Τύπος εύρεσης του εμβαδού ενός ισοσκελούς τριγώνου. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου (τύποι)

Οι χαρακτηρισμοί των γραμμάτων των πλευρών και των γωνιών στο παραπάνω σχήμα αντιστοιχούν στους χαρακτηρισμούς που υποδεικνύονται στους τύπους. Έτσι αυτό θα σας βοηθήσει να τα ταιριάξετε με τα στοιχεία ενός ισοσκελούς τριγώνου. Από τις συνθήκες του προβλήματος, προσδιορίστε ποια στοιχεία είναι γνωστά, βρείτε τους χαρακτηρισμούς τους στο σχέδιο και επιλέξτε τον κατάλληλο τύπο.

Τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου

Τα παρακάτω είναι τύποι για την εύρεση του εμβαδού ενός ισοσκελούς τριγώνου: μέσω των πλευρών, της πλευράς και της γωνίας μεταξύ τους, μέσω της πλευράς, της βάσης και της γωνίας στην κορυφή, μέσω της πλευράς της βάσης και της γωνίας στη βάση κ.λπ. Απλώς βρείτε το πιο κατάλληλο στην εικόνα στα αριστερά. Για τους πιο περίεργους, το κείμενο στα δεξιά εξηγεί γιατί ο τύπος είναι σωστός και πώς ακριβώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της περιοχής.

  1. μπορεί να βρεθεί γνωρίζοντας την πλευρά και τη βάση του. Αυτή η έκφραση προέκυψε με την απλοποίηση ενός γενικότερου, καθολικού τύπου. Εάν λάβουμε ως βάση τον τύπο του Heron και στη συνέχεια λάβουμε υπόψη ότι οι δύο πλευρές του τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους, τότε η έκφραση απλοποιείται στον τύπο που παρουσιάζεται στην εικόνα.
    Ένα παράδειγμα χρήσης ενός τέτοιου τύπου δίνεται στο παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος παρακάτω.
  2. Ο δεύτερος τύπος σας επιτρέπει να βρείτε την περιοχή του μέσα από τις πλευρές και τη γωνία μεταξύ τουςείναι το μισό του τετραγώνου της πλευράς, πολλαπλασιαζόμενο με το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των πλευρών
    Αν χαμηλώσουμε νοερά το ύψος στην πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου, σημειώνουμε ότι το μήκος του θα είναι ίσο με ένα * sin β. Δεδομένου ότι το μήκος της πλευρικής πλευράς είναι γνωστό σε εμάς, το ύψος που έπεσε πάνω της είναι πλέον γνωστό, το μισό του γινόμενου τους θα είναι ίσο με το εμβαδόν του δεδομένου ισοσκελούς τριγώνου (Επεξήγηση: το πλήρες γινόμενο δίνει το εμβαδόν του το ορθογώνιο, το οποίο είναι προφανές. Το ύψος χωρίζει αυτό το ορθογώνιο σε δύο μικρά ορθογώνια, με τις πλευρές του τριγώνου να είναι οι διαγώνιες τους, που τις χωρίζουν ακριβώς στο μισό. Έτσι, το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου θα είναι ίσο με το μισό γινόμενο της πλάγιας πλευράς και του ύψους). Δείτε επίσης Formula 5
  3. Ο τρίτος τύπος δείχνει την εύρεση της περιοχής από την πλευρά, τη βάση και τη γωνία κορυφής.
    Αυστηρά μιλώντας, γνωρίζοντας μία από τις γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου, μπορείτε να βρείτε τις άλλες, επομένως η χρήση αυτού ή του προηγούμενου τύπου είναι θέμα γούστου (παρεμπιπτόντως, γι 'αυτό μπορείτε να θυμάστε μόνο μία από αυτές).
    Η τρίτη φόρμουλα έχει επίσης ένα άλλο ενδιαφέρον χαρακτηριστικό - το προϊόν αμαρτία αθα μας δώσει το μήκος του ύψους που έχει χαμηλώσει στη βάση. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε έναν απλό και προφανή τύπο 5.
  4. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνουμπορεί επίσης να βρεθεί μέσα από την πλευρά της βάσης και τη γωνία στη βάση(οι γωνίες στη βάση είναι ίσες) ως το τετράγωνο της βάσης διαιρούμενο με τέσσερις εφαπτόμενες της μισής γωνίας που σχηματίζουν οι πλευρές της. Αν κοιτάξετε προσεκτικά, γίνεται προφανές ότι η μισή βάση (b/2) πολλαπλασιασμένη με το tan(β/2) μας δίνει το ύψος του τριγώνου. Δεδομένου ότι το ύψος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι, ταυτόχρονα, διχοτόμος και διάμεσος, τότε tg(β/2) είναι ο λόγος του μισού της βάσης (b/2) προς το ύψος - tg(β/2) = (b/2)/h. Όπου h = b / (2 tan(β/2)). Ως αποτέλεσμα, η φόρμουλα θα μειωθεί και πάλι στην απλούστερη Formula 5, κάτι που είναι αρκετά προφανές.
  5. Φυσικά περιοχή ισοσκελούς τριγώνουμπορεί να βρεθεί ρίχνοντας το ύψος από την κορυφή στη βάση, με αποτέλεσμα δύο ορθογώνια τρίγωνα. Περαιτέρω - όλα είναι προφανή. Το μισό γινόμενο του ύψους και της βάσηςκαι υπάρχει ο απαιτούμενος χώρος. Για ένα παράδειγμα χρήσης αυτού του τύπου, δείτε το πρόβλημα παρακάτω (2η μέθοδος λύσης)
  6. Αυτός ο τύπος προκύπτει εάν προσπαθήσετε να βρείτε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Για να γίνει αυτό, εκφράζουμε το ύψος από τον προηγούμενο τύπο, που είναι ταυτόχρονα το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται από την πλευρά, το ήμισυ της βάσης και του ύψους του, μέσω του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. Η πλάγια πλευρά είναι η υποτείνουσα, επομένως, από το τετράγωνο της πλάγιας πλευράς (α) αφαιρούμε το τετράγωνο του δεύτερου σκέλους. Εφόσον είναι ίσο με το μισό της βάσης (b/2), το τετράγωνό του θα είναι ίσο με b 2 /4. Η εξαγωγή της ρίζας από αυτήν την έκφραση θα μας δώσει το ύψος. Όπως φαίνεται στον Τύπο 6. Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιαστούν επί δύο και στη συνέχεια τα δύο του αριθμητή εισάγονται κάτω από το σύμβολο της ρίζας, παίρνουμε τη δεύτερη έκδοση του ίδιου τύπου, η οποία γράφεται μέσω του πρόσημου ίσου.
    Παρεμπιπτόντως, οι πιο έξυπνοι μπορούν να δουν ότι αν ανοίξετε τις αγκύλες στη Formula 1, θα μετατραπεί σε Formula 6. Ή αντίστροφα, η διαφορά των τετραγώνων δύο αριθμών, συνυπολογιζόμενη, θα μας δώσει το αρχικό, πρώτο.

