Примери за решения на диференциални уравнения от втора поръчка от метода на Лагранж. Линейни диференциални уравнения на втория ред. Неформалната система на решенията решава системата на уравнения от втора употреба

В теорията на системите на линейни уравнения и в някои други въпроси е удобно да се използва концепцията за детерминант или детерминант.

Помислете за четири номера, записани под формата на квадратна таблица (матрица) за две в линии и две в колони. Детерминат или детерминант, съставен от номерата на тази таблица, се нарича номерът, посочен, както следва:

Такъв детерминант се нарича детерминант в втория ред, тъй като се вземат таблица от два реда и две колони, за да се компилира. Цифрите, от които е компилиран детерминанта, се нарича неговите елементи, а се казва, че елементите са основният диагонал на детерминанта и елементите са неговата странична диагонална. Може да се види, че детерминанта е равен на разликата в произведенията на елементите, които стоят на основните и страничните диагонали.

Пример 1. Изчислете следните детерминанти на втори ред:

Решение, а) по дефиниция имаме

С помощта на детерминанти равенството може да бъде равенство (66.6), (66.7) и (66.8) пренаписване, промяна на техните части, така че:

Имайте предвид, че детерминантите са много споменати от системни коефициенти (66.2).

Всъщност определянето се състои от коефициенти в тази система. Той се нарича основен детерминант на системата (66.2). Ние наричаме детерминантите за неизвестни X и Y, съответно. Възможно е да се формулира следното правило на тяхното съставяне: детерминанта за всеки от неизвестните се получава от основния детерминант, ако колоната коефициент в това неизвестна е да бъде заменена с колона от свободни членове (взети от правилните части на. \\ T Системни уравнения).

Пример 2. Система (66.12) за решаване с помощта на детерминанти.

Решение. Ние събираме и изчисляваме основния детерминант на тази система:

Сега тя се заменя с колоната на коефициентите в X (първа колона) със свободни членове. Получаваме определянето на X:

По същия начин откриваме

От тук по формули (66.11) получаваме

Стигнахме до вече известното решение (1, -1).

Сега провеждаме проучване на системата от линейни уравнения (66.2). За да направите това, ние ще се върнем към равенство (66.9) и (66.10) и ще разграничим два случая:

Нека, тогава, както вече е отбелязано, формулите (66.11) дават единственото решение на системата (66.2). Така че, ако основният детерминант на системата е нула, системата има единичен разтвор, определен чрез формули (66.11); Такава система се нарича определена.

2) Нека сега. В зависимост от стойностите ще разграничим два случая.

а) поне един от детерминантите се различават от нула; След това системата (66.2) няма решения. Наистина, нека например. Равенството (66.9) не може да бъде изпълнено с всякаква стойност, тъй като това равенство се получава като следствие от системата (66.2), системата няма решения. Такава система се нарича непълна.

б) и двата детерминанта са нула; Равенството (66.9) и (66.10) са изпълнени идентични и проучване на системата (66.2) не се използват.

Доказваме, че ако поне един от коефициентите в системата неизвестен в системата (66.2) се различава от нула, системата има безкраен набор от решения. За да се уверите, че да кажем, например, това. От връзки

и от записването на второто уравнение на системата (66.2), замествайки изразите на коефициентите

ние откриваме, че тя се различава от първото уравнение само един мултипликатор, който е, по същество съвпада с него (еквивалент на него). Системата (66.2) се свежда до едно чрез първото уравнение и определя безброй решения (такава система се нарича несигурна). Възможно е по принцип такъв екстремен случай като нула за равенство на всички коефициенти на неизвестни (може да се срещне в изследването на системите с коефициенти на надпис). Такава система

всички детерминанти са нула: обаче, тя е непълна, когато или.

Ще обобщим изследването на системата от линейни уравнения (66.2). Има три вида такива системи:

1) Ако системата е дефинирана, има едно решение (66.11).

