Как се казва триъгълникът, в който. Тъп триъгълник: дължина на страните, сума от ъгли. Описан тъп триъгълник. Свойства, общи за всички триъгълници

Триъгълник (от гледна точка на пространството на Евклид) е такава геометрична фигура, която се образува от три сегмента, свързващи три точки, които не лежат на една права линия. Трите точки, които образуват триъгълник, се наричат ​​неговите върхове, а отсечките, свързващи върховете, се наричат ​​страни на триъгълника. Какво представляват триъгълниците?

Равни триъгълници

Има три знака за равенство на триъгълниците. Кои триъгълници се наричат ​​равни? Това са тези, които:

  • две страни и ъгълът между тези страни са равни;
  • едната страна и двата ъгъла, съседни на нея, са равни;
  • и трите страни са равни.

Правоъгълните триъгълници имат следните признаци на равенство:

  • по остър ъгъл и хипотенуза;
  • по остър ъгъл и крак;
  • на два крака;
  • по хипотенузата и катетуса.

Какво представляват триъгълниците

Според броя на равните страни триъгълникът може да бъде:

  • Равностранна. Това е триъгълник с три равни страни. Всички ъгли в равностранен триъгълник са 60 градуса. Освен това центровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат.
  • Неравностранен. Триъгълник без равни страни.
  • равнобедрен. Това е триъгълник с две равни страни. Две еднакви страни са страните, а третата страна е основата. В такъв триъгълник ъглополовящата, медианата и височината съвпадат, ако са спуснати до основата.

Според размера на ъглите триъгълникът може да бъде:

  1. Тъп - когато един от ъглите има стойност над 90 градуса, тоест когато е тъп.
  2. Остроъгълен - ако и трите ъгъла в триъгълника са остри, тоест имат стойност под 90 градуса.
  3. Кой триъгълник се нарича правоъгълен триъгълник? Това е този, който има един прав ъгъл, равен на 90 градуса. Катетата в него ще се наричат ​​двете страни, които образуват този ъгъл, а хипотенузата е страната, противоположна на правия ъгъл.

Основни свойства на триъгълниците

  1. Винаги има по-малък ъгъл срещу по-малката страна, а по-голям ъгъл винаги лежи срещу по-голямата страна.
  2. Равните ъгли винаги лежат срещу равни страни, а противоположните страни винаги лежат под различни ъгли. По-специално, в равностранен триъгълник всички ъгли имат една и съща стойност.
  3. Във всеки триъгълник сумата от ъглите е 180 градуса.
  4. Външен ъгъл може да се получи чрез разширяване на една от страните му до триъгълник. Стойността на външния ъгъл ще бъде равна на сумата от вътрешните ъгли, които не са в съседство с него.
  5. Страната на триъгълника е по-голяма от разликата на другите две страни, но по-малка от тяхната сума.

В пространствената геометрия на Лобачевски сумата от ъглите на триъгълника винаги ще бъде по-малка от 180 градуса. На сфера тази стойност е по-голяма от 180 градуса. Разликата между 180 градуса и сумата от ъглите на триъгълник се нарича дефект.

При изучаване на математика учениците започват да се запознават с различни видове геометрични фигури. Днес ще говорим за различни видове триъгълници.

Определение

Геометричните фигури, които се състоят от три точки, които не са на една и съща права линия, се наричат ​​триъгълници.

Отсечките, свързващи точките, се наричат ​​страни, а точките се наричат ​​върхове. Върховете се обозначават с главни латински букви, например: A, B, C.

Страните са обозначени с имената на двете точки, от които се състоят - AB, BC, AC. Пресичайки се, страните образуват ъгли. Долната страна се счита за основата на фигурата.

Ориз. 1. Триъгълник ABC.

Видове триъгълници

Триъгълниците се класифицират според ъглите и страните. Всеки тип триъгълник има свои собствени свойства.

Има три вида триъгълници в ъглите:

  • остроъгълен;
  • правоъгълна;
  • тъп.

Всички ъгли остроъгълентриъгълниците са остри, тоест степента на всеки е не повече от 90 0.

Правоъгълнатриъгълникът съдържа прав ъгъл. Другите два ъгъла винаги ще бъдат остри, защото в противен случай сумата от ъглите на триъгълника ще надвиши 180 градуса, което е невъзможно. Страната, която е срещу правия ъгъл, се нарича хипотенуза, а другите два катета. Хипотенузата винаги е по-голяма от катета.

тъптриъгълникът съдържа тъп ъгъл. Тоест ъгъл, по-голям от 90 градуса. Другите два ъгъла в такъв триъгълник ще бъдат остри.

