Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Τετραγωνίστε γρήγορα αριθμούς χωρίς αριθμομηχανή Τι σημαίνει τετραγωνισμένος αριθμός

Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού.

Μελέτη συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού: το τετράγωνο του αθροίσματος και το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων. διαφορά τετραγώνων δύο παραστάσεων. ο κύβος του αθροίσματος και ο κύβος της διαφοράς δύο παραστάσεων. άθροισμα και διαφορά κύβων δύο παραστάσεων.

Εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού κατά την επίλυση παραδειγμάτων.

Για να απλοποιηθούν οι εκφράσεις, να παραγοντοποιηθούν τα πολυώνυμα και να φέρουν τα πολυώνυμα σε τυπική μορφή, χρησιμοποιούνται συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού πρέπει να είναι γνωστοί από καρδιάς.

Έστω a, b R. Τότε:

1. Το τετράγωνο του αθροίσματος των δύο παραστάσεων είναιτο τετράγωνο της πρώτης παράστασης συν το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης παράστασης από τη δεύτερη συν το τετράγωνο της δεύτερης παράστασης.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Η διαφορά του τετραγώνου των δύο παραστάσεων είναιτο τετράγωνο της πρώτης παράστασης μείον το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης παράστασης κατά τη δεύτερη συν το τετράγωνο της δεύτερης παράστασης.

(α - β) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Διαφορά τετραγώνωνδύο εκφράσεις ισούνται με το γινόμενο της διαφοράς μεταξύ αυτών των παραστάσεων και του αθροίσματος τους.

a 2 - b 2 = (a -b) (a + b)

4. Κύβος αθροίσματοςδύο παραστάσεων ισούται με τον κύβο της πρώτης παράστασης συν το τριπλάσιο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης από τη δεύτερη συν τρεις φορές το γινόμενο της πρώτης παράστασης και το τετράγωνο της δεύτερης συν τον κύβο της δεύτερης παράστασης.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Κύβος διαφοράςδύο παραστάσεων ισούται με τον κύβο της πρώτης παράστασης μείον το τριπλάσιο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και τη δεύτερη συν τρεις φορές το γινόμενο της πρώτης παράστασης και το τετράγωνο της δεύτερης μείον τον κύβο της δεύτερης παράστασης.

(α - β) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Άθροισμα κύβωνδύο παραστάσεις ισούνται με το γινόμενο του αθροίσματος της πρώτης και της δεύτερης παραστάσεων με το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς αυτών των παραστάσεων.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Διαφορά των κύβωνδύο παραστάσεις ισούνται με το γινόμενο της διαφοράς της πρώτης και της δεύτερης παραστάσεων από το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος αυτών των παραστάσεων.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού κατά την επίλυση παραδειγμάτων.

Παράδειγμα 1.

Υπολογίζω

α) Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων, έχουμε

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

β) Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων, παίρνουμε

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

Παράδειγμα 2.

Υπολογίζω

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφορά μεταξύ των τετραγώνων δύο παραστάσεων, παίρνουμε

Παράδειγμα 3.

Απλοποιήστε την έκφραση

(x - y) 2 + (x + y) 2

Χρησιμοποιούμε τους τύπους για το τετράγωνο του αθροίσματος και το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού σε έναν πίνακα:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(α - β) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(α - β) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Σήμερα θα μάθουμε πώς να τετραγωνίζουμε γρήγορα μεγάλες εκφράσεις χωρίς αριθμομηχανή. Σε γενικές γραμμές, εννοώ αριθμούς μεταξύ δέκα και εκατό. Οι μεγάλες εκφράσεις είναι εξαιρετικά σπάνιες σε πραγματικά προβλήματα και ούτως ή άλλως μπορείτε να μετρήσετε τιμές μικρότερες από δέκα, επειδή αυτός είναι ένας συνηθισμένος πίνακας πολλαπλασιασμού. Το υλικό του σημερινού μαθήματος θα είναι χρήσιμο για αρκετά έμπειρους μαθητές, επειδή οι αρχάριοι μαθητές απλά δεν θα εκτιμήσουν την ταχύτητα και την αποτελεσματικότητα αυτής της τεχνικής.

Αρχικά, ας καταλάβουμε περί τίνος πρόκειται. Για παράδειγμα, προτείνω να γίνει η κατασκευή μιας αυθαίρετης αριθμητικής έκφρασης, όπως κάνουμε συνήθως. Ας πούμε 34. Το σηκώνουμε, πολλαπλασιάζοντάς το με μια στήλη:

\ [((34) ^ (2)) = \ φορές \ frac (34) (\ frac (34) (+ \ frac (136) (\ frac (102) (1156)))) \]

Το 1156 είναι το τετράγωνο 34.