2) Ако, но след това системата е неразбираема, решенията нямат.

3) Ако поне един от коефициентите на неизвестен е нула), тогава системата е неопределена, има безкраен набор от разтвори (намалява до едно уравнение).

Равенство нулев детерминант,

означава пропорционалност на елементите в неговите линии (и обратно):

Поради това, признаци, които разграничават линейните системи от различни типове (дефинирани, неопределени) могат да бъдат формулирани по отношение на пропорции между системните коефициенти (без привличане на детерминанти).

Условието се заменя така, че изискването за пропорционалност (непропорционалност) на коефициентите на неизвестно:

В случая не само коефициентите са пропорционални на неизвестни, но и безплатни членове:

(Тези пропорции се получават, например, от (67.6)). Ако, например, преди, тогава от (66.6) виждаме, че свободните членове не са пропорционални на коефициентите на неизвестни. Така:

1) Ако коефициентите не са пропорционални на неизвестното:

тази система е дефинирана.

2) Ако коефициентите са пропорционални на неизвестни, и свободните членове не са пропорционални на тях:

тази система е непълна.

3) Ако коефициентите са пропорционални на неизвестни и свободни членове:

след това системата е несигурна.

Изследването на системите на линейни уравнения с две неизвестни разрешителни са прости геометрични интерпретации. Всяко линейно уравнение на формата (38.4) определя директната линия върху координатната равнина. Следователно уравненията на системата (66.2) могат да интерпретират като уравнения на две директни на равнината, а задачата за решаване на системата е като задача за намиране на точката на пресичане на тези директни.

Ясно е, че са възможни три случая: 1) данните са две прави линии пресичат (Фиг. 61, а); Този случай съответства на конкретна система; 2) данните са два прав паралел (фиг. 61, б); Този случай съответства на непълната система;

3) директните данни съвпадат (фиг. 61, в); Този случай съответства на несигурна система: всяка точка "два пъти посочена" директно ще бъде решаването на системата.

Пример 3. Разгледайте линейни системи:

Решение, а) съставлява и изчислява основния детерминант на тази система.

Определение. Определящ на втория ред

(*)

; ;

Теоретично са възможни следните три случая.

1. Ако, тогава системата (*) има едно решение, което може да бъде намерено съгласно формули, които се наричат \u200b\u200bроботни формули: ,.

2. Ако и (тогава) системата (*) няма решения.

3. Ако и (след това), системата (*) има безкраен набор от разтвори (а именно, всеки разтвор на едно уравнение на системата е и решава друго уравнение).

Коментар. Детерминатът се нарича основен детерминант на системата (*). Системата може да бъде решена според формулите на Кримма само при условие. В противен случай трябва да използвате други методи, като например Mauss метод.

Определянето на третия ред. Разтвор на системата от три линейни уравнения с три променливи съгласно Cramer Formulas

Определение. Детерминант на трета поръчка Номерът се нарича и се изчислява, както следва:

Нека да бъде дадена система от уравнения от типа (*)

Въвеждаме следните детерминанти за разглеждане:

- основен детерминант на системата (*);

; ; .

При решаване на системата са възможни следните случаи.

1. Ако системата (*) има едно решение, което може да бъде намерено чрез формули, които се наричат \u200b\u200bрозетни формули: .

2. Ако е невъзможно да се реши системата (1) по метода на Cramer.

Забележка 1. В случая на системата може да няма решения или да има безкрайни решения. За по-подробно проучване и намиране на система за общо решение, можете да използвате, например, метода Гаус.

Разтвор на системата от три линейни уравнения с три променливи

От Гаус

Същността на метода Гаус ще обмисли конкретен пример.

Пример. Решаване на системата на уравненията: (*)

Директен ход. Тази система се показва на триъгълните видове в метода на алгебрично добавяне.