Ονομασίες, που εφαρμόστηκαν στους τύπους στο σχήμα:

ένα- το μήκος μιας από τις δύο ίσες πλευρές του τριγώνου

σι- μήκος βάσης

α - το μέγεθος μιας από τις δύο ίσες γωνίες στη βάση

β - το μέγεθος της γωνίας μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου και της απέναντι από τη βάση του

η- το μήκος του ύψους που χαμηλώνει από την κορυφή ενός ισοσκελούς τριγώνου στη βάση

Σπουδαίος. Προσοχή στους χαρακτηρισμούς των μεταβλητών! Μην μπερδεύεστε α Και β, και έναΚαι σι!

Σημείωση. Αυτό είναι μέρος ενός μαθήματος με προβλήματα γεωμετρίας (εμβαδόν τομής ισοσκελούς τριγώνου). Εδώ είναι προβλήματα που είναι δύσκολο να λυθούν. Εάν θέλετε να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας που δεν είναι εδώ, γράψτε σχετικά στο φόρουμ. Για να υποδείξετε την ενέργεια εξαγωγής μιας τετραγωνικής ρίζας σε λύσεις προβλημάτων, χρησιμοποιείται το σύμβολο √ ή sqrt(), με τη ριζική έκφραση να υποδεικνύεται σε παρένθεση.

Εργο

Η πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 13 cm και η βάση είναι 10 cm. Βρείτε την περιοχήισοσκελές τρίγωνο.



Λύση.