Το πρόβλημα με αυτή τη μέθοδο μπορεί να περιγραφεί σε δύο σημεία:

1) απαιτεί γραπτή εγγραφή.

2) είναι πολύ εύκολο να κάνεις λάθος στη διαδικασία υπολογισμού.

Σήμερα θα μάθουμε γρήγορο πολλαπλασιασμό χωρίς αριθμομηχανή, προφορικά και πρακτικά χωρίς λάθη.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν. Για να δουλέψουμε, χρειαζόμαστε τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος και της διαφοράς. Ας τα γράψουμε:

\ [(((a + β)) ^ (2)) = ((α) ^ (2)) + 2ab + ((β) ^ (2)) \]

\ [(((a-b)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) - 2ab + ((β) ^ (2)) \]

Τι μας δίνει; Το γεγονός είναι ότι οποιαδήποτε τιμή μεταξύ 10 και 100 μπορεί να αναπαρασταθεί ως ο αριθμός $ a $, ο οποίος διαιρείται με το 10, και ο αριθμός $ b $, που είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 10.

Για παράδειγμα, το 28 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((28) ^ (2)) \\ & 20 + 8 \\ & 30-2 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

Παρουσιάζουμε τα υπόλοιπα παραδείγματα με παρόμοιο τρόπο:

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((51) ^ (2)) \\ & 50 + 1 \\ & 60-9 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((42) ^ (2)) \\ & 40 + 2 \\ & 50-8 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((77) ^ (2)) \\ & 70 + 7 \\ & 80-3 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((21) ^ (2)) \\ & 20 + 1 \\ & 30-9 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((26) ^ (2)) \\ & 20 + 6 \\ & 30-4 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((39) ^ (2)) \\ & 30 + 9 \\ & 40-1 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((81) ^ (2)) \\ & 80 + 1 \\ & 90-9 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

Τι μας δίνει μια τέτοια ιδέα; Το γεγονός είναι ότι για το άθροισμα ή τη διαφορά, μπορούμε να εφαρμόσουμε τους παραπάνω υπολογισμούς. Φυσικά, για να συντομεύσουμε τους υπολογισμούς, για κάθε ένα από τα στοιχεία θα πρέπει να επιλέξουμε μια έκφραση με τον μικρότερο δεύτερο όρο. Για παράδειγμα, από τις επιλογές $20 + $8 και $30-2 $, θα πρέπει να επιλέξετε την επιλογή $30-2 $.

Ομοίως, επιλέγουμε τις επιλογές για τα υπόλοιπα παραδείγματα:

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((28) ^ (2)) \\ & 30-2 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((51) ^ (2)) \\ & 50 + 1 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((42) ^ (2)) \\ & 40 + 2 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((77) ^ (2)) \\ & 80-3 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((21) ^ (2)) \\ & 20 + 1 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((26) ^ (2)) \\ & 30-4 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((39) ^ (2)) \\ & 40-1 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((81) ^ (2)) \\ & 80 + 1 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

Γιατί πρέπει να προσπαθήσετε να μειώσετε τον δεύτερο όρο κατά τον γρήγορο πολλαπλασιασμό; Είναι όλα σχετικά με τους αρχικούς υπολογισμούς του τετραγώνου του αθροίσματος και της διαφοράς. Το θέμα είναι ότι ο όρος συν ή πλην $ 2ab $ είναι ο πιο δύσκολος υπολογισμός κατά την επίλυση πραγματικών προβλημάτων. Και αν ο πολλαπλασιαστής $ a $, πολλαπλάσιο του 10, πολλαπλασιάζεται πάντα εύκολα, τότε με τον πολλαπλασιαστή $ b $, που είναι ένας αριθμός στην περιοχή από ένα έως δέκα, πολλοί μαθητές έχουν τακτικά δυσκολίες.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Έτσι σε τρία λεπτά κάναμε τον πολλαπλασιασμό οκτώ παραδειγμάτων. Αυτό είναι λιγότερο από 25 δευτερόλεπτα για κάθε έκφραση. Στην πραγματικότητα, μετά από λίγη εξάσκηση, θα μετράτε ακόμα πιο γρήγορα. Δεν θα χρειαστείτε περισσότερο από πέντε έως έξι δευτερόλεπτα για να υπολογίσετε οποιαδήποτε διψήφια έκφραση.

Αλλά δεν είναι μόνο αυτό. Για όσους η τεχνική που παρουσιάζεται φαίνεται όχι αρκετά γρήγορη και όχι αρκετά δροσερή, προτείνω μια ακόμη πιο γρήγορη μέθοδο πολλαπλασιασμού, η οποία όμως δεν λειτουργεί για όλες τις εργασίες, αλλά μόνο για εκείνες που διαφέρουν κατά ένα από τα πολλαπλάσια του 10. Το μάθημά μας έχει τέσσερις τέτοιες τιμές: 51, 21, 81 και 39.