На първия етап ние изключваме от второто и третото уравнения на системата, съдържаща променлива. По-добре е да се използва и в двата случая едно и също уравнение (ще вземем първото).

Получаваме:

Първото уравнение на системата ще пренапише непроменено, а второто и третото уравнение се заменят с получените уравнения.

Системата ще бъде под формата:

На втория етап терминът, съдържащ променлива, елиминира от третото уравнение. Ние използваме второто уравнение за това.

Първите две уравнения на системата ще бъдат представени непроменени, а третото уравнение се заменя с полученото уравнение.

Получаваме система за триъгълна тип:

Връщане. Постоянно откриваме неизвестна, започвайки от третото уравнение.

От третото уравнение на системата ние намираме стойността на променливата: .

Подлести на стойността във второто уравнение на системата, ние получаваме къде да намерим стойността на променливата: .

Заместване на намерените стойности и в първото уравнение на системата, ние получаваме там, където намираме стойността на променливата: .

Отговор: .

22. Решение на линейно неравенство

	Примери
1. Ако тогава.
2. Ако тогава.
3. Ако след това.
4. Ако, тогава неравенството няма решения.	Неравенства и нямат решения.

23. Линейно неравенство

Когато решават неравенството, са възможни следните случаи:	Примери
1. Ако тогава.
2. Ако тогава.
3. Ако, неравенството няма решения.	Неравенството не е решения.
4. Ако тогава.

24. Разтвор на линейните неравенства с една променлива

Системата на неравенствата - Това са две или повече неравенства, за които се търсят общи решения.

Чрез решаване на системата на неравенство Тя се нарича общо решение на всички неравенства в системата.

Теоретично възможните случаи дори и за система от две неравенства са много, така че обмислят основните случаи за системата от две прости неравенства.

Пример 1.. Решаване на системата на неравенствата:

Отговор: .

Пример 2.. Решаване на системата на неравенствата:

Ще изобразя графично решенията на неравенствата.

Отговор: .

Пример 3.. Решаване на системата на неравенствата:

Ще изобразя графично решенията на неравенствата.

Отговор: .

Пример 4.Решаване на системата на неравенствата:

Ще изобразя графично решенията на неравенствата.

Отговор: Системата няма решения.

25. Решение на непълни квадратни уравнения, \\ t

Квадратно уравнение Наречена уравнение на изгледа .

Се нарича квадратно уравнение непълнаАко поне един от коефициентите или е нула.

Всяко от непълните уравнения може да бъде решено по обща формула. Но е по-удобно да се използват частни методи.

Случай 1.

Лявата му част може да бъде разложена на факторите :. Известно е, че работата е нула, ако и само ако поне един от мултипликателите е нула. Получаваме: или когато се дължи на състоянието, следва това.

Изход:уравнението винаги има две валидни корени ,. \\ t

Пример 1. Решаване на уравнение.

Решение: или , .

Случай 2. Ако уравнението е изглед.

Тогава. От тогава.

Ако това уравнение няма валидни корени (както).

Ако уравнението има две валидни корени.

Пример 2. Решаване на уравнение.

Решение:. Тъй като това уравнение няма валидни корени.

Пример 3. Решаване на уравнение.

Решение: .

Случай 3. Ако уравнението приема формата.

След това, или следователно уравнението има две равни корен.

Пример 4. Решаване на уравнение.

Решение: .

26. Разтвор на намаленото квадратно уравнение

Посоченото квадратно уравнение се нарича квадратно уравнение , чийто старши коефициент.

За да намерите корените си, маркирайте пълен квадрат с променлива х.. Получаваме:

.

Номерът се нарича дискриминант на даденото квадратно уравнение. Броят на валидните корени на уравнението зависи от дискриминационния знак.

Ако уравнението няма валидни корени, оттогава.

Ако тогава , , това означава, че уравнението има две валидни корени. и .

Коментар. Формула Особено удобно е да се използва, ако коефициентът на P е четен номер.