Ориз. 2. Видове триъгълници в ъглите.

Питагоров триъгълник е правоъгълник, чиито страни са 3, 4, 5.

Освен това по-голямата страна е хипотенузата.

Такива триъгълници често се използват за съставяне на прости задачи в геометрията. Затова запомнете: ако две страни на триъгълник са 3, то третата определено ще бъде 5. Това ще опрости изчисленията.

Видове триъгълници отстрани:

  • равностранен;
  • равнобедрен;
  • универсален.

Равностраннатриъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни. Всички ъгли на такъв триъгълник са равни на 60 0, тоест той винаги е с остър ъгъл.

равнобедрентриъгълник е триъгълник само с две равни страни. Тези страни се наричат ​​странични, а третата - основа. Освен това ъглите в основата на равнобедрен триъгълник са равни и винаги остри.

Универсаленили произволен триъгълник е триъгълник, в който всички дължини и всички ъгли не са равни един на друг.

Ако няма разяснения за фигурата в задачата, тогава се счита, че говорим за произволен триъгълник.

Ориз. 3. Видове триъгълници на страните.

Сумата от всички ъгли на триъгълник, независимо от вида му, е 1800.

Срещу по-големия ъгъл е по-голямата страна. А също и дължината на която и да е страна винаги е по-малка от сбора на другите две страни. Тези свойства се потвърждават от теоремата за неравенството на триъгълника.

Има концепция за златен триъгълник. Това е равнобедрен триъгълник, в който две страни са пропорционални на основата и равни на определено число. В такава фигура ъглите са пропорционални на съотношението 2:2:1.

Задача:

Има ли триъгълник, чиито страни са 6 см, 3 см, 4 см?

Решение:

За да решите тази задача, трябва да използвате неравенството a

Какво научихме?

От този материал от курса по математика в 5. клас научихме, че триъгълниците се класифицират по страни и ъгли. Триъгълниците имат определени свойства, които могат да се използват при решаване на задачи.

Нарича се триъгълник, в който всички страни не са с еднаква дължина универсален.

Триъгълник с две равни страни се обозначава като равнобедрен. Същите страни се наричат страничен, третата страна основа.Следната дефиниция би била също толкова вярна основи на триъгълнике страната на равнобедрен триъгълник, която не е равна на другите две страни.

IN равнобедрен триъгълникъглите на основата са равни. Височина, медиана, ъглополовящаравнобедрен триъгълник, изтеглени към основата му, се комбинират.

триъгълник, като всички страни са еднакви, се означава като равностраненили правилно. В равностранен триъгълник всички ъгли са 60°, а центровете на вписаната и описаната окръжност са подравнени.

Видове триъгълници в зависимост от параметрите на ъглите.

Триъгълник, в който се наричат ​​само ъгли, по-малки от 90 0 (остри). остроъгълен.

Нарича се триъгълник, в който е представен ъгъл от 90 0 правоъгълна. Обикновено се означават страните на триъгълник, образуващ прав ъгъл крака, а страната срещу десния ъгъл - хипотенуза.

Днес отиваме в страната на геометрията, където ще се запознаем с различни видове триъгълници.

Разгледайте геометричните фигури и намерете „екстрата” сред тях (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация например

Виждаме, че фигури № 1, 2, 3, 5 са ​​четириъгълници. Всеки от тях има собствено име (фиг. 2).

Ориз. 2. Четириъгълници

Това означава, че "допълнителната" фигура е триъгълник (фиг. 3).

Ориз. 3. Илюстрация например

Триъгълник е фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една и съща права линия, и три отсечки, свързващи тези точки по двойки.

Точките се наричат върхове на триъгълник, сегменти - неговите партии. Оформят се страните на триъгълника Има три ъгъла във върховете на триъгълник.

Основните характеристики на триъгълника са три страни и три ъгъла.Триъгълниците се класифицират според ъгъла остър, правоъгълен и тъп.

Триъгълник се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, тоест по-малки от 90° (фиг. 4).

Ориз. 4. Остър триъгълник

Триъгълник се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е 90° (фиг. 5).

Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник

Триъгълник се нарича тъп, ако един от ъглите му е тъп, тоест по-голям от 90° (фиг. 6).

Ориз. 6. Тъп триъгълник

Според броя на равните страни триъгълниците биват равностранни, равнобедрени, скални.

Равнобедрен триъгълник е триъгълник, в който две страни са равни (фиг. 7).

Ориз. 7. Равнобедрен триъгълник

Тези страни се наричат страничен, трета страна - основа. В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.