Φαίνεται ότι πολύ πιο γρήγορα, τα μετράμε ήδη κυριολεκτικά σε μερικές γραμμές. Αλλά, στην πραγματικότητα, μπορείτε να επιταχύνετε, και αυτό γίνεται ως εξής. Καταγράφουμε την τιμή, πολλαπλάσιο του δέκα, που είναι πιο κοντά στην επιθυμητή. Για παράδειγμα, ας πάρουμε το 51. Ξεκινώντας λοιπόν, ας φτιάξουμε πενήντα:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Τα πολλαπλάσια των δέκα είναι πολύ πιο εύκολο να τετραγωνιστούν. Τώρα προσθέτουμε απλώς πενήντα και 51 στην αρχική έκφραση. Η απάντηση είναι η ίδια:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Και έτσι με όλους τους αριθμούς που διαφέρουν κατά έναν.

Εάν η τιμή που αναζητούμε είναι μεγαλύτερη από αυτή που μετράμε, τότε προσθέτουμε αριθμούς στο τετράγωνο που προκύπτει. Εάν ο επιθυμητός αριθμός είναι μικρότερος, όπως στην περίπτωση του 39, τότε κατά την εκτέλεση της ενέργειας, πρέπει να αφαιρέσετε την τιμή από το τετράγωνο. Ας εξασκηθούμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε αριθμομηχανή:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Όπως μπορείτε να δείτε, σε όλες τις περιπτώσεις οι απαντήσεις είναι ίδιες. Επιπλέον, αυτή η τεχνική είναι εφαρμόσιμη σε οποιεσδήποτε γειτονικές τιμές. Για παράδειγμα:

\ [\ αρχή (στοίχιση) & ((26) ^ (2)) = 625 + 25 + 26 = 676 \\ & 26 = 25 + 1 \\\ τέλος (στοίχιση) \]

Ταυτόχρονα, δεν χρειάζεται να θυμόμαστε τους υπολογισμούς των τετραγώνων του αθροίσματος και της διαφοράς και να χρησιμοποιούμε καθόλου αριθμομηχανή. Η ταχύτητα της δουλειάς είναι πέρα ​​από κάθε έπαινο. Επομένως, απομνημονεύστε, εξασκηθείτε και χρησιμοποιήστε στην πράξη.

Βασικά σημεία

Με αυτήν την τεχνική, μπορείτε εύκολα να πολλαπλασιάσετε τυχόν φυσικούς αριθμούς στην περιοχή από 10 έως 100. Επιπλέον, όλοι οι υπολογισμοί γίνονται προφορικά, χωρίς αριθμομηχανή και ακόμη και χωρίς χαρτί!

Για να ξεκινήσετε, θυμηθείτε τα τετράγωνα των τιμών που είναι πολλαπλάσια του 10:

\ [\ start (στοίχιση) & ((10) ^ (2)) = 100, ((20) ^ (2)) = 400, ((30) ^ (2)) = 900, ..., \\ & ((80) ^ (2)) = 6400, ((90) ^ (2)) = 8100. \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ start (στοίχιση) & ((34) ^ (2)) = (((30 + 4)) ^ (2)) = ((30) ^ (2)) + 2 \ cdot 30 \ cdot 4+ ((4) ^ (2)) = \\ & = 900 + 240 + 16 = 1156; \\\ τέλος (στοίχιση) \]

\ [\ start (στοίχιση) & ((27) ^ (2)) = (((30-3)) ^ (2)) = ((30) ^ (2)) - 2 \ cdot 30 \ cdot 3+ ((3) ^ (2)) = \\ & = 900-180 + 9 = 729. \\\ τέλος (στοίχιση) \]

Πώς να μετράτε ακόμα πιο γρήγορα

Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! Με τη βοήθεια αυτών των εκφράσεων, μπορείτε αμέσως να τετραγωνίσετε τους αριθμούς "δίπλα" στους αριθμούς αναφοράς. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε το 152 (την τιμή αναφοράς), αλλά πρέπει να βρούμε το 142 (τον διπλανό αριθμό, που είναι ένα λιγότερο από την τιμή αναφοράς). Ας γράψουμε:

\ [\ start (στοίχιση) & ((14) ^ (2)) = ((15) ^ (2)) - 14-15 = \\ & = 225-29 = 196. \\\ τέλος (στοίχιση) \]

Προσοχή: όχι μυστικισμός! Τα τετράγωνα αριθμών που διαφέρουν κατά 1 λαμβάνονται στην πραγματικότητα από τον πολλαπλασιασμό των αριθμών περιστροφής με τον εαυτό τους, εάν αφαιρέσετε ή προσθέσετε δύο τιμές:

\ [\ start (στοίχιση) & ((31) ^ (2)) = ((30) ^ (2)) + 30 + 31 = \\ & = 900 + 61 = 961. \\\ τέλος (στοίχιση) \]

Γιατί συμβαίνει; Ας γράψουμε τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος (και της διαφοράς). Έστω $ n $ η τιμή αναφοράς μας. Τότε θεωρούνται ως εξής:

\ [\ start (στοίχιση) & (((n-1)) ^ (2)) = (n-1) (n-1) = \\ & = (n-1) \ cdot n- (n-1 ) = \\ & == ((n) ^ (2)) - n- (n-1) \\\ τέλος (στοίχιση) \]

- αυτή είναι η φόρμουλα.

\ [\ start (στοίχιση) & (((n + 1)) ^ (2)) = (n + 1) (n + 1) = \\ & = (n + 1) \ cdot n + (n + 1 ) = \\ & = ((n) ^ (2)) + n + (n + 1) \\\ τέλος (στοίχιση) \]

- παρόμοιος τύπος για αριθμούς μεγαλύτερους από 1.

Ελπίζω ότι αυτό το κόλπο θα σας εξοικονομήσει χρόνο σε όλα τα δύσκολα τεστ μαθηματικών και εξετάσεις. Και αυτό είναι όλο για μένα. Τα λέμε!

Το τετράγωνο ενός αριθμού είναι το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής πράξης που ανεβάζει αυτόν τον αριθμό στη δεύτερη δύναμη, δηλαδή πολλαπλασιάζει αυτόν τον αριθμό μία φορά μόνος του. Είναι σύνηθες να ορίσουμε μια τέτοια πράξη ως εξής: Z2, όπου Z είναι ο αριθμός μας, 2 είναι ο "τετράγωνος" βαθμός. Το άρθρο μας θα σας πει πώς να υπολογίσετε το τετράγωνο ενός αριθμού.

Υπολογίστε το τετράγωνο

Αν ο αριθμός είναι απλός και μικρός, τότε μπορεί να γίνει απλά είτε στο μυαλό, είτε χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού, που όλοι γνωρίζουμε καλά. Για παράδειγμα:

42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.

Εάν ο αριθμός είναι μεγάλος ή "τεράστιος", τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε είτε τον πίνακα με τα τετράγωνα, που όλοι έμαθαν στο σχολείο, είτε μια αριθμομηχανή. Για παράδειγμα:

122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.

Επίσης, για να λάβετε το επιθυμητό αποτέλεσμα για τα δύο παραπάνω παραδείγματα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους αριθμούς σε μια στήλη.

Για να πάρετε το τετράγωνο οποιουδήποτε κλάσματος, πρέπει:

1. Μετατρέψτε ένα κλάσμα (αν το κλάσμα έχει ακέραιο μέρος ή είναι δεκαδικό) σε ακατάλληλο κλάσμα. Εάν το κλάσμα είναι σωστό, τότε τίποτα δεν χρειάζεται να μεταφραστεί.
2. Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και τον αριθμητή με τον αριθμητή του κλάσματος.

Για παράδειγμα:

(3/2) 2 = (3/2) x (3/2) = (3x3) / (2x2) = 9/4; (5/7) 2 = (5/7) x (5/7) = (5x5) / (7x7) = 25/49; (14/17) 2 = (14x14) / (17x17) = 196/289.

Ο ευκολότερος τρόπος για να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από αυτές τις επιλογές είναι να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή. Για αυτό χρειάζεστε:

1. Πληκτρολογήστε έναν αριθμό στο πληκτρολόγιο
2. Πατήστε το κουμπί με το σύμβολο "πολλαπλασιασμός"
3. Πατήστε το κουμπί με το σύμβολο "ίσο".

Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιείτε πάντα μηχανές αναζήτησης στο Διαδίκτυο, όπως, για παράδειγμα, το Google. Για να το κάνετε αυτό, απλά πρέπει να εισαγάγετε το κατάλληλο ερώτημα στο πεδίο της μηχανής αναζήτησης και να λάβετε ένα έτοιμο αποτέλεσμα.

Για παράδειγμα: για να υπολογίσετε το τετράγωνο του αριθμού 9,17, πρέπει να πληκτρολογήσετε 9,17 * 9,17 ή 9,17 ^ 2 ή "9,17 τετράγωνο" στη μηχανή αναζήτησης. Σε οποιαδήποτε από αυτές τις επιλογές, η μηχανή αναζήτησης θα σας δώσει το σωστό αποτέλεσμα - 84.0889.

Τώρα ξέρετε πώς να υπολογίσετε το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού σας ενδιαφέρει, είτε είναι ακέραιος είτε κλάσμα, μεγάλος ή μικρός!