Пример. Решаване на уравнение .

Решение.Оттогава, тогава .

Тогава , .

Отговор: , .

27. Формули на Vieta за даденото квадратно уравнение

предоставиха две валидни корени и .

Тогава ,

Така се доказва теоремата, която се нарича теоремата на Виета.

Теорема. Ако корените на даденото квадратно уравнение тогава равенството е просто.

Тези равенства се наричат \u200b\u200bФормули на Виета.

Коментар. Формулите на Vieta са валидни и ако уравнението Той има интегрирани конюгирани корени.

Пример. В предишния параграф показа, че уравнението Има корени. Тогава.

От тогава , .

28. Решение на квадратното уравнение

Тъй като, чрез определяне на квадратното уравнение, тя може да бъде разделена на действие на уравнението. Получаваме дадено квадратно уравнение , в който , . Тогава корените му могат да бъдат намерени по формулата . Получаваме:

Номерът се нарича дискриминант на квадратно уравнение (и дискриминацията на квадрат три декара). Дискриминацията показва колко валидни корени имат това уравнение.

Ако, тогава уравнението То има две неравномерни валидни корен и ().

Ако, тогава уравнението То има две равнопоставени корен.

Ако, тогава уравнението не валидни корени.

Коментар. В този случай уравнението има два сложни конюгатни корени.

и .

Пример 1. Решаване на уравнение .

Решение. След това (тогава) тогава

От тогава .

Тогава , .

Отговор: ,.

Пример 2. Решаване на уравнение .

Решение. От тогава.

Тъй като това уравнение няма валидни корени.

29. Решение на квадратни неравенства

, , ,

с положителен дискриминант

установяване в системата от две линейни неравенства

Дискриминацията на квадрат три декара е число.

Корените на площад три постановления се наричат \u200b\u200bкорените на уравнението .

и Освен това това означава).

Тогава тя може да бъде разложена на линейни мултипликатори :.

Тъй като е възможно да се разделят на двете части на всяка от разглеждането на неравенствата (ако признаците на неравенство (т.е. знакът\u003e или<) сохранится, если , то знак неравенства поменяется на противоположный). В результате получится неравенство одного из видов: , , , . Помислете за решаването на тези неравенства.

1) работата на два фактора е положително, ако и двата мултипликатори са положителни или и отрицателни мултипликатори, така че ако или.

Решенията на двете системи са решения на това квадратно неравенство.

Като , така че след това ).

След това (тогава).

Отговор: неравенство

Тя има много решения, които могат да бъдат написани като или или във формата.

3) Продуктът на два фактора е отрицателен, ако един от мултипликателите е положителен, а другият е отрицателен. Следователно ако или.

От тогава.

Тази неравенство система няма решения, тъй като числото x не може да бъде едновременно по-малко от по-малко от два числа и и повече от повече.

Отговор: неравенство

2) По същия начин получаваме това неравенство Тя има много решения, които могат да бъдат написани във формата или във формата.

Пример. Решаване на неравенство .

Решение. Намерете корените на площад три разглеждане, т.е. корените на уравнението : ,

, .

Декориране на лявата част на това неравенство по формулата, ние получаваме неравенство .

Тъй като, чрез разделяне на двете части на последното неравенство с 3, получаваме еквивалентно неравенство .

Работата на два фактора е отрицателна, ако един от мултипликателите е положителен, а другият е отрицателен. Ето защо решенията на последното неравенство са решения на всяка от системите за неравенство, ако или. Тогава или

Графичният разтвор на системите е представен на фигурите (за първата система на системата, за втория дясно). Може да се види, че втората система за решения няма, следователно само решенията на първата система са решения за това неравенство.

Отговор:

30. Решение на квадратни неравенства

, , ,

използване на графика на квадратична функция

Коментар.Можем да приемем, че във всички тези неравенства. В противен случай, умножете двете части на неравенството и променяме знака на неравенството в обратното, ние получаваме неравенството на един от посочените четири вида, еквивалентни на това.