1η μέθοδος. Ας εφαρμόσουμε τον τύπο του Heron. Δεδομένου ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, θα έχει απλούστερη μορφή (δείτε τον τύπο 1 στη λίστα των τύπων παραπάνω):

όπου a είναι το μήκος των πλευρών και b το μήκος της βάσης.
Αντικαθιστώντας τις τιμές των μηκών των πλευρών του τριγώνου από τη δήλωση προβλήματος, λαμβάνουμε:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5)(13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 cm 2

2η μέθοδος. Ας εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα
Ας υποθέσουμε ότι δεν θυμόμαστε τον τύπο που χρησιμοποιήθηκε στην πρώτη λύση. Επομένως, ας χαμηλώσουμε το ύψος BK από την κορυφή Β στη βάση AC.
Εφόσον το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου διαιρεί τη βάση του στο μισό, το μήκος του μισού της βάσης θα είναι ίσο με
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 cm.

Το ύψος με τη μισή βάση και την πλευρά του ισοσκελούς τριγώνου σχηματίζει ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΚ. Σε αυτό το τρίγωνο γνωρίζουμε την υποτείνουσα ΑΒ και το σκέλος ΑΚ. Ας εκφράσουμε το μήκος του δεύτερου σκέλους μέσα από το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Δεν προκύπτει μόνο για μαθητές ή φοιτητές, αλλά και στην πραγματική, πρακτική ζωή. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια της κατασκευής καθίσταται απαραίτητο να τελειώσει η πρόσοψη που βρίσκεται κάτω από την οροφή. Πώς να υπολογίσετε την ποσότητα του υλικού που απαιτείται;

Οι τεχνίτες που εργάζονται με ύφασμα ή δέρμα αντιμετωπίζουν συχνά παρόμοια προβλήματα. Άλλωστε πολλά από τα μέρη που πρέπει να κόψει ο τεχνίτης έχουν ακριβώς το σχήμα ισοσκελούς τριγώνου.

Έτσι, υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βοηθήσετε να βρείτε την περιοχή ενός ισοσκελούς τριγώνου. Το πρώτο είναι ο υπολογισμός του με βάση και ύψος.

Για να λύσουμε, πρέπει να κατασκευάσουμε, για λόγους σαφήνειας, ένα τρίγωνο MNP με βάση MN και ύψος PO. Τώρα ας ολοκληρώσουμε κάτι στο σχέδιο: από το σημείο P τραβήξτε μια γραμμή παράλληλη στη βάση και από το σημείο M - μια γραμμή παράλληλη προς το ύψος. Ας ονομάσουμε το σημείο τομής Q. Για να μάθετε πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, πρέπει να λάβετε υπόψη το τετράπλευρο MOPQ που προκύπτει, στο οποίο η πλευρική πλευρά του τριγώνου MP που μας δίνεται είναι ήδη η διαγώνιος του.

Ας αποδείξουμε πρώτα ότι αυτό είναι ένα ορθογώνιο. Εφόσον το κατασκευάσαμε μόνοι μας, γνωρίζουμε ότι οι πλευρές MO και OQ είναι παράλληλες. Και οι πλευρές QM και OP είναι επίσης παράλληλες. Η γωνία POM είναι ορθή, επομένως η γωνία OPQ είναι επίσης ορθή. Επομένως, το τετράπλευρο που προκύπτει είναι ένα ορθογώνιο. Η εύρεση του εμβαδού του δεν είναι δύσκολη· ισούται με το γινόμενο PO και OM. Το OM είναι το ήμισυ της βάσης αυτού του τριγώνου MPN. Από αυτό προκύπτει ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου που κατασκευάσαμε είναι ίσο με το μισό γινόμενο του ύψους του ορθογωνίου τριγώνου και της βάσης του.

Το δεύτερο στάδιο της εργασίας που έχουμε μπροστά μας, πώς να προσδιορίσουμε το εμβαδόν ενός τριγώνου, είναι να αποδείξουμε το γεγονός ότι το ορθογώνιο που έχουμε αποκτήσει σε εμβαδόν αντιστοιχεί στο δεδομένο ισοσκελές τρίγωνο, δηλαδή ότι το εμβαδόν του το τρίγωνο είναι επίσης ίσο με το μισό γινόμενο της βάσης και του ύψους.