Равнобедрените триъгълници са остър и тъп(фиг. 8) .

Ориз. 8. Остър и тъп равнобедрен триъгълник

Нарича се равностранен триъгълник, в който и трите страни са равни (фиг. 9).

Ориз. 9. Равностранен триъгълник

В равностранен триъгълник всички ъгли са равни. Равностранни триъгълницивинаги остроъгълен.

Триъгълник се нарича универсален, в който и трите страни имат различни дължини (фиг. 10).

Ориз. 10. Скален триъгълник

Изпълнете задачата. Разделете тези триъгълници на три групи (фиг. 11).

Ориз. 11. Илюстрация към задачата

Първо, нека разпределим според размера на ъглите.

Остри триъгълници: No1, No3.

Правоъгълни триъгълници: #2, #6.

Тъпи триъгълници: #4, #5.

Тези триъгълници са разделени на групи според броя на равните страни.

Мащабни триъгълници: No 4, No 6.

Равнобедрени триъгълници: No2, No3, No5.

Равностранен триъгълник: № 1.

Прегледайте чертежите.

Помислете от какво парче тел е направен всеки триъгълник (фиг. 12).

Ориз. 12. Илюстрация към задачата

Можете да спорите по този начин.

Първото парче тел е разделено на три равни части, така че можете да направите равностранен триъгълник от него. Показан е трети на фигурата.

Второто парче тел е разделено на три различни части, така че можете да направите скален триъгълник от него. Показан е първо на снимката.

Третото парче тел е разделено на три части, като двете части са с еднаква дължина, така че можете да направите равнобедрен триъгълник от него. Показан е втори на снимката.

Днес в урока се запознахме с различни видове триъгълници.

Библиография

  1. М.И. Моро, M.A. Бантова и др. Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 1. - М .: "Просвещение", 2012.
  2. М.И. Моро, M.A. Бантова и др. Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 2. - М .: "Просвещение", 2012.
  3. М.И. Моро. Уроци по математика: Насоки за учителите. 3 клас - М.: Образование, 2012.
  4. Регулаторен документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. - М.: "Просвещение", 2011.
  5. "Училище на Русия": Програми за начално училище. - М.: "Просвещение", 2011.
  6. S.I. Волков. Математика: Контролна работа. 3 клас - М.: Образование, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тестове. - М.: "Изпит", 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Домашна работа

1. Завършете фразите.

а) Триъгълник е фигура, която се състои от ..., които не лежат на една и съща права линия, и ..., свързващи тези точки по двойки.

б) Точките се наричат … , сегменти - неговите … . Страните на триъгълник се образуват във върховете на триъгълник ….

в) Според големината на ъгъла триъгълниците са ..., ..., ....

г) Според броя на равните страни триъгълниците са ..., ..., ....

2. Рисуване

а) правоъгълен триъгълник

б) остър триъгълник;

в) тъп триъгълник;

г) равностранен триъгълник;

д) скален триъгълник;

д) равнобедрен триъгълник.

3. Направете задача по темата на урока за вашите другари.

триъгълник . Остър, тъп и правоъгълен триъгълник.

Краката и хипотенузата. Равнобедрен и равностранен триъгълник.

Сборът от ъглите на триъгълник.

Външният ъгъл на триъгълника. Признаци за равенство на триъгълници.

Прекрасни линии и точки в триъгълник: височини, медиани,

бисектриси, медианад перпендикуляри, ортоцентър,

център на тежестта, център на описаната окръжност, център на вписаната окръжност.

Питагорова теорема. Съотношението на страните на произволен триъгълник.

триъгълник е многоъгълник с три страни (или три ъгъла). Страните на триъгълника често се означават с малки букви, които съответстват на главните букви, които означават противоположни върхове.

Ако и трите ъгъла са остри (фиг. 20), тогава това остър триъгълник . Ако един от ъглите е прав(C, фиг.21), това е правоъгълен триъгълник; страниа , бобразуващи прав ъгъл се наричат крака; страна° Ссрещу прав ъгъл се нарича хипотенуза. Ако един оттъпи ъгли (В, фиг.22), това е тъп триъгълник.


Триъгълник ABC (фиг. 23) - равнобедрен, ако двестраните му са равниа= ° С); тези равни страни се наричат страничен, третата страна се извиква основатриъгълник. триъгълник ABC (фиг. 24) - равностранен, ако всичкостраните му са равниа = б = ° С). Общо взето ( а ≠ б ≠ ° С) ние имаме scaleneтриъгълник .

Основни свойства на триъгълниците. Във всеки триъгълник:

1. Има по-голям ъгъл срещу по-голямата страна и обратно.