След това графика на функцията Ще има парабола, чийто клон е режисиран. Местоположението на тази парабола спрямо ос абсциса зависи от знака на дискриминационния квадрат три разглеждане. Възможни са 3 случая.

Фиг. 1 Фиг. 2 Фиг. 3.

Случай 1. Ако квадратът три намалява има два валидни корени и , и . Тогава Parabola преминава ос на абсциса в точки с абсцизации и. За строги неравенства и числа и са изобразени в разумни кръгове (както на фиг. 1). За не-строго неравенство и числа и са изобразени с боядисани кръгове. В този случай: и няма валидни корени. Тогава Parabola не е често срещани точки с абсцисаната ос (виж фиг. 3). В този случай: X прекъсва оста на абсцисата с 3 интервала (виж фиг. 1). и

Линейни диференциални уравнения втори ред

Диференциалното уравнение втори ред се разглежда.

Определение. Общото решение на уравнението втори ред е такава функция, която за всякакви стойности и е решението на това уравнение.

Определение. Линейното хомогенно уравнение на втория ред се нарича уравнение. Ако коефициентите и постоянните, т.е. Това не зависи, това уравнение се нарича уравнение с постоянни коефициенти и го пише така:.

Уравнението ще се нарича линейно нехомогенно уравнение.

Определение.Уравнението, получено от линейно хомогенно уравнение, като заменя функцията по една и съответната градуса, се нарича характерно уравнение.

Известно е, че квадратното уравнение има решение в зависимост от дискриминацията :, т.. Ако, след това корени и - валидни различни номера. Ако тогава. Ако, т.е. , Това ще бъде въображаем брой и корени и - сложни числа. В този случай ние се съгласяваме да означава.

Пример 4.Решаване на уравнение.

Решение. Следователно дискриминацията на това квадратно уравнение.

Ние показваме, както в появата на корените на характерното уравнение, за да намерим общото решение на хомогенното линейно уравнение на втория ред.

Ако - тогава валидните корени на характерното уравнение.

Ако корените на характерното уравнение са еднакви, т.е. , общото решение на диференциалното уравнение се търси по формулата или.

Ако характеристичното уравнение има интегрирани корени.

Пример 5. Намерете общо решение на уравнението.

Решение.Състои се от характерно уравнение за това диференциално уравнение :. \\ t Корените му са валидни и различни. Следователно, общо решение.

