέλος και την υποτείνουσα του άλλου.

3) η υποτείνουσα και η οξεία γωνία του ενός τριγώνου είναι ίσες με την υποτείνουσα και την οξεία γωνία του άλλου.

4) το σκέλος και η παρακείμενη οξεία γωνία του ενός τριγώνου είναι ίσα με το σκέλος και η παρακείμενη οξεία γωνία του άλλου.

5) το σκέλος και η απέναντι οξεία γωνία ενός τριγώνου είναι ίσα με το σκέλος και απέναντι από την οξεία γωνία του άλλου.

Υπέροχες γραμμές και τελείες σε ένα τρίγωνο.

Υψος τρίγωνο είναικάθετος,έπεσε από οποιαδήποτε κορυφή στην αντίθετη πλευρά ( ή η συνέχειά του). Αυτή η πλευρά ονομάζεταιτη βάση του τριγώνου . Τα τρία ύψη ενός τριγώνου πάντα τέμνονταισε ένα σημείοπου ονομάζεται ορθόκεντροτρίγωνο. Το ορθόκεντρο ενός οξέος τριγώνου (σημείοΟ , Εικ. 26) βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο καιορθόκεντρο αμβλείας τριγώνου (σημείοΟ , Εικ. 27) – εξω απο; Το ορθόκεντρο ενός ορθογωνίου τριγώνου συμπίπτει με την κορυφή της ορθής γωνίας.

Διάμεσος - Αυτό Ενότητα , συνδέοντας οποιαδήποτε κορυφή τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Τρεις διάμεσοι τριγώνου (AD , BE , CF , εικ.28) τέμνονται σε ένα σημείο Ο , που βρίσκεται πάντα μέσα στο τρίγωνοκαι να είσαι δικός του κέντρο βαρύτητας. Αυτό το σημείο διαιρεί κάθε διάμεσο 2:1 από την κορυφή.

Διαχωριστική γραμμή - Αυτό τμήμα διχοτόμουγωνία από πάνω σε σημείο διασταύρωση με την απέναντι πλευρά. Τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου (AD , BE , CF , εικ.29) τέμνονται σε ένα σημείο Ω, πάντα ξαπλωμένος μέσα σε ένα τρίγωνοΚαι να εισαι εγγεγραμμένο κέντρο του κύκλου(βλ. ενότητα "Εγγεγραμμένοκαι περιγεγραμμένα πολύγωνα).

Η διχοτόμος χωρίζει την απέναντι πλευρά σε μέρη ανάλογα με τις διπλανές πλευρές ; για παράδειγμα, στο Σχ.29 AE : CE = AB : BC .

Μέσος κάθετος είναι μια κάθετη που λαμβάνεται από τη μέσησημεία τμήματος (πλευρές). Τρεις κάθετες διχοτόμοι τριγώνου ΑΒΓ(KO, MO, NO, εικ.30 ) τέμνονται σε ένα σημείο Ο, που είναι κέντρο περιγεγραμμένος κύκλος (σημεία K , M , N τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνουΑΛΦΑΒΗΤΟ).

Σε ένα οξύ τρίγωνο, αυτό το σημείο βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο. σε αμβλεία - έξω? σε ορθογώνιο - στη μέση της υποτείνουσας. Ορθόκεντρο, κέντρο βάρους, κέντρο του περιγεγραμμένου και κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου συμπίπτουν μόνο σε ισόπλευρο τρίγωνο.

Πυθαγόρειο θεώρημα. Σε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του μήκουςΗ υποτείνουσα είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των ποδιών.

Η απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει προφανώς από το Σχ.31. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC με πόδια α , βκαι υποτείνουσα ντο.

Ας φτιάξουμε ένα τετράγωνοΑΚΜΒ χρησιμοποιώντας την υποτείνουσαΑΒ ως πλευρά. Επειταεπεκτείνετε τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνουαλφάβητο έτσι για να πάρετε ένα τετράγωνο CDEF , του οποίου η πλευρά είναι ίση μεα + β .Τώρα είναι σαφές ότι η περιοχή ενός τετραγώνουΤο CDEF είναι ( α+β) 2 . Από την άλλη, αυτό το εμβαδόν είναι ίσο με το άθροισμαπεριοχές τέσσερα ορθογώνια τρίγωνακαι τετράγωνο ΑΚΜΒ , δηλαδή

ντο 2 + 4 (αβ / 2) = ντο 2 + 2 αβ,

από εδώ,

ντο 2 + 2 αβ= (α+β) 2 ,

και τέλος έχουμε:

ντο 2 =ένα 2 +β 2 .

Ο λόγος διαστάσεων ενός αυθαίρετου τριγώνου.

Στη γενική περίπτωση (για ένα αυθαίρετο τρίγωνο) έχουμε:

ντο 2 =ένα 2 +β 2 – 2αβ· συν ντο,

όπου Γ - γωνία μεταξύ των πλευρώνέναΚαι σι .