2. Равните ъгли лежат срещу равни страни и обратно.

По-специално, всички ъгли в равностранентриъгълник са равни.

3. Сборът от ъглите на триъгълник е 180 º .

От последните две свойства следва, че всеки ъгъл е равностранен

триъгълник е 60 º.

4. Продължавайки една от страните на триъгълника (АС, фиг. 25), получаваме външен

ъгъл BCD . Външният ъгъл на триъгълник е равен на сумата от вътрешните ъгли,

не е свързано с него :BCD=A+B.

5. Всякакви страната на триъгълник е по-малка от сбора на другите две страни и повече

техните различия (а < б + ° С, а > б – ° С;б < а + ° С, б > а – ° С;° С < а + б,° С > а – б).

Признаци за равенство на триъгълници.

Триъгълниците са равни, ако са съответно равни:

а ) две страни и ъгълът между тях;

б ) два ъгъла и прилежащата към тях страна;

в) три страни.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници.

две правоъгълнатриъгълниците са равни, ако е вярно едно от следните условия:

1) краката им са равни;

2) катета и хипотенузата на единия триъгълник са равни на катета и хипотенузата на другия;

3) хипотенузата и острия ъгъл на единия триъгълник са равни на хипотенузата и острия ъгъл на другия;

4) катетът и съседният остър ъгъл на единия триъгълник са равни на катета и съседния остър ъгъл на другия;

5) катетът и противоположният остър ъгъл на един триъгълник са равни на катета и противоположно на острия ъгъл на другия.

Прекрасни линии и точки в триъгълник.

Височина триъгълник еперпендикулярно,пуснат от всеки връх към противоположната страна ( или неговото продължение). Тази страна се наричаосновата на триъгълника . Трите височини на триъгълника винаги се пресичатв един моментНаречен ортоцентъртриъгълник. Ортоцентърът на остър триъгълник (точкаО , фиг. 26) се намира вътре в триъгълника, иортоцентър на тъп триъгълник (точкаО , Фиг.27) – навън; Ортоцентърът на правоъгълен триъгълник съвпада с върха на правия ъгъл.

Медиана - това раздел , свързващ всеки връх на триъгълник със средата на противоположната страна. Три медиани на триъгълник (AD , BE , CF , фиг.28) се пресичат в една точка О , която винаги лежи вътре в триъгълникаи да бъде негова център на тежестта. Тази точка разделя всяка медиана 2:1 от върха.

Бисектриса - това бисектрисаъгъл от върха до точката пресичане с противоположната страна. Три ъглополовящи на триъгълник (AD , BE , CF , фиг.29) се пресичат в една точка О, винаги лежи в триъгълникИ битие център на вписан кръг(вижте раздел „Вписании описани многоъгълници).

Симетралата разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни ; например на фиг.29 AE : CE = AB : BC .

Среден перпендикуляр е перпендикуляр, изтеглен от средната стойностсегментни точки (страни). Три перпендикулярни ъглополовящи на триъгълник ABC(КО, МО, НЕ, фиг.30 ) се пресичат в една точка O, която е център описан кръг (точки K, M, N средните точки на страните на триъгълник ABC).

В остър триъгълник тази точка лежи вътре в триъгълника; в тъп - отвън; в правоъгълник - в средата на хипотенузата. Ортоцентър, център на тежестта, център на описаната и център на вписаната окръжност съвпадат само в равностранен триъгълник.

Питагорова теорема. В правоъгълен триъгълник квадратът на дължинатаХипотенузата е равна на сбора от квадратите на дължините на катета.

Доказателството на питагоровата теорема очевидно следва от фиг.31. Помислете за правоъгълен триъгълник ABC с крака а , би хипотенуза ° С.

Нека построим квадрат AKMB използвайки хипотенузатаАБ като страна. Тогаваудължете страните на правоъгълен триъгълник ABC така че да получите квадрат CDEF , чиято страна е равна наa + b .Сега е ясно, че площта на квадрат CDEF е ( а+б) 2 . От друга страна, това площта е равна на сбораобласти четири правоъгълни триъгълникаи квадрат AKMB , т.е

° С 2 + 4 (аб / 2) = ° С 2 + 2 ab,

оттук,

° С 2 + 2 аб= (а+б) 2 ,

и накрая имаме:

° С 2 =а 2 +b 2 .

Съотношението на страните на произволен триъгълник.

В общия случай (за произволен триъгълник) имаме:

° С 2 =а 2 +b 2 – 2аб· cos ° С,

където C - ъгъл между странитеаИ б .

mob_info