Фундаментална система за решения на линейно хомогенно диференциално уравнение. Теорема за структурата на цялостното решение на решенията на линейно хомогенно диференциално уравнение. В този раздел ще докажем, че основата на линейното пространство на частните решения на хомогенно уравнение може да бъде всеки набор от н. Неговите линейни независими решения.
Ord. 14.5.5.1. Основни системи за системи. Основни системи за системи линейно хомогенно диференциално уравнение н. - Поръчка, наречена всяка линейно независима система y. 1 (х. ), y. 2 (х. ), …, y n. (х. ) н. Частни решения.
Теорема 14.5.5.1.1 върху структурата на общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение. Общо решение y. (х. ) Линейно хомогенно диференциално уравнение е линейна комбинация от функции от основната система на решенията на това уравнение:
y. (х. ) = ° С. 1 y. 1 (х. ) + ° С. 2 y. 2 (х. ) + …+ C n y n (х. ).
Док. Нека бъде y. 1 (х. ), y. 2 (х. ), …, y n. (х. ) - фундаментална система за решения на линейно хомогенно диференциално уравнение. Необходимо е да докаже, че всяко определено решение y. Чо ( х. ) Това уравнение се съдържа във формулата y. (х. ) = ° С. 1 y. 1 (х. ) + ° С. 2 y. 2 (х. ) + …+ C n y n (х. ) с някакъв набор от постоянни ° С. 1 , ° С. 2 , …, C N. . Вземете всяка точка, изчислете номера на този етап и намерете постоянен ° С. 1 , ° С. 2 , …, C N. Като разтвор на линейна нехомогенна система на алгебрични уравнения
Такова решение съществува и единственият, тъй като определянето на тази система е равно. Помислете за линейна комбинация y. (х. ) = ° С. 1 y. 1 (х. ) + ° С. 2 y. 2 (х. ) + …+ C n y n (х. ) функционира от основната система за решение с тези стойности на постоянното ° С. 1 , ° С. 2 , …, C N. и го сравнете с функцията y. Чо ( х. ). Функции y. (х. ) I. y. Чо ( х. ) удовлетворяване на едно уравнение и същите първоначални условия в точката х. 0, следователно чрез уникалността на решението на проблема с Cauchy, те съвпадат: y. Чо ( х. ) = ° С. 1 y. 1 (х. ) + ° С. 2 y. 2 (х. ) + … + C n y n (х. ). Теорема се доказва.
От тази теорема следва, че измерението на линейното пространство на частните разтвори на хомогенно уравнение с непрекъснати коефициенти не надвишава н. . Остава да докаже, че това измерение не е по-малко н. .
Теорем 14.5.5.1.2 относно съществуването на фундаментална система за решения на линейно хомогенно диференциално уравнение. Всяко линейно хомогенно диференциално уравнение н. - Поръчката с непрекъснати коефициенти има основна система за решения, т.е. Системата е н. Подредени самостоятелни решения.
Док. Вземете цифров детерминант н. - поръчката не е равна нула

Нека квадратна маса от четири числа a 1, a 2, b 1, b 2:

Броят А 1 B 2 - A 2 B1 се нарича детерминанта на втория ред, съответстващ на таблицата (1). Този определено е обозначен със символа, съответно, ние имаме:

Числата А 1, А2, В1, В2 се наричат \u200b\u200bелементи на детерминанта. Казва се, че елементите А 1, B 2 лежат върху основния диагонал на детерминанта и 2, В1 - отстрани. Така определянето на втория ред е равен на разликата между произведенията на елементите, които лежат върху основните и страничните диагонали. Например,

Помислете за системата от две уравнения

с два неизвестни x, y. (Коефициенти А 1, B 1, A 2, B 2 и свободните членове на HXI H2 Да предполагат данни.) Ние въвеждаме нотация

Детерминантарът δ, съставен от коефициенти при неизвестна система (3), се нарича детерминант на тази система. Детерминантарът 5 X се получава чрез подмяна на елементите на първата колона на определящия фактор δ от свободните членове на системата (3); Детерминантарът Δ y се получава от детерминанта δ чрез подмяна на елементите на втората си колона със свободни членове на системата (3).

Ако Δ ≠ 0, тогава системата (3) има едно решение; Тя се определя от формули

x \u003d 5 x / Δ, y \u003d Δ y / δ (5)

Ако Δ \u003d 0 и в същото време, поне един от детерминатите 5 x, Δ y е различен от нула, тогава системата (3) изобщо няма решения (както се казва, уравненията на тази система са несъвместими ).

Ако Δ \u003d 0, но също така Δ x \u003d Δ y \u003d 0, тогава системата (3) има безкрайно много решения (в този случай, едно от уравненията на системата е следствие от друго).

Позволявам в уравненията на системата (3) Н1 \u003d Н2 \u003d 0; След това системата (3) ще разгледа:

a 1 x + b 1 y \u003d 0, 2 х + b 2 y \u003d 0. (6)

Системата на уравненията на формата (6) се нарича хомогенна; Винаги има нулев разтвор: x \u003d 0, y \u003d 0. Ако Δ ≠ O, тогава този разтвор е единственият, ако Δ \u003d 0, след това системата (6), освен нула, има безкрайно много други решения.