Ας συγκρίνουμε πρώτα το τρίγωνο PON και PMQ. Είναι και τα δύο ορθογώνια, αφού η ορθή γωνία στο ένα από αυτά σχηματίζεται από το ύψος και η ορθή γωνία στο άλλο είναι η γωνία του ορθογωνίου. Οι υποτείνουσες σε αυτές είναι οι πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου, επομένως είναι και ίσες. Οι πλευρές PO και QM είναι επίσης ίσες με τις παράλληλες πλευρές του ορθογωνίου. Αυτό σημαίνει ότι τόσο η περιοχή του τριγώνου PON όσο και το τρίγωνο PMQ είναι ίσα μεταξύ τους.

Το εμβαδόν του ορθογωνίου QPOM είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων PQM και MOP. Αντικαθιστώντας το ενσωματωμένο τρίγωνο QPM με το τρίγωνο PON, λαμβάνουμε συνολικά το τρίγωνο που μας δόθηκε για να εξαγάγουμε το θεώρημα. Τώρα ξέρουμε πώς να βρούμε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου με βάση τη βάση και το ύψος του - υπολογίστε το ημιπροϊόν τους.

Αλλά μπορείτε να μάθετε πώς να βρείτε την περιοχή ενός ισοσκελούς τριγώνου χρησιμοποιώντας τη βάση και την πλευρά του. Υπάρχουν επίσης δύο επιλογές εδώ: το θεώρημα του Ήρωνα και το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ας εξετάσουμε μια λύση χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Για παράδειγμα, ας πάρουμε το ίδιο PMN με ύψος PO.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο POM MP είναι η υποτείνουσα. Το τετράγωνό του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων του ΠΟ και του ΟΜ. Και επειδή το OM είναι το ήμισυ της βάσης που γνωρίζουμε, μπορούμε εύκολα να βρούμε το OM και να τετραγωνίσουμε τον αριθμό. Αφαιρώντας τον αριθμό που προκύπτει από το τετράγωνο της υποτείνουσας, διαπιστώνουμε με τι ισούται το τετράγωνο του άλλου σκέλους, το οποίο σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι το ύψος. Έχοντας βρει από τη διαφορά και ανακαλύψαμε το ύψος ενός ορθογώνιου τριγώνου, μπορούμε να δώσουμε μια απάντηση στην εργασία που έχουμε μπροστά μας.

Απλά πρέπει να πολλαπλασιάσετε το ύψος με τη βάση και να διαιρέσετε το αποτέλεσμα στο μισό. Εξηγήσαμε γιατί πρέπει να γίνει αυτό στην πρώτη έκδοση της απόδειξης.

Συμβαίνει ότι πρέπει να κάνετε υπολογισμούς στην πλευρά και τη γωνία. Στη συνέχεια, βρίσκουμε το ύψος και τη βάση χρησιμοποιώντας τον τύπο με ημίτονο και συνημίτονα και, πάλι, τα πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το αποτέλεσμα στο μισό.

Για να βοηθήσουν το παιδί τους με τις εργασίες στο σπίτι, οι γονείς πρέπει να γνωρίζουν πολλά πράγματα οι ίδιοι. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, πώς διαφέρει η συμμετοχική φράση από τη συμμετοχική φράση, ποια είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας;

Ο γιος ή η κόρη σας μπορεί να έχουν προβλήματα με οποιαδήποτε από αυτές τις ερωτήσεις και θα απευθυνθούν σε εσάς για διευκρίνιση. Για να μην πέσετε με τα μούτρα και να διατηρήσετε την αυθεντία σας στα μάτια των παιδιών, αξίζει να ανανεώσετε ορισμένα στοιχεία του σχολικού προγράμματος.

Ας πάρουμε ως παράδειγμα την ερώτηση ενός ισοσκελούς τριγώνου. Η γεωμετρία στο σχολείο είναι δύσκολη για πολλούς ανθρώπους και μετά το σχολείο ξεχνιέται πιο γρήγορα.

Αλλά όταν τα παιδιά σας μπουν στην 8η τάξη, θα πρέπει να θυμάστε τους τύπους σχετικά με τα γεωμετρικά σχήματα. Ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα από τα πιο απλά σχήματα όσον αφορά την εύρεση των παραμέτρων του.