1204. Изчислете детерминантите:

1205. Решаване на уравнения:

1206. Решаване на неравенства:

1207. Намерете всички решения на всяка от следните системи на уравнения:

1208. Да се \u200b\u200bопредели при какви стойности А и В системата на уравненията на SK - AU \u003d 1, 6X + 4U \u003d B 1) има едно решение; 2) няма решения; 3) има безкрайно много решения.

1209. Определете с каква стойност на система от хомогенни уравнения 13x + 2OW \u003d 0, 5x + AU \u003d 0 има ненулев разтвор.

Тук прилагаме метода на вариация на постоянния лагранж за решаване на линейни инфлогенни диференциални уравнения втори ред. Подробно описание на този метод за решаване на уравненията на произволен ред е посочено на страницата.
Разтвор на линейни нехомогенни диференциални уравнения на по-високи поръчки на LAGRANGE метод \u003e\u003e\u003e.

Пример 1.

Решаване на диференциалното уравнение втори ред с постоянни коефициенти чрез промяна на постоянния лагранж:
(1)

Решение

Първоначално решаваме хомогенно диференциално уравнение:
(2)

Това е уравнението втори ред.

Решаваме квадратното уравнение:
.
Корени Мнози :. Основната система на уравнение (2) има формата:
(3) .
От тук получаваме общо решение на хомогенно уравнение (2):
(4) .

Различни постоянни C. 1 и C. 2 . Това означава, че ще заменим (4) постоянни и функции:
.
Търсим решението на първоначалното уравнение (1) във формата:
(5) .

Намерете дериват:
.
Ние свързваме функции и уравнение:
(6) .
Тогава
.

Ние намираме второто дериват:
.
Ние заменяме в първоначалното уравнение (1):
(1) ;



.
Тъй като и задоволяване на хомогенно уравнение (2), сумата на членовете във всяка колона на последните три линии дава нула и предишното уравнение придобива формата:
(7) .
Тук .

Заедно с уравнение (6) получаваме система от уравнения за определяне на функциите и: \\ t
(6) :
(7) .

Решаване на уравнения

Решаваме системата на уравненията (6-7). Изписваме изрази за функции и:
.
Ние откриваме техните деривати:
;
.

Решаваме системата на уравненията (6-7) от метода на Cramer. Изчисляване на определянето на матрицата на системата:

.
От роботни формули, ние намираме:
;
.

Така че, открихме извлечени функции:
;
.
Ние интегрираме (виж методите за интеграция на корените). Заместване
; ; ; .

.
.

;
.

Отговор

Пример 2.

Решаване на диференциалното уравнение чрез промяна на постоянния лагранж:
(8)

Решение

Стъпка 1. Разтвор на хомогенно уравнение

Решаваме хомогенно диференциално уравнение:

(9)
Търсим решение във формуляра. Ние събираме характерно уравнение:

Това уравнение има интегрирани корени:
.
Основната система на решения, съответстваща на тези корени, има формата:
(10) .
Общо решение на хомогенно уравнение (9):
(11) .

Стъпка 2. Вариация на постоянните - заместващи постоянни функции

Сега варира постоянен c 1 и C. 2 . Това означава, че заменя (11) постоянни функции:
.
Търсим решението на първоначалното уравнение (8) като:
(12) .

Освен това решението на решението е същото като в пример 1. Пристигаме в следната система на уравнения за определяне на функциите и: \\ t
(13) :
(14) .
Тук .

Решаване на уравнения

Решаваме тази система. Отблъскваме изразите на функции и:
.
От таблицата на дериватите намираме:
;
.

Решаваме системата на уравненията (13-14) от метода на Cramer. Детерминант на системата MATRIX:

.
От роботни формули, ние намираме:
;
.

.
Защото знакът на модула под знака за логаритъма може да бъде пропуснат. Умножете цифровия и знаменател на:
.
Тогава
.

Общо решение на оригиналното уравнение:


.