Αν όλα όσα διδάξατε κάποτε για τα τρίγωνα έχουν ξεχαστεί, ας θυμηθούμε. Ισοσκελές τρίγωνο είναι αυτό στο οποίο δύο πλευρές έχουν το ίδιο μήκος. Αυτές οι ίσες ακμές ονομάζονται πλάγιες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου. Η τρίτη πλευρά είναι το θεμέλιο του.

Υπάρχει μια επιλογή στην οποία και οι 3 πλευρές είναι ίσες. Ονομάζεται ισόπλευρο τρίγωνο. Όλοι οι τύποι που εφαρμόζονται σε ένα ισοσκελές ισχύουν για αυτό και, εάν είναι απαραίτητο, οποιαδήποτε από τις πλευρές του μπορεί να ονομαστεί βάση.

Για να βρούμε την περιοχή πρέπει να χωρίσουμε τη βάση στη μέση. Μια ευθεία γραμμή που κατεβαίνει στο σημείο που προκύπτει από την κορυφή που συνδέει τις πλευρές θα τέμνει τη βάση σε ορθή γωνία.

Αυτή είναι η ιδιότητα τέτοιων τριγώνων: η διάμεσος, δηλαδή η ευθεία από την κορυφή έως το μέσο της απέναντι πλευράς, σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι η διχοτόμος του (ευθεία γραμμή που διαιρεί τη γωνία στο μισό) και το υψόμετρο (κάθετο στην απέναντι πλευρά).

Για να βρείτε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το ύψος του με τη βάση του και στη συνέχεια να διαιρέσετε αυτό το προϊόν στο μισό.

Για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου, ο τύπος είναι απλός: S=ah/2, όπου a είναι το μήκος της βάσης, h το ύψος.

Αυτό μπορεί να εξηγηθεί ξεκάθαρα ως εξής. Κόψτε ένα παρόμοιο σχήμα από χαρτί, βρείτε τη μέση της βάσης, τραβήξτε ένα ύψος σε αυτό το σημείο και κόψτε προσεκτικά κατά μήκος αυτού του ύψους. Θα λάβετε δύο ορθογώνια τρίγωνα.

Αν τα τοποθετήσουμε το ένα δίπλα στο άλλο με τις υποτείνυσές τους (μακριές πλευρές), θα σχηματίσουμε ένα παραλληλόγραμμο, του οποίου η μια πλευρά θα είναι ίση με το ύψος της φιγούρας μας, και η άλλη με το μισό της βάσης του. Δηλαδή, ο τύπος θα επιβεβαιωθεί.

Η οπτική επίδειξη είναι πολύ σημαντική. Εάν το παιδί σας μάθει να μην απομνημονεύει χωρίς σκέψη φόρμουλες, αλλά να κατανοεί το νόημά τους, η γεωμετρία δεν θα του φαίνεται πλέον δύσκολο θέμα.

Ο καλύτερος μαθητής στην τάξη δεν είναι ο μαθητής που απομνημονεύει, αλλά ο μαθητής που σκέφτεται και, κυρίως, καταλαβαίνει.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος εάν μια γωνία είναι ορθή;

Μπορεί να αποδειχθεί ότι η γωνία μεταξύ των πλευρών ενός δεδομένου τριγωνικού σχήματος είναι 90°. Τότε αυτό το τρίγωνο θα ονομάζεται ορθογώνιο τρίγωνο, οι πλευρές του θα ονομάζονται σκέλη και η βάση του θα ονομάζεται υποτείνουσα.

Η περιοχή ενός τέτοιου σχήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την παραπάνω μέθοδο (βρείτε το μέσο της υποτείνουσας, σχεδιάστε το ύψος σε αυτό, πολλαπλασιάστε το με την υποτείνουσα, διαιρέστε το στο μισό). Αλλά το πρόβλημα μπορεί να λυθεί πολύ πιο απλά.

Ας ξεκινήσουμε με σαφήνεια. Ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο είναι ακριβώς μισό τετράγωνο όταν κόβεται διαγώνια. Και αν το εμβαδόν ενός τετραγώνου βρεθεί ανυψώνοντας απλώς την πλευρά του στη δεύτερη δύναμη, τότε το εμβαδόν του σχήματος που χρειαζόμαστε θα είναι το μισό μεγαλύτερο.

S=a 2 /2, όπου a είναι το μήκος του ποδιού.

Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του τετραγώνου της πλευράς του. Το πρόβλημα αποδείχθηκε ότι δεν ήταν τόσο σοβαρό όσο φαινόταν με την πρώτη ματιά.

Η επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων δεν απαιτεί υπεράνθρωπες προσπάθειες και μπορεί κάλλιστα να είναι χρήσιμη όχι μόνο για τα παιδιά, αλλά και για εσάς όταν βρίσκετε απαντήσεις σε τυχόν πρακτικές ερωτήσεις.

Η γεωμετρία είναι μια ακριβής επιστήμη. Εάν εμβαθύνετε στα βασικά του, θα υπάρξουν λίγες δυσκολίες με αυτό και η λογική των αποδεικτικών στοιχείων μπορεί να αιχμαλωτίσει πολύ το παιδί σας. Απλά πρέπει να τον βοηθήσετε λίγο. Όσο καλός δάσκαλος κι αν αποκτήσει, η βοήθεια των γονιών δεν θα είναι περιττή.

Και στην περίπτωση της μελέτης της γεωμετρίας, η μέθοδος που αναφέρθηκε παραπάνω θα είναι πολύ χρήσιμη - σαφήνεια και απλότητα στην εξήγηση.

Ταυτόχρονα, δεν πρέπει να ξεχνάμε την ακρίβεια των σκευασμάτων, διαφορετικά μπορούμε να κάνουμε αυτή την επιστήμη πολύ πιο περίπλοκη από ό,τι είναι στην πραγματικότητα.

    Μάθετε πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου.Τα τετράγωνα και τα ορθογώνια είναι παραλληλόγραμμα, όπως κάθε άλλο τετράπλευρο σχήμα στο οποίο οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου υπολογίζεται με τον τύπο: S = bh, όπου «b» είναι η βάση (η κάτω πλευρά του παραλληλογράμμου), «h» είναι το ύψος (η απόσταση από την κορυφή προς την κάτω πλευρά· το ύψος τέμνει πάντα τη βάση υπό γωνία 90°).

    • Στα τετράγωνα και στα ορθογώνια, το ύψος είναι ίσο με την πλευρά επειδή οι πλευρές τέμνουν το πάνω και το κάτω μέρος σε ορθή γωνία.

  1. Συγκρίνετε τρίγωνα και παραλληλόγραμμα.Υπάρχει μια απλή σύνδεση μεταξύ αυτών των στοιχείων. Εάν οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο κόβεται διαγώνια, θα ληφθούν δύο ίσα τρίγωνα. Ομοίως, αν προσθέσετε δύο ίσα τρίγωνα μαζί, θα έχετε ένα παραλληλόγραμμο. Επομένως, το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου υπολογίζεται από τον τύπο: S = ½bh, που είναι το μισό του εμβαδού του παραλληλογράμμου.

    Βρείτε τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου.Τώρα γνωρίζετε τον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου. Μένει να μάθουμε τι είναι η "βάση" και το "ύψος". Η βάση (που συμβολίζεται ως "β") είναι η πλευρά που δεν είναι ίση με τις άλλες δύο (ίσες) πλευρές.

  2. Χαμηλώστε την κάθετη στη βάση.Φτιάξτε το από την κορυφή του τριγώνου, που είναι απέναντι από τη βάση. Θυμηθείτε ότι μια κάθετη τέμνει τη βάση σε ορθή γωνία. Αυτή η κάθετη είναι το ύψος του τριγώνου (συμβολίζεται ως "h"). Μόλις βρείτε την τιμή του "h", μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου.

    • Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, το υψόμετρο τέμνει τη βάση ακριβώς στη μέση.

  3. Κοιτάξτε το μισό ενός ισοσκελούς τριγώνου.Παρατηρήστε ότι το υψόμετρο έχει χωρίσει το ισοσκελές τρίγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα. Δείτε ένα από αυτά και βρείτε τις πλευρές του:

    • Η κοντή πλευρά είναι ίση με το μισό της βάσης: b 2 (\displaystyle (\frac (b)(2))).
    • Η δεύτερη πλευρά είναι το ύψος "h".
    • Η υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι η πλευρική πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου. Ας το συμβολίσουμε ως «σ».

  4. Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα.Εάν είναι γνωστές δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, η τρίτη πλευρά του μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: (πλευρά 1) 2 + (πλευρά 2) 2 = (υποτείνουσα) 2. Στο παράδειγμά μας, το Πυθαγόρειο θεώρημα θα γραφτεί ως εξής: .

    • Πιθανότατα, γνωρίζετε το Πυθαγόρειο θεώρημα με τον ακόλουθο συμβολισμό: a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Χρησιμοποιούμε τις λέξεις πλευρά 1, πλευρά 2 και υποτείνουσα για να αποτρέψουμε τη σύγχυση με τις παραδειγματικές μεταβλητές.

  5. Υπολογίστε την τιμή του "h".Θυμηθείτε ότι στον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου, υπάρχουν οι μεταβλητές "b" και "h", αλλά η τιμή του "h" είναι άγνωστη. Ξαναγράψτε τον τύπο για να υπολογίσετε το "h":

    • (b 2) 2 + h 2 = s 2 (\displaystyle ((\frac (b)(2)))^(2)+h^(2)=s^(2))
      h 2 = s 2 − (b 2) 2 (\displaystyle h^(2)=s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2))
      .

  6. Αντικαταστήστε τις γνωστές τιμές στον τύπο και υπολογίστε το "h".Αυτός ο τύπος μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε ισοσκελές τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι γνωστές. Αντικαταστήστε την τιμή της βάσης με το "b" και την τιμή της πλευράς με το "s" για να βρείτε την τιμή του "h".

    • Στο παράδειγμά μας: b = 6 cm; s = 5 cm.
    • Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο:
      h = (s 2 − (b 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2)))
      h = (5 2 − (6 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())5^(2)-((\frac (6)(2)))^(2)))
      h = (25 − 3 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-3^(2)))
      h = (25 − 9) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-9))
      h = (16) (\displaystyle h=(\sqrt (())16))
      h = 4 (\displaystyle h=4)εκ.

  7. Συνδέστε τις τιμές βάσης και ύψους στον τύπο για να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου.Τύπος: S = ½bh; Αντικαταστήστε τις τιμές "b" και "h" σε αυτό και υπολογίστε την περιοχή. Φροντίστε να γράψετε τετράγωνες μονάδες στην απάντησή σας.

    • Στο παράδειγμά μας, η βάση είναι 6 cm και το ύψος είναι 4 cm.
    • S = ½bh
      S = ½ (6 cm) (4 cm)
      S = 12 cm 2.

  8. Ας δούμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα.Στις περισσότερες περιπτώσεις, θα σας ανατεθεί ένα πιο δύσκολο έργο από αυτό που συζητήθηκε στο παράδειγμά μας. Για να υπολογίσετε το ύψος, πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα, η οποία, κατά κανόνα, δεν λαμβάνεται εξ ολοκλήρου. Σε αυτήν την περίπτωση, γράψτε την τιμή του ύψους ως απλοποιημένη τετραγωνική ρίζα. Εδώ είναι ένα νέο παράδειγμα:

    • Υπολογίστε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου του οποίου οι πλευρές είναι 8 cm, 8 cm, 4 cm.
    • Για τη βάση "b", επιλέξτε την πλευρά που είναι 4 cm.
    • Υψος: h = 8 2 − (4 2) 2 (\displaystyle h=(\sqrt (8^(2)-((\frac (4)(2)))^(2))))
      = 64 − 4 (\displaystyle =(\sqrt (64-4)))
      = 60 (\displaystyle =(\sqrt (60)))
    • Απλοποιήστε την τετραγωνική ρίζα χρησιμοποιώντας παράγοντες: h = 60 = 4 ∗ 15 = 4 15 = 2 15 . (\displaystyle h=(\sqrt (60))=(\sqrt (4*15))=(\sqrt (4))(\sqrt (15))=2(\sqrt (15)).)
    • μικρό = 1 2 b h (\displaystyle =(\frac (1)(2))bh)
      = 1 2 (4) (2 15) (\displaystyle =(\frac (1)(2))(4)(2(\sqrt (15))))
      = 4 15 (\displaystyle =4(\sqrt (15)))
    • Η απάντηση μπορεί να γραφτεί με τη ρίζα ή να εξαγάγετε τη ρίζα σε μια αριθμομηχανή και να γράψετε την απάντηση ως δεκαδικό κλάσμα (S ≈ 15,49 cm 2).
mob_info